福建省福州市七校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份福建省福州市七校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
2.抛物线的顶点坐标是（ ）
A.B.C.D.
3.已知的半径为5，点在内，则的长可能是（ ）
A.7B.6C.5D.4
4.已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A.2B.C.1D.
5.如图，，，，则的长是（ ）
第5题图
A.3B.4C.6D.10
6.已知，是抛物线上的点，则（ ）
A.B.C.D.
7.如图，在中，点在上，且，交对角线于点，若，则为（ ）
第7题图
A.18B.9C.6D.4
8.如图，在的内接五边形中，，则（ ）
第8题图
A.232°B.212°C.218°D.228°
9.如图，等边的边在轴上，点坐标为，以点为旋转中心，把逆时针旋转90°，则旋转后点的对应点的坐标是（ ）
A.B.C.D.
10.如图，正方形的边长为6，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（ ）
第10题图
A.B.C.D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11.在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______.
12.已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积为______.
13.如图，将绕点按逆时针方向旋转40°到的位置（点与点是对应点），若，则的度数为______.
第13题图
14.小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为______.米.
15.已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：
则的值是______.
16.如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形.连结并延长交于点.若，，则的长为______.
第16题图
三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（8分）（1）解方程：；
（2）.
18.（8分）如图，在中，，，，是上一点，，过点作于点，求的长.
第18题图
19.（8分）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围.
20.（8分）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转60°得到，连接、.
第20题图
（1）求证：；
（2）若，，求的周长.
21.（8分）如图，是的直径，点是上一点，且点是弦的中点.
第21题图
（1）依题意作弦；（尺规作图不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求的半径.
22.（8分）如图，在正方形中有一点，连接、，旋转到的位置.
第22题图
（1）若正方形的边长是10，.则阴影部分面积为
（2）若，，，求的长.
23.（10分）为了节省材料，某花农利用一面靠墙的空地（墙足够长），用总长为的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，其中.设的长度为，矩形区域的面积为.
第23题图
（1）求的长（用的代数式表示）；
（2）求与的函数解析式，并求矩形区域的面积的最大值.
24.（14分）如图，是的直径，是弦，点为的中点，交的延长线于点交于点.
第24题图
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若直径为15，求的长.
25.（14分）已知抛物线（）与轴交于点，顶点为，过点直线与抛物线交于，两点（点在点的左侧）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求面积的最小值；
（3）若两点都在第四象限，过点作直线的垂线，垂足为，直线与直线交于点，连接，求证：四边形是平行四边形.
2023—2024第一学期九年级数学期中考试
答案及评分标准
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1-5：CDDAB 6-10：BACCD
二、解答题（本大题共24分，每小题4分）
11. 12. 13.50° 14. 15. 16.
三、解答题（共8小题，满分86分）
17.（1）解：（1）∵，，，
∴，则，
即，；
（2）移项得：，
分解因式得：，
所以或，解得：，
18.解：∵，∴
∵，
∴，∴
∴，∴.
19.解：由题知：，，
∵关于该方程有实数根，∴分
解得：.∴的取值范围是；
20.（1）证明：∵是等边三角形，∴，.
∵是由绕点逆时针旋转60°得到，
∴，，∴是等边三角形，
∴，∴
∴；
（2）解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴的周长为.
21.解：（1）作弦，如图
（2）如图，连接，
∵于点是的直径，∴，，
∵，∴.
设的半径为，则，，
在中，，
∴，即，
解得，即的半径为20.
22.解：（1）；
（2）连，
∴，
∴，，，，
∴为等腰直角三角形，∴，，
∴，∴
23.解：（1）∵，
设，则，，
∴，∴，
∴；
（2）由（1）得：，，
∴（）
且二次项系数为，
∴当时，矩形区域的面积的最大值为75平方米；
24.（1）证明：连接，
∵，∴
∵平分，∴，
∴，∴
∵，∴半径，
∴是切线；
（2）解：过作于，
则四边形为矩形，
∴，，，
设，则，∴，
设，则，，
在中，
，
由（1）知，
∴.
（3）解：∵，∴，
∴，∴，，
∴，.
在中，由勾股定理得：
∴，∴
法二：（2）连接
∵点为的中点，∴
∴
∵为的直径，∴
∴，∴
∴
∵，设，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴
25.解：（1）由题知设抛物线解析式为
∵抛物线经过点，∴，解得
∴抛物线的解析式为
（2）设直线解析式为，点为，点为
∵，∴轴
∴当取得最小值时，面积最小
∵直线经过点
∴，∴
∴直线解析式为：
联立，得
，
∴
∵，∴当时，有最小值，为16
∴此时，∴的最小值为8.
（3）设直线解析式为
∴，∴解得
直线解析式为：
∵，∴
∵
∴
∴，
∵，∴四边形为平行四边形
法二：解：（1）由题知，解得
∴.
（2）设点为，点为
∵，∴轴，
∴
∴当取得最小值时，面积最小
设直线解析式为，
联立，得
，
∴
∵，∴当时，有最小值，为16
∴此时，∴的最小值为8
（3）设直线解析式为，
联立，得
∴
∵，∴，∴
∵点在上，∴，∴
∵，∴
∴，∴
∴，即，，∴四边形为平行四边形…
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