2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高二上学期期中调研数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高二上学期期中调研数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若过A4,y，B2,−3两点的直线的倾斜角为π4，则y=( )
A. −1B. −5C. 1D. 5
2.椭圆x225+y216=1的焦距为
( )
A. 10B. 8C. 6D. 4
3.抛物线y=x2的准线方程是
( )
A. y=−14B. y=−12C. x=−14D. x=−12
4.方程x22−k+y2k−1=1表示实轴在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围为
( )
A. −∞,1B. 2,+∞
C. 1,2D. −∞,1∪2,+∞
5.若点Pa,b在圆C：x2+y2=1内，则直线ax+by=1与圆C的位置关系为
( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定
6.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A. 圆B. 双曲线C. 抛物线D. 椭圆
7.过点P2,1的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当▵AOB的面积最小时，l的方程为
( )
A. x+2y−4=0B. 2x+y−5=0
C. x+3y−5=0D. 3x+y−7=0
8.设曲线y= −x2+2x上点到直线3x−4y+5=0的距离为m，则实数m的取值范围为
( )
A. 35,85B. 35,115C. 1,115D. 1,135
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知圆C:x2+y2−2x+4y−k=0，则下列说法正确的 有
( )
A. 实数k的取值范围是k>−5B. 圆C的圆心为1,2
C. 若k=4，则圆C的半径为3D. 若圆C与x轴相切，则k=−4
10.已知直线l1：a+2x+y+a+1=0与l2：3x+ay−2a=0，则下列说法正确的有
( )
A. 直线l1恒过点−1,1
B. 当a=1时，则l1在y轴上的截距为2
C. 若l1⊥l2，则a=32
D. 若l1//l2，则l1与l2之间的距离为2 105
11.已知O为坐标原点，M5,3，点P、Q是抛物线C:y2=4x上两点，F为C的焦点，则下列说法正确的有
( )
A. 若PF=λFQ，则PQ最小值为4
B. ▵PMF周长的最小值为10
C. PF为直径的圆与y轴相切
D. 若直线PQ经过点F，则kOP⋅kOQ=−4
12.已知椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，△PF1F2的面积为6，则
( )
A. 点P的横坐标为5 32B. △PF1F2的周长为16
C. △PF1F2的内切圆的半径为34D. △PF1F2的外接圆的半径为7316
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.双曲线C:x24−y22=1 的 离心率等于___________．
14.与双曲线x24−y23=1有相同焦点，且经过点2,3 32的椭圆的标准方程为__________．
15.与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x−y+6=0上的 圆的标准方程是__________．
16.已知O为坐标原点，P(a,0)(a>0)，Q为抛物线y2=x上任意一点，且PQ≥PO恒成立，则实数a的取值范围是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P(1,2)．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点M(2,0)且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．
18.(本小题12.0分)
已知▵ABC 的 顶点为A0,2，B6,4，C4,0．
(1)求边AC的垂直平分线的一般式方程；
(2)求▵ABC的外接圆的方程．
19.(本小题12.0分)
已知圆C：x2+(y−2)2=1和定点A(3,0)，P为圆C外一点，直线PQ与圆C相切于点Q，且PQ= 2PA．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)经过点A的直线l与点P的轨迹相交于M,N两点，且MN=8，求直线l的方程．
20.(本小题12.0分)
已知动圆P与圆M:x+32+y2=1外切，与圆N:x−32+y2=81内切．
(1)求动圆圆心P的轨迹方程；
(2)求1PM+1PN的取值范围．
21.(本小题12.0分)
已知M2,5，N−2,4，动点P在直线l：x−2y+3=0上．
(1)求PM+PN的最小值；
(2)求PM2+PN2的最小值．
22.(本小题12.0分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为 52，右焦点F到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l过定点M4,0且与双曲线C交于不同的两点A、B，点N是双曲线C的右顶点，直线AN、BN分别与y轴交于P、Q两点，以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据两点间斜率公式，结合斜率与倾斜角的关系可得解．
解：过 A4,y ， B2,−3 两点的直线的斜率 k=−3−y2−4=3+y2 ，
又直线的倾斜角为 π4 ，即 k=tanπ4=1 ，
所以 3+y2=1 ，解得 y=−1 ，
故选：A．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据椭圆方程求出 a,b,c 得值，即可得焦距 2c ．
解：由 x225+y216=1 可得 a2=25 ， b2=16 ，
所以 c2=a2−b2=25−16=9 ，可得 c=3 ，
所以焦距 2c=6 ，
故选：C．
3.【答案】A
【解析】【分析】利用抛物线准线方程定义求解即可．
解： ∵ 抛物线的准线方程为 x2=y ，焦点在 y 轴上， ∴2p=1 ，即 p=12 ， ∴p2=14 ，
∴ 准线方程是 y=−p2=−14 ．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据双曲线的标准方程列不等式即可．
解：由方程 x22−k+y2k−1=1 表示实轴在 x 轴上的双曲线，
则 2−k>0k−1<0 ，解得 k<1 ，
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】根据点与圆，直线与圆位置关系计算即可判断．
解：因为点 Pa,b 在圆 C:x2+y2=1 内，
所以 a2+b2<1 ，
设圆心 C0,0 到直线 ax+by=1 的距离为 d ，
则 d=0a+0b−1 a2+b2=1 a2+b2>1 ，
圆 C:x2+y2=1 的半径 r=1 ，
因为 d>r ，所以直线 ax+by=1 与圆 C 的位置关系为相离．
故选： C ．
6.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的 定义，属于中档题．
根据题意知 |PF|=|PM| ，所以 |PO|+|PF|=|PO|+|PM|=R>|FO| ，故点P的 轨迹是椭圆．
解：由题意知， M,F 关于CD对称，所以 |PF|=|PM| ，
故 |PO|+|PF|=|PO|+|PM|=R>|FO| ，
可知点P的轨迹是椭圆．
7.【答案】A
【解析】【分析】令直线为 xa+yb=1 ，根据已知及基本不等式可得 ab≥2 2 ，确定等号成立条件得 a=4,b=2 ，即可写出直线方程．
解：由题设，令直线为 xa+yb=1a>0,b>0 ，
则 2a+1b=1≥2 2a⋅1b=2 2ab ，即 ab≥2 2 ，
当且仅当 a=4,b=2 时等号成立，此时 ▵AOB 的面积最小为 Smin=12ab=4 ，
所以直线方程为 x4+y2=1⇒x+2y−4=0 ．
故选：A
8.【答案】B
【解析】【分析】借助数形结合思想，利用直线与圆的位置关系可得答案．
解：曲线 y= −x2+2x ，其中 −x2+2x≥0 ， y≥0 ，即 0≤x≤2 ， y≥0 ，
曲线方程可化为 (x−1)2+y2=1 ，其中 0≤x≤2 ， y≥0 ，即曲线的轨迹是一个半圆．
因为圆心 (1,0) 到直线 3x−4y+5=0 的距离 d=3+5 32+42=85 ，
故半圆上一点到直线的最小距离 mmin=d−r=35 ，
半圆上点 (2,0) 到直线的距离最大 mmax=6+5 32+42=115 ，
则 m 的取值范围为 35,115 ，
故选：B．
9.【答案】AC
【解析】【分析】将圆 C 的方程化为标准方程，可得出关于 k 的不等式，求出 k 的范围，可判断A选项；求出圆 C 的圆心坐标，可判断B选项；当 k=4 时，求出圆 C 的半径，可判断C选项；根据圆 C 与 x 轴相切求出 k 的值，可判断D选项．
解：将圆 C 的方程化为标准方程可得 x−12+y+22=k+5 ．
对于A选项，有 k+5>0 ，解得 k>−5 ，A对；
对于B选项，圆 C 的圆心坐标为 1,−2 ，B错；
对于C选项，当 k=4 时，圆 C 的半径为 k+5= 9=3 ，C对；
对于D选项，若圆 C 与 x 轴相切，则 k+5=22 ，解得 k=−1 ，D错．
故选：AC．
10.【答案】AD
【解析】【分析】利用分离参数法判断A，利用截距知识判断B，利用两直线垂直充要条件判断C，利用两直线平行的充要条件及两平行直线间距离公式判断D．
解：对于选项A，直线 l1： a+2x+y+a+1=0 可化为 ax+1+2x+y+1=0 ，
当 x+1=0 时， 2x+y+1=0 ，即 x=−1,y=1 ， a+2x+y+a+1=0 对任意 a 都成立，
所以直线 l1 恒过点 −1,1 ，故选项A正确；
对于选项B，当 a=1 时，直线 l1： 3x+y+2=0 ，令 x=0 ，解得 y=−2 ，
所以 l1 在 y 轴上的截距为 −2 ，故选项B不正确；
对于选项C，由 l1： a+2x+y+a+1=0 与 l2： 3x+ay−2a=0 ，
因为 l1⊥l2 ，所以 3a+2+1×a=0 ，解得 a=−32 ，故选项C不正确；
对于选项D， l1： a+2x+y+a+1=0 ， l2： 3x+ay−2a=0 ，
因为 l1//l2 ，所以 aa+2=3×1 且 −2aa+2≠3a+1 ，解得 a=1 ，
即 l1： 3x+y+2=0 ， l2： 3x+y−2=0 ，
由两平行线间的距离公式可得， l1 与 l2 之间的距离 d=2+2 32+1=2 105 ，
故选项D正确．
故选：AD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】抛物线定义的两种应用：
(1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；
(2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
分析可值，直线 PQ 过点 F ，设直线 PQ 的方程为 x=my+1 ，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式以及韦达定理可判定A选项；利用斜率公式以及韦达定理可判定D选项；利用抛物线的定义可判定B选项；利用抛物线的焦半径公式可判断C选项．
解：抛物线 C 的焦点为 F1,0 ，准线方程为 x=−1 ，
若直线 PQ 与 x 轴重合，则直线 PQ 与抛物线 C 只有一个交点，不合乎题意，
设点 Px1,y1 、 Qx2,y2 ，
对于A选项，若 PF=λFQ ，则直线 PQ 过点 F ，
设直线 PQ 的方程为 x=my+1 ，联立 y2=4xx=my+1 可的 y2−4my−4=0 ，
Δ=16m2+16>0 ，由韦达定理可的 y1+y2=4m ， y1y2=−4 ，
所以， PQ=x1+x2+2=my1+y2+4=4m2+4≥4 ，
当且仅当 m=0 时，等号成立，故 PQ 最小值为 4 ，A对；
对于B选项，过点 P 作 PA 垂直于直线 x=−1 ，垂足为点 A ，
由抛物线的定义可得 PA=PF ，
所以， PF+PM=PA+PM ，当且仅当 P 、 A 、 M 三点共线时，
PF+PM=PA+PM 取最小值，且最小值为 5+1=6 ，
所以， ▵PMF 的周长为 PF+PM+FM≥6+MF=6+ 5−12+32=11 ，
因此， ▵PMF 周长的最小值为 11 ，B错；
对于C选项，线段 PF 的中点为 Ex1+12,0 ， PF=x1+1=2×x1+12 ，
而 x1+12 为点 E 到 y 轴的距离，故 PF 为直径的圆与 y 轴相切，C对；
对于D选项，若直线 PQ 经过点 F ，
由A选项可得 kOPkOQ=y1y2x1x2=y1y2y12y2216=16y1y2=16−4=−4 ，D对．
故选：ACD．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，椭圆的定义式，三角形的周长，以及三角形的周长与三角形的内切圆半径的关系，正余弦定理，即可依次得出答案．
解：由题意知 a=5 ， b=4 ， c=3 ，则 PF1+PF2=2a=10 ， F1F2=2c=6 ．
对于A选项，因为 S▵PF1F2=12×6×yp=6 ，解得 yp=2 ，又 xp225+yp216=1 ，
则 xp2=251−2216=754 ， xp=±5 32 ，故A错误；
对于B选项， △PF1F2 的周长为 PF1+PF2+F1F2=2a+2c=10+6=16 ，故B正确；
对于C选项，设 △PF1F2 的内切圆的半径 r ，
则 S▵PF1F2=12×PF1+PF2+F1F2×r ，
又 PF1+PF2+F1F2=16 ， S▵PF1F2=6 ，
解得 r=34 ，故C正确；
对于D选项，在 △PF1F2 中，
由 S▵PF1F2=12PF1PF2sin∠F1PF2=6 ，
解得 PF1PF2=12sin∠F1PF2 ，
又 F1F22=PF12+PF22−2PF1PF2cs∠F1PF2 =PF1+PF22−2PF1PF2−2PF1PF2cs∠F1PF2 ，
即 4c2=4a2−2×12sin∠F1PF2−2×12cs∠F1PF2sin∠F1PF2 ，
整理得： 24+24cs∠F1PF2sin∠F1PF2=4a2−4c2 ，
即 24+24cs∠F1PF2sin∠F1PF2=64 ，
即 3+3cs∠F1PF2=8sin∠F1PF2 ，
又 sin2∠F1PF2+cs2∠F1PF2=1 ，
解得 sin∠F1PF2=4873 ，
设 △PF1F2 的外接圆的半径为 R ，
由正弦定理知： F1F2sin∠F1PF2=2R ，即 64873=2R ，解得 R=7316 ，故D正确．
故选：BCD．
13.【答案】 62
【解析】【分析】直接求解离心率即可得答案．
解：由题知 a2=4,b2=2 ，所以 c2=a2+b2=6 ，即 c= 6 ，
所以离心率为 e=ca= 62
故答案为： 62
14.【答案】x216+y29=1
【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标，根据椭圆的定义求出 a 的值，进而可求出 b 的值，由此可得出所求椭圆的标准方程．
解：双曲线 x24−y23=1 的焦点为 F1− 7,0 、 F2 7,0 ，
设所求椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0 ，
由椭圆的定义可得 2a= 2+ 72+3 322+ 2− 72+3 322
= 71+16 72+ 71−16 72=8+ 72+8− 72=8 ，
所以， a=4 ， b= a2−7= 16−7=3 ，
因此，所求椭圆的标准方程为 x216+y29=1 ．
故答案为： x216+y29=1 ．
15.【答案】x+22+y−22=4 或 x+62+y+62=36
【解析】【分析】设所求圆的标准方程为 x−a2+y−b2=a2 ，由题意可得 b=±a ，分 b=a 、 b=−a 两种情况讨论，根据圆心在直线 2x−y+6=0 上，求出 a 的值，即可得出所求圆的标准方程．
解：设所求圆的标准方程为 x−a2+y−b2=a2 ，
因为所求圆与两坐标轴都相切，则 b=±a ，
当 b=a 时，则圆心 a,a 在直线 2x−y+6=0 上，则 2a−a+6=a+6=0 ，解得 a=−6 ，
此时，所求圆的标准方程为 x+62+y+62=36 ；
当 b=−a 时，则圆心 a,−a 在直线 2x−y+6=0 上，则 2a+a+6=3a+6=0 ，解得 a=−2 ，
此时，所求圆的标准方程为 x+22+y−22=4 ．
综上所述，所求圆的标准方程为 x+22+y−22=4 或 x+62+y+62=36 ．
故答案为： x+22+y−22=4 或 x+62+y+62=36 ．
16.【答案】0,12
【解析】【分析】设 Qx0,y0 ，根据题中条件列出不等式，从而求解a的范围．
解：设 Qx0,y0 ，则 y02=x0 ．
因为 |PQ|≥|PO| 恒成立，所以 (x0−a)2+y02= (x0−a)2+x0≥a2 ，
则有 x02−2ax0+x0=x0x0−2a+1≥0 ，
因为 x0≥0 ，所以有 x0−2a+1≥0 ，
进而有 a≤x0+12 恒成立，故 a≤(x0+12)min=12
又 a>0 ，所以a的取值范围是 (0,12]
故答案为： (0,12]
17.【答案】解：(1)设抛物线的方程为 y2=2px(p>0) ，
将 P(1,2) 代入方程解得 p=2 ．
因此抛物线C的标准方程为 y2=4x ；
(2)直线 AB 的方程为 y=2(x−2) ，设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，
联立直线 AB 与抛物线的方程： y=2x−4,y2=4x ，解得 x1=1y1=−2,x2=4y2=4,
所以 AB 的长为 (4−1)2+(4+2)2=3 5 ．

【解析】【分析】(1)设出抛物线的方程，然后代点计算即可得答案；
(2)将直线 AB 与抛物线的方程联立，求出 A,B 两点坐标，然后用两点距离公式求解即可．
18.【答案】解：(1)设 AC 中点为 D ，所以 D0+42,2+02 ，即 D2,1 ，
由题意得 kAC=0−24−0=−12 ，所以边 AC 上高的斜率为2，
又因为 AC 的垂直平分线过点 D2,1 ，
所以 AC 的垂直平分线的方程为： y−1=2x−2 ，即 2x−y−3=0 ．
(2)设 ▵ABC 的外接圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ．
将A，B，C三点坐标代入上式得 2E+F+4=0,6D+4E+F+52=04D+F+16=0, ，解得 D=−6E=−2F=8 ，
所以圆M的方程为 x2+y2−6x−6y+8=0 ，即 (x−3)2+(y−3)2=10 ．

【解析】【分析】(1)求出直线 AC 的斜率，可得出 AC 边上的高所在直线的斜率，利用点斜式方程可得结果；
(2)设 ▵ABC 的外接圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，将该三角形的三个顶点坐标代入所求圆的方程，可得出关于 D,E,F 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出 ▵ABC 的外接圆的方程．
19.【答案】解：(1)设点 P 坐标为 (x,y) ，由 PQ= 2PA 得 PQ2=2PA2 ，
所以 x2+(y−2)2−1=2x−32+y2 ，
化简得 x2+y2−12x+4y+15=0 ．
(2)由 x2+y2−12x+4y+15=0 得 (x−6)2+(y+2)2=25 ，故圆心为 6,−2 ，半径为5，
由 MN=8 得圆心到直线 l 的距离为3，
当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l:x=3 ，满足圆心到直线 l 的距离为3；
当直线 l 与 x 轴不垂直时，可设直线 l 的方程为 y=k(x−3) ，即 kx−y−3k=0 ．
所以 6k+2−3k k2+1=3 ，解得 k=512 ，所以 5x−12y−15=0 ．
所以直线 l 的方程为 x=3 或 5x−12y−15=0 ．

【解析】【分析】(1)设出 P 坐标为 (x,y) ，由等量关系得到方程，化简后得到答案；
(2)由圆的半径和弦长得到圆心到直线距离，分直线 l 与 x 轴垂直，与 x 轴不垂直两种情况，进行求解．
20.【答案】(1)解：圆 M:x+32+y2=1 的圆心为 M−3,0 ，半径 r1=1 ．
圆 N:x−32+y2=81 的圆心为 N3,0 ，半径 r2=9 ，
MN=6设动圆圆心为 Px,y ，动圆半径为 r ，
由于 PM+PN=r+1+9−r=10>MN ，
所以 P 点的轨迹是以 M 、 N 为焦点，长轴长为 10 的椭圆，
从而 c=3 ， a=5 ，所以 b=4 ，所以点 P 的轨迹方程为 x225+y216=1 ．
(2)解：设点 Px,y ，则 −5≤x≤5 ，则 y2=16−1625x2 ，
则 PM= x+32+y2= x2+6x+9+16−1625x2= 925x2+6x+25=35x+5 ，
所以， 2≤PM≤8 ，所以， PM⋅PN=PM⋅10−PM=−PM2+10PM
=−PM−52+25∈16,25 ，
1PM+1PN=PM+PNPM⋅PN=10PM⋅PN∈25,58 ．
所以 1PM+1PN 的取值范围为 25,58 ．

【解析】【分析】(1)利用圆与圆的位置关系结合椭圆的定义可知，动圆圆心 P 的轨迹是椭圆，求出 a 、 b 、 c 的值，结合椭圆焦点的位置可得出动圆圆心 P 的轨迹方程；
(2)设点 Px,y ，则 −5≤x≤5 ，利用两点间的距离公式求出 PM 的取值范围，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可求得 1PM+1PN 的取值范围．
21.【答案】解：(1)设 M2,5 关于直线 l ： x−2y+3=0 对称点坐标为 M′x′,y′ ，
则 x′+22−2×y′+52+3=0y′−5x′−2×12=−1 ，得 x′=4y′=1 ，即 M′4,1 ，
PM+PN=PM′+PN≥M′N= 4+22+1−42=3 5 ，
所以 PM+PN 的最小值为 3 5 ．
(2)设点 P 坐标为 (x0,y0) ，
则 PM2+PN2=(x0−2)2+(y0−5)2+(x0+2)2+(y0−4)2 =2x02+2y02−18y0+49
因为点 P 在直线 l：x−2y+3=0 上，
所以 x0=2y0−3 ，
所以 PM2+PN2= 22y0−32+2y02−18y0+49 =10y02−42y0+67 ，
=10y0−21102+22910≥22910 ，
所以 PM2+PN2 的最小值为 22910 ．

【解析】【分析】(1)借助线段和的几何意义求解即可；
(2)设点 P 坐标为 (x0,y0) ，写出 PM2+PN2 的表达式，将 x0=2y0−3 代入消元，转化为二次函数的最值问题，即可求解．
22.【答案】(1)解：由双曲线 C 的离心率为 52 ，得 e=ca= 1+b2a2= 52 ，所以 a=2b ，
则渐近线方程为 y=±x2 即 x±2y=0 ，右焦点 Fc,0 到渐近线距离为 c 1+22=1 ，
所以， c= 5 ， a=2 ， b=1 ，则双曲线 C 的方程是 x24−y2=1 ．
(2)解：以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点．
法一：当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx−4 ，
若直线 l 的斜率为零，则 A 、 B 中有一点与点 N 重合，不合乎题意，则 k≠0 ，
由 y=kx−4x24−y2=1 得： 1−4k2x2+32k2x−64k2−4=0 ．
当 k≠±12 时， Δ=32k22+41−4k264k2+4=192k2+16>0 ，
设 Ax1,y1 、 Bx2,y2 ，则有 x1+x2=−32k214−k2 ， x1x2=−64k2−41−4k2 ．
又 N 是双曲线 C 的右顶点，则 N2,0 ．
由题意知，直线 AN 的方程为 y=y1x1−2x−2 ，故 P0,−2y1x1−2 ．
直线 BN 的方程为 y=y2x2−2x−2 ，故 Q0,−2y2x2−2 ．
若以 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 Tx0,0 ，则等价于 PT⋅QT=0 恒成立．
又 PT=x0,2y1x1−2 ， QT=x0,2y2x2−2 ，
所以， PT⋅QT=x02+2y1x1−2⋅2y2x2−2=0 恒成立．
又 x1−2x2−2=x1x2−2x1+x2+4=−64k2−41−4k2−2×−32k21−4k2+4=−16k21−4k2
y1y2=kx1−4kx2−4=k2x1x2−4x1+x2+16=k2−64k2−41−4k2−−128k21−4k2+16=12k21−4k2 ．
所以， x02+4y1y2x1−2x2−2=x02+48k21−4k2−16k21−4k2=x02−3=0 ，解得 x0=± 3 ．
故以 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 ± 3,0 ；
当直线 l 斜率不存在时，直线 AB 的方程为 x=4 ，
联立 x=4x24−y2=1 可得 x=4y=± 3 ，记点 A4, 3 、 B4,− 3 ，
kAN= 3−04−2= 32 ，则直线 AN 的方程为 y= 32x−2 ，
在直线 AN 的方程中，令 x=0 ，可得 y=− 3 ，即点 P0,− 3 ，同理可得点 Q0, 3 ，
则以 PQ 为直径的圆的方程为 x2+y2=3 ，过点 ± 3,0 ．
法二：若直线 l 与 x 轴重合，则 A 、 B 中有一点与点 N 重合，不合乎题意，
设直线 AB 的方程为 x=my+4 ，代入 x24−y2=1 得 m2−4y2+8my+12=0 ．
则 m2−4≠0Δ=64m2−48m2−4=16m2+192>0 ，解得 m≠±2 ，
设点 Ax1,y1 、 Bx2,y2 ，则 y1+y2=−8mm2−4 ， y1y2=12m2− 4
直线 AN 的方程为 y=y1x1−2x−2 ，
令 x=0 ，得 y=−2y1x1−2=−2y1my1+2 ，即 P0,−2y1my1+2 ，同理得 Q0,−2y2my2+2
设以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 Tx0,0 ，有 PT⊥QT ，即 PT⋅QT=0 ，
且 PT=x0,2y1my1+2 ， QT=x0,2y2my2+2 ，
则 x02+4y1y2m2y1y2+2my1+y2+4=x02+48m2−412m2m2−4−16m2m2−4+4=x02−3=0 ，
解得 x0=± 3 ，所以，直线 PQ 恒过定点 T± 3,0 ．

【解析】【分析】本题考查以 PQ 为直径的圆过定点问题，再解决这类问题时，要注意找出定点的位置，将定点问题转化为直径所对的圆周角为直角，转化为向量垂直来处理．
(1)根据双曲线的离心率可得出 a=2b ，可得出双曲线 C 的渐近线方程，利用已知条件求出 c 的值，即可得出 a 、 b 的值，由此可得出双曲线 C 的方程；
(2)解法一：对直线 l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx−4 ，设点 Ax1,y1 、 Bx2,y2 ，将直线 l 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，以 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 Tx0,0 ，则 PT⋅QT=0 ，利用平面向量数量积的坐标运算求出 x0 的值，可得出定点坐标，在直线 l 的斜率不存在时，求出圆的方程，验证圆过定点即可；
解法二：分析可知，直线 l 不与 x 轴重合，设直线 l 的方程为 x=my+4 ，设点 Ax1,y1 、 Bx2,y2 ，将直线 l 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，以 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 Tx0,0 ，则 PT⋅QT=0 ，利用平面向量数量积的坐标运算求出 x0 的值，可得出定点坐标．