2023-2024学年重庆市万州区部分重点校高二上学期第一次质量检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市万州区部分重点校高二上学期第一次质量检测数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x+y−1=0的倾斜角为
( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.已知直线l1：a−1x+y+1=0，l2：2ax+y+3=0，若l1//l2，则实数a=( )
A. −1或1B. 0或1C. 1D. −1
3.设e1,e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是
( )
A. e1与e1−e2B. e1+e2 与e1−3e2
C. e1−2e2 与−3e1+6e2D. 2e1+3e2 与e1−2e2
4.已知空间直角坐标系O−xyz中的点A(2,−1,−3)关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为( )
A. 14B. 4C. 6D. 2 10
5.如图，四棱锥P−OABC的底面是矩形，设OA=a，OC=b，OP=c，E是棱PC上一点，且PE=2EC，则BE=xa+yb+zc，则x+y+z=( )
A. 1B. −1C. −13D. −53
6.直线l的方向向量为l，平面α与β的法向量分别为m，n，则下列选项正确的是
( )
A. 若l⊥α，则l•m=0B. 若l//β，则l=kn
C. 若α⊥β，则m•n=0D. 若α/​/β，则m•n=0
7.已知向量a⇀=(3,−2,−3)，b⇀=(−2,x−1,2)，且a⇀与b⇀的夹角为钝角，则x的取值范围是
( )
A. (−5,+∞)B. (−5,73)∪(73,+∞)
C. (−∞,−5)D. (73,+∞)
8.若θ∈R，则直线y=xcsθ−1的倾斜角α的取值范围为
( )
A. [π4,3π4]B. [0,π2)∪(π2,3π4]C. [0,π4]∪[3π4,π)D. [0,π4]∪(π2,3π4]
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的有( )
A. 每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
B. 倾斜角为135∘的直线的斜率为1
C. 一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k=tanα
D. 直线斜率的取值范围是(−∞,+∞)
10.下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A. 若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a//b
B. 若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a//c
C. 若OA，OB，OC是空间的一组基底，且OD=13OA+13OB+13OC，则A，B，C，D四点共面
D. 若a，b，c是空间的一组基底，则向量a+b，b+c，c+a也是空间一组基底
11.如图所示，ABCD−A1B1C1D1为正方体，以下四个结论中正确的有
( )
A. AC1⊥平面CB1D1
B. 直线B1C与BD所成的角为60°
C. 二面角C−B1D1−C1的正切值是 3
D. AC1与底面ABCD所成角的正切值是 2
12.在三维空间中，a×b叫作向量a与b的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①a→⊥(a→×b→)，b→⊥(a→×b→)，且a，b，a×b三个向量构成右手系(如图所示)；②|a×b|=|a||b|sin⟨a,b⟩.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知其表面积为S，下列结论正确的有
( )
A. |AB1×AC|=|AD1×DB|B. AB×AD=AD×AB
C. S=6|BC×AC|D. A1C1×A1D与BD1共线
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.如图所示，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为 ．
14.已知点A(−1,1,0),B(1,2,0),C(−2,−1,0),D(3,4,0)，则AB在CD上的投影向量的长度为 ．
15.已知两点A(−3,4)，B(3,2)，过点P(2,−1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________．
16.空间直角坐标系xOy中，过点Px0,y0,z0且一个法向量为n=a,b,c的平面α的方程为ax−x0+by−y0+cz−z0=0，过点Px0,y0,z0且方向向量为n=u,v,wuvw≠0的直线l的方程为x−x0u=y−y0v=z−z0w，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x−y+z+1=0，直线l是两个平面x−y+2=0与2x−z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为 ．
四、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知：a=x,4,1,b=−2,y,−1,c=3,−2,z，a//b，b⊥c，求：
(1)a,b,c；
(2)csa+c,b+c
18.(本小题10.0分)
如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60∘．
①求AC1的长;
②求BD1与AC夹角的余弦值．
19.(本小题10.0分)
如图所示，已知直三棱柱ABC−A1B1C1，CA=CB=1，AC⊥CB，AA1=2，M、N分别是所在棱上的中点．
(1)求证：A1B⊥C1M；
(2)求异面直线BN、CB1所成的角的余弦值．
20.(本小题10.0分)
如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD=AB=2，M，N分别为AB，PC的中点，求证：
(1)MN/​/平面PAD；
(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值．
21.(本小题10.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AB // CD，且CD=2AB=2，BC=2 2，∠ABC=90°，M为BC的中点．
(1)求证：平面PDM⊥平面PAM；
(2)若二面角P−DM−A为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．
22.(本小题10.0分)
如图，在三棱锥A−BCD中，▵BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC，O是BC的中点，OA⊥CD．
(1)证明：平面ABC⊥平面BCD；
(2)若E是棱AC上的一点，从①CE=2EA；②二面角E−BD−C大小为60∘；③A−BCD的体积为 3这三个论断中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
23.(本小题10.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD的对角线互相平分，AC∩BD=O；在直角边长为2的等腰直角▵ADB中，∠ADB=90∘；在等腰直角▵PDB中，∠BPD=90∘，M为PD的中点，PO⊥AC．
(1)求证：OM//平面BCP；
(2)求二面角C−BP−A的正弦值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
由斜率直接求解倾斜角即可．
【解答】
解：设倾斜角为α,α∈0,π,
则tanα=− 3，则α=2π3．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】【分析】两直线平行，斜率都不存在或斜率相等﹒
解：∵ l1//l2 ，∴−(a−1)=−(2a)，∴a=−1，
故选：D﹒
3.【答案】C
【解析】【分析】基底的性质是平面内任意一组不平行的向量，
只要考察ABCD选项中平行向量即可．
解：对于A，显然 e1 不平行于 e1−e2 ，可以作为基底；
对于B， e1+e2≠λe1−3e2λ≠0 ，可以作为基底；
对于C，∵ −3e1+6e2=−3e1−2e2 ，∴ e1−2e2 与 −3e1+6e2 共线，
故不能作为基底；
对于D， 2e1+3e2≠λe1−2e2λ≠0 ，可以作为基底；
故选：C．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据对称关系，写出点B的坐标，利用空间中点与点的距离公式进行计算即可．
解：因为 A(2,−1,−3) ，故点 A 关于 xy 平面的对称点为 B 为 (2,−1,3) ，
故 |AB|= (2−2)2+[(−1)−(−1)]2+(−3−3)2=6 ，
故选：C．
5.【答案】B
【解析】【分析】利用空间向量基本定理求解即可
解： BE⇀=PE⇀−PB⇀=23PC⇀−PO⇀+OB⇀=23OC⇀−OP⇀−PO⇀+OA⇀+OC⇀=13OP⇀−OA⇀−13OC⇀
即 BE⇀=13c⇀−a⇀−13b⇀ ，即 x=−1,y=−13,z=13⇒x+y+z=−1
故选：B
6.【答案】C
【解析】【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系与对应向量的关系逐项进行判断即可求解．
解：若 l⊥α ，则 l 与 m 共线，故选项 A 错误；
若 l//β ，则 l⊥n ，即 l•n=0 ，故选项 B 错误；
若 α⊥β ，则 m 与 n 垂直，即 m•n=0 ，故选项 C 正确；
若 α/​/β ，则 m 与 n 共线，故选项 D 错误，
故选： C ．
7.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当 与 的夹角为钝角可得， a⇀⋅b→