2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学八年级（上）第三次月考数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学八年级（上）第三次月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空怎，解答案题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）有长分别为2cm，3cm，4cm，5cm的四根木棍，用其中的三根首尾顺次相接不能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，5cm
C．2cm，4cm，5cmD．3cm，4cm，5cm
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（a3）﹣2＝a
C．（﹣3a2）﹣3＝﹣27a6D．（﹣a2）3＝﹣a6
3．（3分）把0.000000125这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A．0.125×10﹣7B．125×10﹣6
C．1.25×10﹣7D．0.125×10﹣8
4．（3分）下列式子：﹣5x，，，，，其中分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（3分）已知钝角三角形ABC，画BC边上的高，正确的画法是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
8．（3分）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍B．扩大为原来的2倍
C．不变D．缩小为原来的倍
9．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若NM＝4，则OM的值（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（3分）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）
12．（3分）如图．P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC．以BP为边作等边△BPM，连接CM．若∠APC＝100°，△PMC为直角三角形．则∠BPC的度数是（ ）
A．50°B．60°
C．150°或110°D．150°或120°
二、填空怎（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）已知am＝6，an＝3，则am﹣n＝ ．
14．（3分）分式的值为0，那么x的值为 ．
15．（3分）如图，△ABC，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AB上，AD＝AE，∠CAD＝50°，那么∠EDB＝ 度．
16．（3分）方程的解为 ．
17．（3分）已知：x+＝3，则x2+＝ ．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是∠BAC的平分线且AD＝8，若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三、解答案题（本大题共8个小题，共66分）
19．（6分）整式乘法：
（1）（2x3y2﹣4x2y）÷2xy；
（2）（﹣2x）•（﹣x2+2x﹣3）．
20．（6分）把下列多项式分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）4m2﹣9n2．
21．（8分）先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
22．（8分）如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，∠ADB＝∠AMN．求证：∠B＝∠ANM．
23．（9分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.7cm，DE＝1.8cm．
（1）求证：△ACD≌△CBE．
（2）求BE的长．
24．（9分）已知：△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC和AC上，并且CD＝AE，连接AD、BE相交于点N，过点B作BM⊥AD于点M．
（1）求证：BE＝AD；
（2）若NE＝2，MN＝5，求AD的长．
25．（10分）我们定义：若一条线段将三角形分割成2个等腰三角形，则这条线段是这个三角形的“黄金线”．若两条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，则这两条线段是这个三角形的“钻石线”．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，过点C作∠ACD＝30°，△ACD和△BCD都是等腰三角形，则线段CD是△ABC的“黄金线”．延长CB至点E，使AB＝BE，连接AE，两条线段AB、CD将△ACE分割成3个等腰三角形，则这两条线段AB、CD是△ACE的“钻石线”．
（1）如图2，已知锐角△ABC中，∠BAC＝25°，∠ABC＝75°，若存在线段BD是△ABC的“黄金线”，则其中钝角等腰三角形的顶角是 °；
（2）如图3，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O是AB的中点，过点C作∠BCD＝40°，交AB的延长线于点D，CD边上的一点E恰好在OD的垂直平分线上，求证：线段CO、OE是△ACD的“钻石线”；
（3）若一个等腰三角形有“黄金线”，则这个等腰三角形的底角度数是 °．
26．（10分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于D点，求的值；
（3）如图③，若点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值，若变化，求PB的取值范围．
2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学八年级（上）第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）有长分别为2cm，3cm，4cm，5cm的四根木棍，用其中的三根首尾顺次相接不能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，5cm
C．2cm，4cm，5cmD．3cm，4cm，5cm
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断．
【解答】解：A、2+3＞4，故能构成三角形，不符合题意；
B、2+3＝5，不能构成三角形，符合题意；
C、2+4＞5，能组成三角形，不符合题意；
D、3+4＞5，故能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三边关系是解题关键．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（a3）﹣2＝a
C．（﹣3a2）﹣3＝﹣27a6D．（﹣a2）3＝﹣a6
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则、负指数幂的性质分别计算得出答案．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故此选项错误；
B、（a3）﹣2＝，故此选项错误；
C、（﹣3a2）﹣3＝﹣，故此选项错误；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算和同底数幂的乘法运算、负指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）把0.000000125这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A．0.125×10﹣7B．125×10﹣6
C．1.25×10﹣7D．0.125×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：根据科学记数法和负整数指数幂的意义可知：0.000000125＝1.25×10﹣7．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤a＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）下列式子：﹣5x，，，，，其中分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【解答】解：，的分母中含有字母，属于分式，共有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了分式，利用了分式的定义，注意π是常数．
5．（3分）已知钝角三角形ABC，画BC边上的高，正确的画法是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的定义，过A点作BC的垂线，则垂线段为BC边上的高，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：画BC边上的高，正确的画法为．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
6．（3分）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣＝，
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
7．（3分）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B 2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B错误；
C （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；
D x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意B不是整式的积，A、C不是积的形式．
8．（3分）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍B．扩大为原来的2倍
C．不变D．缩小为原来的倍
【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，
得＝＝，
可见新分式扩大为原来的2倍．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．
规律总结：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
9．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若NM＝4，则OM的值（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．
【解答】解：过点P作PH⊥MN于H，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∵OP＝10，
∴OH＝OP＝5，
∴OM＝OH﹣MH＝3，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
10．（3分）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据负整数指数幂的定义可得答案．
【解答】解：＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查分式的乘方运算、负整数指数幂的意义，本题属于基础题型，掌握各公式是关键．
11．（3分）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：∵图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
12．（3分）如图．P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC．以BP为边作等边△BPM，连接CM．若∠APC＝100°，△PMC为直角三角形．则∠BPC的度数是（ ）
A．50°B．60°
C．150°或110°D．150°或120°
【分析】证明△ABP≌△CBM得∠APB＝∠CMB，设∠APB＝x，∠CPM＝y，∠PMC＝z；首先证明y+z＝140°，再分两种情形解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，△BPM是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠PBM＝60°，BP＝BM，
∴∠ABP＝∠ABM，
∴△ABP≌△CBM，
设∠APB＝x，∠CPM＝y，∠PMC＝z，
∵△PBM为等边三角形，
∴∠BPM＝∠BMP＝60°，
由∠APC＝100°知，x+y＝360°﹣100°﹣60°＝200°，
由△ABP≌△CBM知，∠BMC＝∠APB＝x，
∴60°+z+y＝200°，
故z+y＝140°，∠PCM＝40°，
∵△PMC为直角三角形，
∴z＝90°或y＝90°，
当z＝90°时，y＝50°，
∴∠BPC＝60°+50°＝110°
当y＝90°时，∠BPC＝60°+90°＝150°，
综上所述∠BPC＝150°或110°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及其性质、等边三角形的判定及其性质等的应用问题；解题的关键是准确判断出图形中隐含的一对全等三角形，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二、填空怎（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）已知am＝6，an＝3，则am﹣n＝ 2 ．
【分析】根据同底数幂的除法法则去做即可．
【解答】解：am﹣n＝am÷an＝6÷3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减是解题的关键．
14．（3分）分式的值为0，那么x的值为 3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得：x2﹣9＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
15．（3分）如图，△ABC，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AB上，AD＝AE，∠CAD＝50°，那么∠EDB＝ 25 度．
【分析】设∠BAD＝x，求出∠AED＝∠ADE＝，∠B＝∠C＝，再根据外角的性质解答即可．
【解答】解：设∠BAD＝x，
∵AD＝AE，∠CAD＝50°，
∴∠AED＝∠ADE＝，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝，
∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠EDB＝∠AED﹣∠B＝﹣＝25°，
故答案为：25．
【点评】本题考查了三角形的性质，掌握三角形的性质是解题的关键．
16．（3分）方程的解为 x＝7 ．
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：原方程可化为：，
方程的两边同乘（x﹣3），得
1＝2（x﹣3）﹣x，
解得x＝7．
经检验x＝7是方程的解，
故原方程的解为：x＝7．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
17．（3分）已知：x+＝3，则x2+＝ 7 ．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵x+＝3，
∴（x+）2＝x2+2+＝9，
∴x2+＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是∠BAC的平分线且AD＝8，若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 9.6 ．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，
∴BQ＝＝9.6．
故答案为：9.6．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．
三、解答案题（本大题共8个小题，共66分）
19．（6分）整式乘法：
（1）（2x3y2﹣4x2y）÷2xy；
（2）（﹣2x）•（﹣x2+2x﹣3）．
【分析】（1）利用乘法分配律以及整式运算法则解答即可；
（2）利用乘法分配律以及整式运算法则解答即可．
【解答】解：（1）（2x3y2﹣4x2y）÷2xy
＝
＝
＝x2y﹣2x．
（2）﹣2x（﹣x2+2x﹣3）
＝（﹣2x）•（﹣x2）+（﹣2x）⋅2x﹣（﹣2x）⋅3
＝2x3﹣4x2+6x．
【点评】本题考查整式运算法则，以及乘法分配律，解题的关键是掌握整式运算法则和乘法分配律．
20．（6分）把下列多项式分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）4m2﹣9n2．
【分析】（1）直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）3a2﹣6ab+3b2
＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2；
（2）4m2﹣9n2＝（2m﹣3n）（2m+3n）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
21．（8分）先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
＝•
＝•
＝，
∵x+3≠0，x﹣1≠0，
∴x≠﹣3，x≠1，
∴当x＝2时，原式＝＝2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
22．（8分）如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，∠ADB＝∠AMN．求证：∠B＝∠ANM．
【分析】先证∠BAD＝∠NAM，再证△BAD≌△NAM（AAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAM，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠NAM．
在△BAD和△NAM中，
，
∴△BAD≌△NAM（AAS），
∴∠B＝∠ANM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△BAD≌△NAM是解题的关键．
23．（9分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.7cm，DE＝1.8cm．
（1）求证：△ACD≌△CBE．
（2）求BE的长．
【分析】（1）由垂直得∠ADC＝∠CEB＝90°，求出∠ACD＝∠CBE，然后利用AAS即可证明△ACD≌△CBE；
（2）根据全等三角形的性质可得CE＝AD＝2.7cm，BE＝CD，根据CD＝CE﹣DE求出CD即可得到BE的长．
【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCE＝90°﹣∠BCE，
∵∠CBE＝90°﹣∠BCE，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）解：由（1）知，：△ACD≌△CBE，
∴CE＝AD＝2.7cm，BE＝CD，
∵CD＝CE﹣DE＝2.7﹣1.8＝0.9cm，
∴BE＝0.9cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．
24．（9分）已知：△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC和AC上，并且CD＝AE，连接AD、BE相交于点N，过点B作BM⊥AD于点M．
（1）求证：BE＝AD；
（2）若NE＝2，MN＝5，求AD的长．
【分析】（1）SAS证明△ABE≌△CAD，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BND＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，
∴∠MBN＝30°，
∴BN＝2MN＝2×5＝10，
∴BE＝BN+NE＝10+2＝12，
∴AD＝12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．（10分）我们定义：若一条线段将三角形分割成2个等腰三角形，则这条线段是这个三角形的“黄金线”．若两条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，则这两条线段是这个三角形的“钻石线”．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，过点C作∠ACD＝30°，△ACD和△BCD都是等腰三角形，则线段CD是△ABC的“黄金线”．延长CB至点E，使AB＝BE，连接AE，两条线段AB、CD将△ACE分割成3个等腰三角形，则这两条线段AB、CD是△ACE的“钻石线”．
（1）如图2，已知锐角△ABC中，∠BAC＝25°，∠ABC＝75°，若存在线段BD是△ABC的“黄金线”，则其中钝角等腰三角形的顶角是 130 °；
（2）如图3，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O是AB的中点，过点C作∠BCD＝40°，交AB的延长线于点D，CD边上的一点E恰好在OD的垂直平分线上，求证：线段CO、OE是△ACD的“钻石线”；
（3）若一个等腰三角形有“黄金线”，则这个等腰三角形的底角度数是 72或36或45°或 °．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（2）证明△AOC，△OCE，△CED都是等腰三角形即可；
（3）设底角度数为x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】（1）解：如图2中，
∵BD是“黄金线“，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA＝25°，
∴∠CDB＝∠A+∠DBA＝50°，
∵∠ABC＝75°，
∴∠CBD＝75°﹣25°＝50°，
∴∠CDB＝∠CBD＝50°，
∴△ADB，△CDB都是等腰三角形，
∴∠ADB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
故答案为：130；
（2）证明：如图3中，
∵∠ACB＝90°，AO＝OB，
∴OC＝OA＝OB，
∴△AOC是等腰三角形，
∵∠BCD＝40°，
∴∠ACD＝90°+40°＝130°，
∴∠D＝180°﹣130°﹣30°＝20°，
∵点E在OD的垂直平分线上，
∴ED＝EO，
∴∠D＝∠EOD＝20°，
∴∠OEC＝∠D+∠EOD＝40°，
∵∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠OCB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ECO＝60°+40°＝100°，
∴∠COE＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
∴∠COE＝∠CEO＝40°，
∴CO＝CE，
∴△CEO，△OED都是等腰三角形，
∴线段CO、OE是△ACD的“钻石线”；
（3）解：①设△ABC是以AB、AC为腰的锐角三角形，BD为“双等腰线”，如图5，
当AD＝BD，BD＝BC时，
设∠A＝x°，则∠ABD＝x°，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x°+2x°+2x°＝180°，
∴x＝36°，2x＝72°，
∴∠C＝72°，
②设△ABC是以AB、AC为腰的钝角三角形，AD为“双等腰线”，如图6，
当AB＝BD，AD＝CD时，
设∠B＝y°，则∠C＝y°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝y°，
∴∠ADB＝2y°，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝2y°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴y°+2y°+2y°＝180°，
∴y＝36°，
∴∠B＝∠C＝36°，
③设△ABC是以AB、AC为腰的直角三角形，AD为“双等腰线”，如图7，
当AB＝BD，AD＝CD时，AD为BC的垂直平分线，
设∠B＝z°，则∠C＝z°，∠BAD＝z°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴z°+z°＝90°，
∴z＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
④设顶角为x，
可得，x+3x+3x＝180°
解得：x＝（）°，
∴∠C＝3x＝（）°，
故答案为：72或36或45°或．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解三角形的“黄金线”，“钻石线”的定义，属于中考创新题型．
26．（10分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于D点，求的值；
（3）如图③，若点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值，若变化，求PB的取值范围．
【分析】（1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）设AB＝BC＝a，根据勾股定理求出AC＝a，根据MA（即x轴）平分∠BAC，得到＝＝，求得BM＝（﹣1）a，MC＝（2﹣）a，AM＝a，再证明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到＝，即CD＝，即可解答，
（3）作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解题．
【解答】解：（1）如图1，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中，
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝BO＝5，
∴B点坐标（O，5）；
（2）设AB＝BC＝a，
则AC＝a，
∵MA（即x轴）平分∠BAC，
∴＝＝，
即MC＝BM，
∵BC＝BM+MC＝a，
∴BM+BM＝a，
解得BM＝（﹣1）a，MC＝（2﹣）a
则AM＝＝a，
∵∠ABM＝∠CDM＝90°
且∠AMB＝∠CMD
∴Rt△ABM∽Rt△CDM，
∴＝，
即CD＝，
∴＝＝；
解法二：延长CD交AB的延长线于点T．
可证△ABM≌△CBT（AAS），
∴AM＝CT，
再证明CD＝DT，可得AM＝2CD，
∴＝．
（3）如图3，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBG＝90°，
∴∠BAO＝∠EBG，
在△BAO和△EBG中，
，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG＝AO，EG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝EG，
在△EGP和△FBP中，
，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝AO＝2．
【点评】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．
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