初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质图文课件ppt

这是一份初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质图文课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了复习引入，什么是角平分线，新知探究，猜想PDPE，∴PDPE，应用所具备的条件，证明线段相等，应用格式，定理的作用，典例精析等内容，欢迎下载使用。

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
如图，OC是∠AOB的平分线.
在纸上画一个角，怎么找到这个角的平分线？
可以用量角器、圆规、对折等方法.
实际生产应用中，又应该如何找到零件或者材料的角平分线呢？
下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
理由如下：如图构成了△ADC和△ABC， ∵在△ADC和△ABC中， AD=AB， AC=AC， DC=BC， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴ ∠DAC=∠BAC. ∵点C在射线AE上,∴AE是这个角的平分线.
如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？请大家找到用尺规作角的平分线的方法.
(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC = DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC，射线OC即为所求.
这是初中重要的尺规作图，必须掌握方法、步骤和原理！
思考1：为什么要以适当长为半径画弧线？
以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.
思考2：为什么要以大于 MN的长为半径画弧？
是因为小于 MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于 MN的长为半径画弧时不容易操作.
思考3：两弧交点在什么位置？
应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.
思考4：第（3）步能否说成“连接OC”？
“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
根据以上测量，你能得到什么猜想？
能否根据全等的知识来证明上述结论？
证明：∵ PD⊥OA， PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在△PDO和△PEO中， ∠PDO =∠PEO， ∠DOP =∠EOP， OP = OP，
∴ △PDO≌△PEO（AAS）.
性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB，
（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明过程.
（1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；（2）证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等.
①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE ②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE ③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足分别为D.若PD=3，则点P到OB的距离为3
判断下列命题是否正确：
（PD、PE不是角平分线上的点到角两边的距离）.
（OC不是∠AOB的平分线）.
（PD是∠AOB平分线OC上的点到OA的距离）.
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：EB=FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD， DE=DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴EB=FC.
解：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC.又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD， DC=DE， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE. ∵AC=BC， ∴AE=BC， ∴△DEB的周长为8cm.
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，求△DEB的周长.
如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到 公路、铁路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何处？
解：∵集贸市场到公路和铁路的距离相等 ∴集贸市场应该在公路和铁路的角平分线上 不妨设公路和铁路的交点为O 作∠AOB的平分线OP 在OP上找一点S，使得OS=500m 点S即为集贸市场
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
解：过点P作PE⊥BC于点E，作PD⊥AB于点D， 作PF⊥AC于点F， ∵BM、CN分别平分∠ABC、∠ACB ∴PD=PF 由于三角形三条角平分线交于一点 故点P也在∠A的平分线上 ∴PD=PF=PE ∴点P到三边AB、BC、CA的距离相等
如图1-30，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取一点P，PE⊥DB， PF⊥AC， 垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系.
在△EBP中，BE+PE>PB，
∴ BE+PF>PB.
如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE.
证明：作CM⊥AB于点M.
2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 .
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
3.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F，∵ AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB.∴ DF ＝ DE ＝ 2. 解得 AC＝3.
4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E， S△ABC ＝ 7，DE ＝ 2，AB ＝ 4，则 AC 的长是 (　　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5.如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D. 求证：(1)∠ECD=∠EDC； (2)OC=OD.