江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高二上学期11月期中调研测试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高二上学期11月期中调研测试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、抛物线的准线方程是( )
A.B.C.D.
2、已知过坐标原点的直线l经过点,直线n的倾斜角是直线l的2倍,则直线n的斜率是( )
A.B.C.D.
3、设m为实数,若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
4、设等差数列的前n项和为,若,,则( )
A.30B.36C.42D.48
5、以点为圆心,且与直线相切的圆的方程是( )
A.B.
C.D.
6、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见初行行里数,请公仔细算相还.其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天到达目的地.”则此人第一天走了( )
A.192里B.148里C.132里D.124里
7、已知圆和两点,,若圆C上存在点M,满足,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、双曲线方程为,,为其左､右焦点,过右焦点的直线与双曲线交于点A和点B,满足,,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知双曲线,则( )
A.双曲线C的离心率为
B.双曲线C的虚轴长为
C.双曲线C的焦点坐标为
D.双曲线C的渐近线方程为
10、下列说法中,正确的有( )
A.直线在y轴上的截距是2
B.直线与平行,则实数a的值为1
C.若点和点关于直线对称,则
D.过点且在x轴,y轴上的截距相等的直线方程为
11、对于数列,设其前n项和,则下列命题正确的是( )
A.若数列为等比数列,且,,成等差数列,则,,也成等差数列
B.若数列为等比数列,则
C.若数列为等差数列,则数列成等差数列
D.若数列为等差数列,且,,则使得的最小的n值为15
12、抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形,该三角形以其深刻的背景,丰富的性质产生了无穷的魅力.设A,B是抛物线上两个不同的点,以A,B为切点的切线交于P点.若弦AB过,则下列说法正确的有( )
A.点P在直线上B.存在点P,使得
C.D.面积的最小值为4
三、填空题
13、已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点,则双曲线C的标准方程为________.
14、在数列中,,,则数列的通项公式为________.
15、曲线围成的图形面积是________.
16、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排列的形状,把数分成许多类,如图,第一行图形中黑色小点个数:1,3,6,10,…称为三角形数,第二行图形中黑色小点个数:1,4,9,16,…称为正方形数,记三角形数构成数列,正方形数构成数列,则________;________.
四、解答题
17、已知双曲线的离心率为,抛物线的焦点为F,准线为l,直线l交双曲线C的两条渐近线于M,N两点,的面积为3.
（1）求双曲线C的渐近线方程;
（2）求抛物线D的方程.
18、已知圆M经过两点,,且圆心在直线上.
（1）求圆M的标准方程;
（2）若过点的直线l与圆M相交于C,D两点,且,求直线l的方程.
19、在数列中,,,.
（1）求证:数列A是等比数列;
（2）设,求数列的前2n项和.
20、已知抛物线的方程是,直线l交抛物线于A,B两点.
（1）若弦AB的中点为,求弦AB的直线方程;
（2）设,,若,求证:直线AB过定点.
21、已知正项数列前n项和为,且满足.
（1）求;
（2）令,记数列前n项和为,若对任意的,均有恒成立,求实数m的取值范围.
22、换元法在数学中应用较为广泛,其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景.
例如,已知,,,求的最小值.其求解过程可以是:
设,,
则,
所以当时取得最小值16,这种换元方法称为“对称换元”.
已知平面内两定点,,一动点P到两个定点的距离之和为.
（1）请利用上述求解方法,求出P点的轨迹方程;
（2）已知点,设点A,B在第（1）问所求的曲线上,直线MA,MB均与圆相切,试判断直线AB是否过定点,并证明你的结论.
参考答案
1、答案：C
解析:抛物线的方程为令,解得,所以所以抛物线的准线方程为.故选:C.
2、答案：B
解析:
3、答案：A
解析:方程表示焦点在y轴上的椭圆,
可得,解得.故选:A.
4、答案：C
解析:设首项为,公差为d.因,,则,则.故选:C
5、答案：D
解析:设圆的半径为r,则由题知,
故圆的方程为:.
故选:D.
6、答案：A
解析:
7、答案：B
解析:
8、答案：C
解析:设,由,
,可得,
在直角三角形中,可得,,
由双曲线的定义可得,
则,
由双曲线的定义可得,
即,解得,
在直角三角形中,,
,,
则,
即,可得,
故选:C.
9、答案：ACD
解析:由双曲线的方程,得,,则,所以离心率为正确;
虚轴长为,B错误;焦点坐标为,C正确;渐近线方程为,D正确.
故选:ACD.
10、答案：BC
解析:直线在y轴上的截距为,A错误;若直线与平行,则,
解得或,
当时,直线与重合,
故,B正确;
若点和点关于直线对称,则,
则,C正确;直线也经过点且在x,y轴上的截距相等,显然D错误.
故选:BC.
11、答案：AC
解析:对于A,因为数列为等比,且,,成等差数列,
所以,所以,由等比数列的求和公式得,
,
即,
所以有,
所以,
从而有,,也成等差数列,故A正确;
对于B,因为数列为等比数列,当时,,
,
所以,故B错误;
对于C,因为数列为等差数列,
由等差数列的求和公式可得,,
所以是关于n的一次函数,
所以数列成等差数列,故C正确;
对于D,因为数列为等差数列,且
由等差数列的求和公式可得,,
化简可得,,
又,所以,
所以,
即,解得,所以使得的最小的n值为16,故D错误.
故选:AC.
12、答案：ACD
解析:对于A,由题意,设直线,联立,消去y整理得;,设,,则,,则过A点的切线紏事为,易知,即,
则切线方虽为:,即,
同理可得:过B点的切线方程为:,
联立,解得即,
所以点P在定直线上,A正确;
对于B,由选项A可知,直绕AP的斜察为,直线BP的紏卒为,
,
所以,即,B错误;对于C,由选项A可知,,则直线PF的組,
由,则,C正解;
对于D,由选项C可知:
,
则,当时,有晨小值为4,D正确.
故造:ACD.
13、答案：
解析:由题意,在等轴双曲线C中,对称轴是坐标轴,图像过,
当焦点在x轴时,设,则,
,解得:,
双曲线C的标准方程为,当焦点在y轴时,不成立,
综上,双曲线y的标准方程为.
故答案为:.
14、答案：
解析:,
,则数列是首项为,公差为的等差数列,
故,
,
故答案为:.
15、答案：
解析:由题意,作出如图的图形,由曲线关于原点对称,
当,
时,解析式为,
故可得此曲线所围的力图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成,
所围成的面积是,
故答案为:.
16、答案：55;
解析:由题意得,
则,,…,
,
由累加得,
,
经检验也满足上式,
故,则;
根据正方形数可得,
当时,,
则
,
故答案为:55;.
17、答案：（1）
（2）
解析:（1）由题意,双曲线的离心率为,
可得,解得,
所以双曲线C的渐近线方程为
（2）由抛物线,可得其准线方程为,
代入渐近线方程得,,所以,
则,解得,
所以抛物线D的方程为.
18、答案：（1）
（2）或
解析:（1）由题知,所求圆的圆心M为线段AB的垂直平分线和直线的交点.
线段AB的中点坐标为,直线AB的斜率,
所以,AB的垂直平分线的方程为.
解得圆心.半径.
所以,圆M的标准方程为
（2）由题意知圆心M到直线的距离为,
当直线l斜率存在时,设直线方程为,即.
所以,,解得所以,直线l的方程为.
当直线l斜率不存在时,直线方程为,符合题意.
所以,直线l的方程为或
19、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）由已知得,
又数列是公比为4的等比数列…
（2）由（1）知,
20、答案：（1）
（2）
解析:（1）由于在抛物线开口之内,且不在x轴上,
直线l的斜率存在,设为k,且设,,
可得,,
两式相减可得,
即,
则直线l的方程为,即,
检验直线l存在,且方程为;
（2）证明:若直线l的斜率不存在,可得,
代入抛物线方程,可得,,
则,即,直线AB过:
若直线l的斜率存在,设为k,当时,直线l与抛物线的交点仅有一个,
方程设为,,
代入抛物线的方程消去x可得,
可得,即有,
可得,直线l的方程为,则直线l恒过定点.
综上,直线AB恒过定点.
21、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）因为,当,时,有,两式相减得,移项合并同类项因式分解得
,因为,所以有,
在中,令得,
所以数列是以1为首项,以2为公差的等差数列,故有
（2）由（1）知,
,
,
,
由题意,对任意的,均有恒成立,
,即恒成立,
设,则,
当时,,即;当时,,即,
的最大值为,.
故m的取值范围是.
22、答案：（1）
（2）
解析:（1）设,由题意知,
即,
令,,
等式两边同时平方得
①
②
①-②得,
即③代入①中得
,整理可得,
故P点的轨迹方程为
（2）设直线MA的方程为,直线MB的方程为,
由题知,所以,
所以,同理,,
所以,是方程的两根,所以,
设,,设直线AB的方程为,
将代入,得,
所以①,
②,
所以③,④,
又因为⑤,
将①②③④代入⑤,化简得,
所以,所以,
若,则直线,此时AB过点M,舍去,
若,则直线,此时AB恒过点,
所以直线AB过定点.