青海省西宁市大通回族土族自治县2022届高三第一次模拟考试数学（理科）试题(含答案)

这是一份青海省西宁市大通回族土族自治县2022届高三第一次模拟考试数学（理科）试题(含答案)，共18页。试卷主要包含了解答题，填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1、已知函数.
（1）当,时,解不等式;
（2）若的最小值为6,求的最小值.
2、在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数）,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
（2）已知点,直线l与曲线C相交于点M,N,求的值.
3、已知.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,证明：函数有且仅有两个零点,且.
4、设抛物线的焦点为F,过F且斜率为的直线l与C交于A,B两点,.
（1）求l的方程;
（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
5、2020年是具有里程碑意义的一年,我们将全面建成小康社会,实现第一个百年奋斗目标.2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词）.截至2019年底,中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1109万人,贫困发生率由2012年的10.2%下降至2019年的0.6%,连续8年每年减贫规模都在500万人以上;确保到2020年农村贫困人口实现脱贫,是我们党立下的军令状,脱贫攻坚越到最后时刻,越要响鼓重锤,某贫困地区截至2019年底,按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准,该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户,得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.
(1)求出频率分布直方图中的a的值,并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数;（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)现从这50户2019年的家庭人均年纯收入在之间的家庭中任抽取3户进行调查,进一步了解家庭生活情况,设抽取的家庭人均年纯收入在的户数为X,求X的分布列和数学期望.
6、如图,在四棱锥中,,,,.
(1)证明：;
(2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.
7、已知单调递增的等差数列的前n项和为,且,,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
二、填空题
8、在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且的面积为,则角C的大小为_____________.
9、若函数在区间上有最大值,则实数a的取值范围是_______________.
10、已知x,y之间具有线性相关关系,若通过10组数据得到的回归方程为,且,则_____________.
11、已知平面向量,若与垂直,则实数____________.
三、选择题
12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A.B.C.D.
13、如图所示的曲线为函数的部分图象,将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的,再将所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图象,则( )
A.函数在上单调递减
B.点为图象的一个对称中心
C.直线为图象的一条对称轴
D.函数在上单调递增
14、已知椭圆的左焦点为F,过F作倾斜角为的直线与椭圆C交于A,B两点,M为线段AB的中点,若（O为坐标原点）,则椭圆C的离心率是( )
A.B.C.D.
15、已知定义域为R的奇函数满足,且当时,,则( )
A.B.-1C.-2D.2
16、在三棱锥中,是等腰直角三角形,,且平面ABC,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
17、在区间,内随机地各取一个数,则两数差的绝对值不小于1的概率为( )
A.B.C.D.
18、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.B.C.D.
19、已知,,则( )
A.B.C.D.
20、若的展开式中含项的系数为,则实数a的值为( )
A.-1B.-2C.-3D.-4
21、已知,则的值为( )
A.B.C.D.
22、若,则( )
A.1B.-1C.iD.-i
23、已知全集,集合,则( )
A.B.C.D.
参考答案
1、答案：（1）;
（2）最小值为1.
解析：（1）当,时,即为,得,
所以或或
解得或或,故解集为.
（2）因为,
所以
.
若的最小值为6,则,
所以.
则,
当且仅当且,
即,时等号成立,
所以的最小值为1.
2、答案：（1）,;
（2）2.
解析：（1）由（t为参数）,所以.
则直线的普通方程为：;由,
所以
又,,
所以,
则曲线C的直角坐标方程为：.
（2）由（1）可知：直线l的参数方程标准形式为（t为参数）,
将该方程代入曲线C的直角坐标方程化简可得：,
.
设点M,N所对应的参数分别为,,
所以,,则,,
所以.
3、答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
解析：（1）的定义域为,.
当时,,在上单调递增;
当时,由,得,由,得,
故在上单调递增,在上单调递减.
（2）当时,,由（1）知,在单调递增,在单调递减,所以
,所以在区间上存在零点,
因为在单调递增,故在区间上存在唯一的零点;
因为,所以在区间上存在零点,
因为在单调递减,所以在区间存在唯一的零点.
所以,函数有且仅有两个零点,.
不妨设,.
要证,只需证明,
因为在单调递增且,
所以只需证明,又,
只需证明
设,
,
当时,,
所以,所以在上单调递增,
所以,所以,
所以成立.故有.
4、答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）由题意得,设直线l的方程为.
设,由得.
,故.
所以.
由题设知,解得（舍去）或.因此l的方程为.
（2）由（1）得AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线方程为
,即.
设所求圆的圆心坐标为,则
解得或,
因此所求圆的方程为或.
5、答案：(1),平均数为4.72
(2)分布列见解析,
解析：（1）,.
平均数为.
（2）有户,
有户,
共有户.
X的可能取值为0,1,2,3,
,
,
所以分布列为：
.
6、答案：(1)证明见解析;
(2)
解析：(1)连接BD,AC交于点O,
,,则是等边三角形,,
,,则,,
又,所以,所以,所以,
,PO,平面APC,所以平面APC,又平面APC,
所以;
(2)由余弦定理,
,
在等边中,所以,所以,
,,
以OA,OB,OP为x,y,z轴建立空间坐标系,如图,
则,,,,
,,,
设平面PAD的一个法向量是,
则,取,则,,即,
设直线PC与平面PAD所成角的大小为,
则.
所以直线PC与平面PAD所成角的正弦值为.
7、答案：(1)
(2)
解析：（1）设的公差为,由题意得
解得或（舍）,
所以,即.
（2）由（1）得,
所以,
所以
8、答案：
解析：
（其中R为外接圆的半径）,
所以.
又,
所以,
因为,
所以,
因为,
所以,即,
所以,
又,
所以,
所以.
故答案为：.
9、答案：
解析：,
或时,,时,,
所以在和上都递增,在上递减,
,
在区间上有最大值,则,
解得.
故答案为：.
10、答案：8
解析：依题意知,,因为回归方程为,
所以可以计算出,所以.
故答案为：8.
11、答案：-1
解析：因为与垂直,
所以,即,,解得.
故答案为：-1.
12、答案：A
解析：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的,
所以在正方体中,
平面与线,,所成的角是相等的,
所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,
同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等,
要求截面面积最大,则截面的位置为夹在两个面与中间的,
且过棱的中点的正六边形,且边长为,
所以其面积为,
故选A.
13、答案：D
解析：由图象知,
又,所以的一个最低点为,
而的最小正周期为,
所以
又,则,
所以,即,
又,所以,
所以,
将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象,
再把所得曲线向右平移个单位长度得,
即.
由得,
所以在上单调递增,
在上单调递减,
当时,可知在递增,在递减,所以A错误;
因为,
所以不是图象的一个对称中心,故B错误;
因为,
所以直线不是图象的一条对称轴,故C错误;
因为在上单调递增,
所以函数在上单调递增,故D正确;
故选：D.
14、答案：B
解析：设,,,A,B在椭圆上,
所以,两式相减,
得,
由直线AB的倾斜角为,可知,所以;
设,,,
所以,所以,
所以,即,所以.
故选：B.
15、答案：B
解析：因为函数为奇函数,所以,
所以,所以,
所以,即,所以的周期为4.
所以,
又时,,
所以,所以.
故选：B.
16、答案：A
解析：因为是等腰直角三角形,,
所以,.
因为平面ABC,平面ABC,所以,所以AP为球的直径,
且,所以三棱锥的外接球的半径为2,
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选:A.
17、答案：A
解析：设所取两数分别为a,b,由题意知,,
记四边形ABCD面积为,阴影部分面积为
如图所示,所求概率.
故选:A.
18、答案：B
解析：由题意,作出三视图的直观图,图下图所示,其中三棱锥即为该几何体的直观图,
由三视图可知,
,,
所以三角形ABD的高为
所以三角形ABD的面积为;
,;
所以该几何体的表面积为.
故选：B.
19、答案：D
解析：根据对数函数的单调性可以得到,根据指数函数的性质可得,,故选D.
20、答案：A
解析：因为,
其中的展开式的通项公式为,
令,解得,又令,解得.此时含x的项的系数为,解得.
故选：A.
21、答案：B
解析：由
得,
即,等式两边同时平方,
得,所以.
故选：B.
22、答案：B
解析：因为,所以.
故选：B.
23、答案：C
解析：因为,
所以,则.
故选：C.
P
0
1
2
3
X