2023-2024学年江苏省无锡市新吴区梅里集团校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市新吴区梅里集团校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是
( )
A. x2−5x=5B. 3x+2y=1C. x3+5x=11D. 2x2−6y=7
2.已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠A=70∘，则∠C的度数为
( )
A. 70∘B. 80∘C. 100∘D. 110∘
3.我市某中学开展“经典诵读”比赛活动，810班在此次比赛中的得分分别是：9.1，9.8，9.1，9.2，9.9，9.1，9.9，9.1，这组数据的众数和中位数分别是
( )
A. 9.1，9.1B. 9.1，9.15C. 9.1，9.2D. 9.9，9.2
4.若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为
( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为210万，设新注册用户数的年平均增长率为x(x>0)，根据题意所列方程正确的是
( )
A. 100x2=210B. 100(1−x)2=210
C. 1000(1+2x)2=210D. 10(1+x)2=210
6.如图，已知AB是半圆O的直径，∠DAC=36∘，D是弧AC的中点，那么∠BAC的度数是
( )
A. 54∘B. 27∘C. 36∘D. 18∘
7.下列命题中，真命题的个数是
( )
①长度相等的弧是等弧
②相等的圆心角所对的弦相等
③等边三角形的外心与内心重合
④任意三点可以确定一个圆
⑤三角形有且只有一个外接圆
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.我国古代数学家赵爽(公元3∼4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法．以方程x2+2x−35=0即x(x+2)=35为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是(x+x+2)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x=5.则图2是下列哪个方程的几何解法
( )
A. x2−3x−10=0B. x2+2x−8=0C. x2−4x−5=0D. x2+5x−6=0
9.如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为
( )
A. 4πcm2B. 5πcm2C. 6πcm2D. 8πcm2
10.如图，ΔABC内接于⊙O，BC=18，∠A=60∘，点D为弧BC上一动点，BE⊥直线OD于E，当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路线长为
( )
A. 6 3πB. 27C. 27 3πD. 4 3π
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11.已知关于x的方程x2−2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12.有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为1∼6.任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数大于3的概率是 ．
13.如图，若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 ．
14.设a，b分别是方程x2+x−2023=0的两个实数根，则a2+2a+b的值是 ．
15.如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=54∘，则∠ABO的度数是 ．
16.某电视台要招聘1名记者，某应聘者参加了3项素质测试，成绩如下：
如果将采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按3:5:2计算，则该应聘者的素质测试平均成绩是 分．
17.如图，已知⊙O与RtΔAOB的斜边交于C，D两点，C、D恰好是AB的三等分点，若⊙O的半径等于10，则∠A= ，AB的长为 ．
18.如图，在平面直角坐标系中，已知C(3,4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA=OB.点P为⊙C上的动点，∠APB=90∘，则AB长度的最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8分)
解方程：
(1)(x−1)2−25=0；
(2)x2−4x−1=0(配方法)；
(3)x2−7x+12=0；
(4)x(x+2)=(x+2)．
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根及m的值．
21.(本小题8分)
某校为了了解初三学生对安全知识的掌握情况，加强学生的安全防范和自我保护意识，对该校1000名初三学生开展安全知识竞赛活动．用简单随机抽样的方法，随机抽取若干名学生统计答题成绩，分别制成如下频数分布表和频数分布直方图：
初三学生安全知识竞赛成绩频数分布表
(1)表格中，a=__，b=__；
(2)请把频数分布直方图补充完整；(画图后标注相应的数据)
(3)规定成绩80分以上(含80分)的同学成为“安全明星”，则该校初三学生成为“安全明星”的共有多少人？
22.(本小题8分)
秋高气爽，小明和小华准备游览一下无锡本地著名景点，备选景点有灵山大佛山(记为A)、鼋头渚(记为B)、梅园(记为C)、荡口古镇(记为D)，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．
(1)小明选择去梅园的概率为__；
(2)用树状图或列表的方法求小明和小华选择去同一个地方游玩的概率．
23.(本小题8分)
直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．
(1)若实际单价定为56元，则一个月的利润为__元；
(2)针对这种小家电的销售情况，该商店要保证每月盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？
24.(本小题8分)
如图，已知ΔABC是锐角三角形．
(1)利用直尺与圆规画出ΔABC的外接圆⊙O.(保留作图痕迹)
(2)利用直尺与圆规画出(1)中经过点B的⊙O的切线l.(保留作图痕迹)
25.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
(1)求证：∠E=∠D；
(2)若AB=6，BC−AC=2，求CE的长．
26.(本小题8分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，AB平分∠CAE．
(1)判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠ACB=30∘，⊙O的半径为4，请求出图中阴影部分的面积．
27.(本小题8分)
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程x2−6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2−6x+8=0就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程x2−3x+c=0是“倍根方程”，则c=__；
(2)若(x−2)(mx−n)=0(m≠0)是“倍根方程”，求代数式4m2−5mn+n2的值；
(3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．
28.(本小题8分)
如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上)，与MN的另一个交点R，连接AC，DE
(1)当∠APB=28∘时，求∠B的度数和弧CM的度数．
(2)求证：AC=AB．
(3)若MP=4，点P为射线MN上的一个动点，
①求MR的值；
②在点P的运动过程中，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求此时所有满足条件的MQ的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A．x2−5x=5为一元二次方程，所以A选项符合题意；
B．3x+2y=1为二元一次方程，所以B选项不符合题意；
C．x3+5x=11为一元三次方程，所以C选项不符合题意；
D．2x2−6y=7为二元二次方程，所以D选项不符合题意；
故选：A．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180∘，
∵∠A=70∘，
∴∠C=180∘−∠A=180∘−70∘=110∘．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的众数，然后再计算出中位数即可．
【解答】解：将数据9.1，9.8，9.1，9.2，9.9，9.1，9.9，9.1按照从小到大排列是：9.1，9.1，9.1，9.1，9.2，9.8，9.9，9.9，
则这组数据的众数是9.1，中位数是(9.1+9.2)÷2=9.15，
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【分析】因为⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角=60∘，构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角=60∘，
∴360∘n=60∘，
∴n=6，
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】利用该网络学习平台2023年的新注册用户数=该网络学习平台2021年的新注册用户数×(1+新注册用户数的年平均增长率) 2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：100(1+x)2=210．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】【分析】连接OC、OD，如图，先根据圆周角定理得到∠COD=2∠DAC=72∘，再利用AD=CD得到∠AOD=∠COD=72∘，接着利用平角的定义计算出∠BOC=36∘，然后根据圆周角定理得到∠BAC的度数．
【解答】解：连接OC、OD，如图，
∵∠DAC=36∘，
∴∠COD=2∠DAC=72∘，
∵D是弧AC的中点，
∴AD=CD，
∴∠AOD=∠COD=72∘，
∴∠BOC=180∘−72∘−72∘=36∘，
∴∠BAC=12∠BOC=18∘．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】根据等弧的概念，圆的相关性质，确定圆的条件逐项判断即可．
【解答】解：能够重合的弧是等弧，故①是假命题；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故②是假命题；
等边三角形的外心与内心重合，故③是真命题；
不在同一直线上的任意三点可以确定一个圆，故④是假命题；
三角形有且只有一个外接圆，故⑤是真命题；
∴真命题有2个；
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得出答案．
【解答】解：中间小正方形边长为x−(x−3)=3，其面积为9，
大正方形面积为(x+x−3)2=4x(x−3)+9=4×10+9=49，边长为7，
∴图2是x(x−3)=10，即x2−3x−10=0的几何解法，
故选：A．
9.【答案】B
【解析】【分析】设AB=xcm，则DE=(6−x)cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【解答】解：设AB=xcm，则DE=(6−x)cm，
根据题意，得90πx180=π(6−x)，
解得x=4，
所以圆锥的表面积=S侧+S底=14×42π+π=5πcm2．
故选：B．
10.【答案】D
【解析】【分析】当点E在以OB为直径的圆M上当点D在B点时，此时B和E重合；当D沿BC运动到点C和C点重合时，连接OC，则E点经过的路径是以OB为直径的圆上弦BE所对的优弧的长，进而求解．
【解答】解：作圆O的直径BF，连接CF，取OB的中点M，连接EM，如图所示：
∵BF为OO的直径，
∴∠BCF=90∘，
∵∠F=∠A=60∘，
∴sinF=BCBF，
∴BF=BCsin60∘=12 3，
∴OB=6 3，
∵BE⊥OD，M为OB的中点．
∴EM=12OB=BM=3 3，
故当点E在以OB为直径的圆M上当点D在B点时，此时B和E重合；
当D沿BC运动到点C和C点重合时，连接OC，
由圆周角定理得：∠BOC=2∠A=120∘，∠BOE=60∘，∠BME=120∘，
故E点经过的路径是以OB为直径的圆上弦BE所对的优弧的长，
由弧长公式得：240π×3 3180=4 3π，
故选：D．
11.【答案】k<13
【解析】【分析】关于x的方程x2−2x+3k=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2−4ac>0.即可得到关于k的不等式，从而求得k的范围
【解答】解：∵a=1，b=−2，c=3k，
∴△=b2−4ac=(−2)2−4×1×3k=4−12k>0，
解得：k<13．
故答案为：k<13．
12.【答案】12
【解析】【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于3的有4，5，6，共3种结果，根据概率公式计算可得．
【解答】解：任意抛掷这枚骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于3的有4，5，6，共3种结果，
∴朝上面的点数大于3的概率是36=12．
故答案为：12．
13.【答案】120∘
【解析】【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为n∘，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×2=n×π×6180，然后解方程即可．
【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n∘，
根据题意得2π×2=n×π×6180，
解得n=120，
所以侧面展开图的圆心角为120∘．
故答案为：120∘．
14.【答案】2022
【解析】【分析】根据题意得a2+a−2023=0，即a2+a=2023，利用根与系数的关系得到a+b=−1，代入整理后的代数式求值．
【解答】解：a，b分别是方程x2+x−2023=0的两个实数根，
∴a+b=−1，a2+a−2023=0，
∴a2+a=2023，
故a2+2a+b=a2+a+(a+b)=2023−1=2022．
故答案为：2022．
15.【答案】36∘
【解析】【分析】根据∠ACB=54∘，可以得到∠AOB的度数，再根据OA=OB，三角形内角和是180−∘，即可得到∠ABO的度数．
【解答】解：∵∠ACB=54∘，
∴∠AOB=108∘，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB=180∘，
∴∠ABO=36∘，
故答案为：36∘．
16.【答案】82
【解析】【分析】根据加权平均数的定义计算可得．
【解答】解：该应聘者的素质测试平均成绩是80×3+82×5+85×23+5+2=82(分)，
故答案为：82．
17.【答案】45∘
6 10

【解析】【分析】过O作OH⊥AB于点H，由垂径定理得到CH=DH，推出ΔAOB是等腰直角三角形，得到OH=AH，设AC=CD=BD=x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过O作OH⊥AB于点H，
∴CH=DH，
∵AC=BD=13AB，
∴AH=BH，
∴ΔAOB是等腰直角三角形，
∴OH=AH，∠A=∠B=45∘，
设AC=CD=BD=x，
∴AH=OH=1.5x，
∴CH2+OH2=OC2，
∴(12x)2+(32x)2=102，
∴x=2 10，
∴AB=6 10，
故答案为：45∘，6 10．
18.【答案】16
【解析】【分析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP=8，则AB的最大长度为16．
【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
∵C(3,4)，
∴OC= 32+42=5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP=OA=OB=8，
∵∠APB=90∘，
∴AB长度的最大值为16，
故答案为16．
19.【答案】解：(1)(x−1)2−25=0，
(x−1)2=25，
x−1=±5，
x1=6，x2=−4；
(2)x2−4x−1=0，
x2−4x=1，
x2−4x+4=1+4，
(x−2)2=5，
x−2=± 5，
x1=2+ 5，x2=2− 5；
(3)x2−7x+12=0，
(x−3)(x−4)=0，
x−3=0或x−4=0，
x1=3，x2=4；
(4)x(x+2)=(x+2)，
x(x+2)−(x+2)=0，
(x+2)(x−1)=0，
x+2=0或x−1=0，
x1=−2，x2=1．

【解析】【分析】(1)利用解一元二次方程−直接开平方法进行计算，即可解答；
(2)利用解一元二次方程−配方法进行计算，即可解答；
(3)利用解一元二次方程−因式分解法进行计算，即可解答；
(4)利用解一元二次方程−因式分解法进行计算，即可解答
20.【答案】(1)证明：∵△=[−(m+2)]2−4(2m−1)=m2−4m+8=(m−2)2+4，
而(m−2)2≥0，
∴△>0．
∴方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：∵方程的一个根是1，
∴12−(m+2)+2m−1=0，
解得：m=2，
∴原方程为：x2−4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3．
即m的值为2，方程的另一个根是3．

【解析】【分析】(1)要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△>0即可．△=[−(m+2)]2−4(2m−1)=m2−4m+8=(m−2)2+4，因为(m−2)2≥0，可以得到△>0；
(2)将x=1代入方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0，求出m的值，进而得出方程的解．
21.【答案】解：(1)∵样本容量为3÷0.02=150，
∴a=12150=0.08，d=30150=0.2，
则b=150×0.4=60．
故答案为：0.08、60；
(2)频数分布图如图所示：
(3)该校初三学生成为“安全明星”的共有1000×(0.4+0.2)=600(人)．
答：该校初三学生成为“安全明星”的估计有600人．

【解析】【分析】(1)先根据50≤x<60的频数及频率求出样本容量，可得结论；
(2)根据(1)中结论，画出图形即可．
(3)用总人数乘以成绩80分以上(含80分)的人数所占比例即可．
22.【答案】解：(1)由题意得，小明选择去梅园的概率为14．
故答案为：14．
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小华选择去同一个地方游玩的结果有4种，
∴小明和小华选择去同一个地方游玩的概率为14．

【解析】【分析】(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小华选择去同一个地方游玩的结果数，再利用概率公式可得出答案．
23.【答案】解：(1)根据题意可知，(56−40)[500−(56−50)×10]=7040(元)；
故答案为：7040；
(2)设销售单价应定为x元，根据题意得(x−40)[500−(x−50)×10]=8000
整理得x2−140x+4800=0，
解得x1=60，x2=80，要使顾客得到实惠x=60，
答：销售单价应定为60元．

【解析】【分析】(1)利用原来的销售量减去减少的销售量得到每月销售量，再乘每个家电的利润即可得出结论；
(2)设销售单价定为x元，根据题意可列出方程，解之即可．
24.【答案】解：(1)如图⊙O即为所求．
(2)如图直线l，即为⊙O的切线．

【解析】【分析】(1)ΔABC任意两边的垂直平分的交点，即为ΔABC外接圆的圆心．
(2)过点B作垂直于BO的直线l，即为⊙O的切线．
25.【答案】(1)证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，即AC⊥BD，
∵BC=CD，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D，
∵∠E=∠B，
∴∠E=∠D；
(2)解：在RtΔACB中，AB=6，BC−AC=2，由勾股定理得：AC2+(AC+2)2=62，
解得：AC=−1+ 17(负根已经舍去)，BC=1+ 17，
∵BC=CD，
即CD=1+ 17，
∵由圆周角定理得：∠B=∠E，
又∵∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CE=DC，
∵CD=1+ 17，
∴CE=1+ 17．

【解析】【分析】(1)根据圆周角定理求出∠ACB=90∘，根据线段垂直平分线的性质得出AD=AB，根据等腰三角形的性质得出即可；
(2)根据勾股定理求出AC和BC，求出DC，求出∠B=∠E=∠D，根据等腰三角形的判定得出DC=CE，即可求出答案．
26.【答案】解：(1)BE与⊙O相切，
理由：连接BO，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵AB平分∠CAE，
∴∠OAB=∠BAE，
∴∠OBA=∠BAE，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90∘，
∴∠ABE+∠BAE=90∘，
∴∠ABE+∠OBA=90∘，即∠EBO=90∘，
∴BE⊥OB，
∴BE与⊙O相切；
(2)∵∠ACB=30∘，
∴∠AOB=60∘，
∵OA=OB，
∴ΔABO是等边三角形，
∴∠OBA=60∘，OA=OB=AB=4，
∴∠ABE=30∘，
∴AE=2，BE=2 3，
∴S阴影=S四边形AEBO−S扇形AOB=12×2+4×2 3−60π×42360=6 3−8π3．

【解析】【分析】(1)连接BO，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠OBA=∠BAE，证明∠EBO=90∘，根据切线的判定定理证明即可；
(2)证明ΔABO是等边三角形，得到AB=4，根据勾股定理求出AE、BE，根据梯形的面积公式、扇形的面积公式计算即可．
27.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2−3x+c=0是“倍根方程”，
∵x1+x2=3，x1x2=c，即x1+2x1=3，2x12=c，
∴c=2，
故答案为：2；
(2)解方程(x−2)(mx−n)=0(m≠0)得，x1=2，x2=nm．
∵方程两根是2倍关系，
∴x2=1或4，
当x2=1时，x2=nm=1，即m=n，
代入代数式4m2−5mn+n2=0，
当x2=4时，x2=nm=4，即n=4m，
代入代数式4m2−5mn+n2=0．
综上所述，4m2−5mn+n2=0；
(3)根据“倍根方程”的概念设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为t和2t．
∴原方程可以改写为a(x−t)(x−2t)=0，
∴ax2+bx+c=ax2−3atx+2at2，
∴b=−3atc=2at2．
解得2b2−9ac=0．
∴a，b，c之间的关系是2b2−9ac=0．

【解析】【分析】(1)由一元二次方程x2−3x+c=0是“倍根方程”，得到x1+2x1=3，2x12=c，即可得到结论；
(2)解方程(x−2)(mx−n)=0(m≠0)得，x1=2，x2=nm.由方程两根是2倍关系，得到x2=1或4，代入解方程即可得到结论；
(3)根据“倍根方程”的概念得到原方程可以改写为a(x−t)(x−2t)=0，解方程即可得到结论．
28.【答案】解：(1)∵MN⊥AB，AM=BM，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
∵∠APB=28∘，
∴∠B=76∘，
如图1，连接MD，
∵MD为ΔPAB的中位线，
∴MD//AP，
∴∠MDB=∠APB=28∘，
∴CM=2∠MDB=56∘；
(2)∵∠BAC=∠MDC=∠APB，
又∵∠BAP=180∘−∠APB−∠B，∠ACB=180∘−∠BAC−∠B，
∴∠BAP=∠ACB，
∵∠BAP=∠B，
∴∠ACB=∠B，
∴AC=AB；
(3)①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，
∵MD是RtΔMBP的中线，
∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，
∴RC=RP，
∵∠ACR=∠AMR=90∘，
∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，
∴12+MR2=22+PR2，
∴12+(4−PR)2=22+PR2，
∴PR=138，
∴MR=198，
②Ⅰ.当∠ACQ=90∘时，AQ为圆的直径，
∴Q与R重合，
∴MQ=MR=198；
Ⅱ.如图3，当∠QCD=90∘时，
在RtΔQCP中，PQ=2PR=134，
∴MQ=34；
Ⅲ.如图4，当∠QDC=90∘时，
∵BM=1，MP=4，
∴BP= 17，
∴DP=12BP= 172，
∵cs∠MPB=MPPB=DPPQ，
∴PQ=178，
∴MQ=158，
Ⅳ.如图5，当∠AEQ=90∘时，
由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90∘，
∴MQ=158；
综上所述，MQ的值为198或34或158．

【解析】【分析】(1)连接MD，结合垂直平分线的性质与等腰三角形性质结合三角形内角和定理，中位线定理求解即可；
(2)求证∠ABC=∠ACB即可；
(3)①连接CR，AR，结合勾股定理求解即可；②分为当∠ACQ=90∘时；当∠QCD=90∘时；当∠QDC=90∘时；当∠AEQ=90∘时，分类讨论即可．
测试项目
采访写作
计算机操作
创意设计
测试成绩(分)
80
82
85
成绩(分)
频数
频率
50≤x<60
3
0.02
60≤x<70
12
a
70≤x<80
45
0.3
80≤x<90
b
0.4
90≤x<100
30
d