浙江省强基联盟2022-2023学年高三下学期2月统测数学试卷

这是一份浙江省强基联盟2022-2023学年高三下学期2月统测数学试卷，共15页。试卷主要包含了全卷分试卷和答题卷，试卷共6页，有4大题，22小题等内容，欢迎下载使用。

命题人：瑞安新纪元高级中学高三备课组 审题人：义乌中学傅华伟 鲁迅中学潘建伟
考生须知：
1．全卷分试卷和答题卷。考试结束后，将答题卷上交。
2．试卷共6页，有4大题，22小题．满分150分，考试时间120分钟。
3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。
选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若（i是虚数单位），则（ ）
A． B．1 C． D．
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：
某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的数学期望和方差分别是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵中，，整臑的外接球的体积为，则阳马体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
7．已知在三角形ABC中，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，，其中，点P，Q分别为MN，BC的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，且，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．用分层随机抽样法从某校高一年级学生的数学竞赛成绩（满分150分）中抽取一个容量为120的样本，其中男生成绩的数据有80个，女生成绩的数据有40个，将这80个男生的成绩分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．男生成绩的样本数据在内的频率为0.015
B．男生成绩的样本数据的平均数为97
C．男生成绩的样本数据的第75百分位数为118
D．女生成绩的样本数据的平均数为91，则总样本的平均数为95
10．如图，正方体，若点M在线段上运动，则下列结论正确的为（ ）
A．三棱锥的体积为定值 B．直线DM与平面所成角的最大值为
C． D．点M到平面与到平面ACD的距离之和为定值
11．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为．设直线l的倾斜角为，当时，．则下列说法正确的是（ ）
A．有可能为直角 B．
C．Q为抛物线C上一个动点，为定点，的最小值为
D．过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在，使
12．已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则（ ）
A． B．
C．在上至少有2个零点 D．
非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。
13．在的展开式中，的系数为____________．
14．已知直线与曲线有两个交点，则m的取值范围为____________．
15．已知函数，，，在上单调，则正整数的最大值为____________．
16．，则b的最大值是____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知是公比为2的等比数列，为正项数列，，当时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记．求数列的前n项和．
18．（12分）
已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
（1）证明：；
（2）若CD为的角平分线，交AB于D点，且．求a的值．
19．（12分）
如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点（点P与点A，D不重合），．
（1）证明：；
（2）若点P在平面ABCD的射影为点H，设的中点为E点，当点P运动到某个位置时，平面PBD与平面CDE的夹角为，求此时DH的长度．
20．（12分）
2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．
下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：
注：“阿根廷法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为，在点球大战中阿根廷战胜法国．
（1）请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．
（2）根据题意填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯人8强”与是否为欧洲球队有关．
（3）若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为，求在点球大战中，两队前2轮比分为的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．
参考公式：
21．（12分）
已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
（1）求双曲线E的标准方程．
（2）直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性，
（2）若有两个极值点，且．恒成立．
①求a的取值范围；
②证明：
2022学年第二学期浙江强基联盟高三2月统测
数学试题参考答案
1．B ，选B．
2．C ，即．选C．
3．A 由可知，所以，当时，不成立．所以选A．
4．D 设事件A表示甲在规定的时间内到达，B表示乙在规定的时间内到达，，A，B相互独立，，，，，．∴选D．
5．C ，令，得，．选C．
6．B 设的外接球半径为r，则．
．
又，
体积的最大值为，选B．
7．B ，
则，
当时，，选B．
8．A ，
构造函数，则，
在上单调递减，
，所以在上单调递减，
所以，从而，选A．
9．BCD 男生成绩在内的频率为0.3，A错误；
男生成绩的平均数为，B正确；
男生成绩的样本数据的第75百分位数为，C正确；
总样本的平均数为，D正确．
10．ACD 对于选项A，M在平面内，平面与平面间的距离为体对角线的，∴三棱锥的体积为定值，A正确．
对于选项B，当M为的中点时，直线DM与平面，所成的角最大，此时，B错误．
平面，又平面，，C正确．到平面的距离为，M到平面ACD的距离为，∴M到两个平面的距离之和为，是定值．D正确．
11．ABD．．当AB垂直于x轴时，为直角，A正确．
由等面积法可知成立，∴B正确．
，最大值为，C不正确．
，
令，则，
令，在上单调递减，∴存在，D正确．
12．AC由题意得，两边求导得，
即，的图象关于点对称．
为奇函数，则，
的图象关于点对称，的图象关于直线对称．
为和的一个周期，，∴A正确．
，∴B错误．
由，得在上至少有2个零点．∴C正确．
，周期为3，的图象关于对称，，，，，，，，D错误．
13．240 ，故，即，所以，即的系数为240．
14． 由已知得直线l过定点，曲线C表示的下半圆，由图形得斜率m的取值范围是．
15．7 ，∴直线为图象的对称轴．
，的对称点为，，
．又在上单调，．
，．
当时，在上单调，则正整数的最大值为7．
16．，变形得．
问题等价于直线在与之间，
如图所示．
当且仅当l为两函数的公切线时b获得最值．设l与的切点为，l与的切点为，
由公切线得，
得得，发现为的一个解．
令，令，得，
在上单调递减，在上单调递增，，
而的两根居于两侧．
已得一根为，所以另一根大于，由图形分析知，当时，b的最大值为．
17．解：（1）由题可得， 3分
由，推得，
累积得，得，
又． 6分
（2）由题可得，令的前n项和为．
，，
相减得，．
令的前n项和为，则．
综上，． 10分
18．（1）证明：由题意得， 2分
． 5分
（2）解：法一．为的平分线，且，
． 7分
为锐角三角形，， 9分
．
，
化简得，代入，得． 12分
法二．在中，． 12分
19．（1）证明：连接AP，在半圆柱中，因为平面PAD，所以，又因为AD是直径，所以，则平面PAB．所以． 5分
（2）解：依题意可知，以线段AD的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，所以，，设平面CDE的法向量为，所以则令，则． 7分
设平面PBD的法向量为，所以则令，则，所以．8分
因为平面PBD与平面CDE所成的锐二面角为，
所以，
令，则，平方得，即，又由可解得或（舍去），所以，点P在平面ABCD的射影为点，因此DH的长度为． 12分
20．解：（1）由题意知卡塔尔世界杯淘汰赛共有16场比赛，其中有5场比赛通过点球大战决出胜负，所以估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率为． 3分
（2）下面为列联表：
零假设支决赛圈球队闯入8强与是否为欧洲球队无关．
．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即不能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关． 7分
（3）方法一．不妨假定踢满第一阶段的5轮．因为前两轮两队比分为，若甲队在第一阶段获得比赛胜利，则后3轮有6种比分，，所以甲在第一阶段获得比赛胜利的概率
． 12分
方法二．假定比赛进行到任意轮，两队均完成该轮踢点球（实际比赛过程中，只要能确定某队获胜，无需两队均完成某轮踢点球）两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利，则后3轮有5种可能的比分，．
当后3轮比分为时，，，
当后3轮比分为时，有两种情况，，
当后3轮比分为时，，
当后3轮比分为时，，
当后3轮比分为时，．
综上，甲在第一阶段获得比赛胜利的概率
方法三．根据实际比赛进程，假定点球大战中由甲队先踢．两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利，则后3轮有5种可能的比分，．
当后3轮比分为时，甲乙两队均需踢满5轮，．
当后3轮比分为时，有如下3种情况：
则．
当后3轮比分为时，有如下6种情况：
则．
当后3轮比分为时，有如下2种情况：
则
当后3轮比分为时，有如下1种情况：
则．
综上，在点球大战中两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利的概率
．
21．解：（1）法一．由解得． 4分
法二．左右焦点为，，，
∴双曲线E的标准方程为． 4分
（2）设CD的方程为，
联立消去x得，
，，， 5分
AC的方程为，令，得，
BD的方程为，令，得， 7分
， 10分
解得或，即或（舍去）或（舍去），
∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为． 12分
方法二．设CD的方程为，
联立，消去x得，
，AC的方程为，BD的方程为，
分别在AC和BD上，，
两式相除消去n得，又，．
将代入上式，得
．
整理得，解得或（舍去）．
∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．
注：法二酌情给分．如用极点极线得到正确结果但没有具体过程给4分．
22．解：（1）令，即．
若，即当时，在上为增函数． 2分
若，即当时，．
①若，则在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数．
②若，则在上为减函数，上为增函数． 4分
（2）①由（1）知有两个极值点，则，
由已知得， 5分
则
． 6分
令，，则，在内单调递减．
，的取值范围是． 7分
②证明恒成立等价于成立，即成立． 8分
法一．
令，则，令，则，
显然在上，，即在上为增函数．
当时，．
，即，
则为减函数，为增函数．
． 10分
．
令，则在上，，在上单调递增．
，即，
，
，则恒成立．
而已求得，即证得恒成立， 12分
法二．变形加放缩．
，
，则恒成立．
而已求得，即证得恒成立．
法二按上面标准酌情给分．时间/分钟
10~20
20~30
30~40
40~50
甲的频率
0.1
0.4
0.2
0.3
乙的频率
0
0.3
0.6
0.1
淘汰赛
比赛结果
淘汰赛
比赛结果
1/8决赛
荷兰美国
1/4决赛
克罗地亚巴西
阿根廷澳大利亚
荷兰阿根廷
法国波兰
摩洛哥葡萄牙
英格兰塞内加尔
英格兰法国
日本克罗地亚
半决赛
阿根廷克罗地亚
巴西韩国
法国摩洛哥
摩洛哥西班牙
季军赛
克罗地亚摩洛哥
葡萄牙瑞士
决赛
阿根廷法国
欧洲球队
其他球队
合计
闯入8强
未闯入8强
合计
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
D
C
B
B
A
题号
9
10
11
12
答案
BCD
ACD
ABD
AC
欧洲球队
其他球队
合计
进入8强
5
3
8
未进入8强
8
16
24
合计
13
19
32
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
甲
√
×
甲
×
√
√
乙
×
×
乙
×
×
乙
×
×
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
×
甲
√
√
×
甲
√
×
√
乙
√
×
×
乙
×
√
×
乙
√
×
×
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
×
√
甲
×
√
√
甲
×
√
√
乙
×
√
×
乙
√
×
×
乙
×
√
×
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
√
甲
√
√
√
乙
√
×
乙
×
√
3
4
5
甲
√
√
√
乙
√
√
×