浙江省杭州市2023-2024高三上学期期中数学试卷及答案

这是一份浙江省杭州市2023-2024高三上学期期中数学试卷及答案，共12页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卷两部分，考试结束，只需上交答题卡等内容，欢迎下载使用。

数学试题卷
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！
3．考试结束，只需上交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数（i为虚数单位），则（ ）
A. B. 0C. D. 2
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设集合．若，且中元素满足：①任意一个元素各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9，则中的两位数的个数为（ ）
A 72B. 78C. 81D. 90
5. 用测量工具测量某物体长度，需测量次，得到个数据．设函数，则当取最小值时，（ ）
A. B. C. D.
6. 设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数．若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A B. C. D. 12
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在正六边形中，（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
10. 已知，，，则（ ）
A. 的最小值为4B. 的最小值为
C. 的最小值为3D. 的最小值为
11. 已知正三棱柱的各条棱长都是2，，分别是，的中点，则（ ）
A. 平面
B. 平面与平面夹角的余弦值为
C. 三棱锥的体积是三棱柱体积的
D. 若正三棱柱的各个顶点都在球上，则球的表面积为
12. 已知过原点的一条直线与函数的图象交于两点，分别过点作轴的平行线与函数的的图象交于两点，则（ ）
A. 点和原点在同一条直线上
B. 点和原点在同一条直线上
C. 当平行于轴时，则点的横坐标为
D. 当平行于轴时，则点的纵坐标为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答）
14. 已知，，与的夹角为，则________．
15. 已知是三角形的内角，若，则________．
16. 设抛物线的焦点为，准线为．若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率等于________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知四边形内接于，若，，．
（1）求线段的长．
（2）若，求的取值范围．
18 设函数，满足：①；②对任意，恒成立．
（1）求函数的解析式．
（2）设矩形的一边在轴上，顶点，在函数的图象上．设矩形的面积为，求证：．
19. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，且底面，与底面成角，且．
（1）求证：；
（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．
20. 第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，某学校为持续营造全民参与亚运、服务亚运、奉献亚运的浓厚氛围举办“心心相融·爱答亚运”知识挑战赛．挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜．若赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是，且每次答题互不影响．
（1）若在不多于两次答题就决出胜负，则挑战者获胜的概率是多少?
（2）在此次比赛中，挑战者获胜的概率是多少?
（3）现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战8位守擂者，每次挑战之间相互独立，当战胜至少三分之二以上的守擂者时，则称该挑战者胜利．若再增加1位守擂者时，试分析该挑战者胜利的概率是否增加?并说明理由．
21. 设数列的首项，前项和满足：．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的公比为，数列满足：，．求．
22. 已知 ，函数，.
（1）当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；
（2）若，求证：.
数学试题卷答案
1. A
2. B
3. D
4. A
5. B
6. C
7. B
8. A
9. CD
10. BCD
11. ABC
12. BC
13. 15
14.
15.
16.
17.（1）由题知，，所以
根据余弦定理，
即，
所以，所以
所以
（2）因为
所以，所以（当且仅当时取等号）
又
所以
18. （1）因为
由，得，则
由，得，恒成立
即恒成立，所以，所以
所以
（2）因为
令，得；令，得
所以在单调递增，单调递减
不妨设，，由知
那么，
故
因为，所以
19. （1）如图，以点为原点，直线为轴，直线为轴建立坐标系
那么，，，，
故，
因为
所以，即
（2）因为
所以，故，所以平面
故平面的法向量
设直线与平面所成角为，则：
整理得，即
20. （1）设事件为挑战者获胜，事件为不多于两次答题比赛结束
（2）设为先答题者获胜的概率，则，解得
所以挑战者获胜的概率是
（3）设随机变量为挑战者连续挑战8人时战胜得守擂者人数，为此时挑战者获胜的概率
为挑战者连续挑战9人时战胜得守擂者人数，为此时挑战者获胜的概率
显然，，即该挑战者胜利的概率没有增加
21. （1）由；令，得
故，
因为，其中，，
所以当时，
两式相减得：
整理得：，
综上，数列是首项为1，公比为的等比数列
（2）由题意得：，
，
故
当为偶数时
当为奇数时，
综上：
22. （1），定义域均为
当时，则，在单调递增，无极值，与题不符
当时，令，解得：
所以在单调递减，在单调递增
在取极小值，且
又
当时：，在单调递减，无极值，与题不符
当时：令，解得：
所以在单调递减，在单调递增
在取极小值，且
由题：，解得：
（2）令，因为，所以
由可得：
（1）-（2）得：，所以
要证： ，只要证： ，只要证：
不妨设，所以只要证：
即证：，令，只要证：
令，
所以在上单调递增
， 即有成立，所以成立