2023-2024学年浙江省宁波市六校联盟高一上学期11月期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市六校联盟高一上学期11月期中数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数y= xx2-4的定义域是
( )
A. 0,2B. 0,2∪2,+∞
C. -2,0D. -∞,-2∪-2,0
2.已知集合A=xx2-1=0，则下列说法正确的是
( )
A. 1∈AB. -1∈AC. A⊆-1,1D. ⌀∈A
3.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. fx= x2,gx= x2B. fx=1,gx=x0
C. fx=x,gx=3x3D. fx=x+1,gx=x2-1x-1
4.已知m，n∈R，则“m>0且n>0”是“mn+nm>2”的
条件( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
5.已知无理数e=2.71828⋅⋅⋅，若a=21e，b=0.6e，c=e0.5，则它们的大小关系是
( )
A. c>a>bB. c>b>aC. a>c>bD. b>a>c
6.函数fx=xxex-e-x的大致图象为
( )
A. B.
C. D.
7.已知实数a为常数，且a≠0，函数fx=ax-1x-a，甲同学：fx>0的解集为-∞,a∪1a,+∞：乙同学：fx<0的解集为-∞,a∪1a,+∞；丙同学：fx存在最小值.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则a的范围为
( )
A. a<-1B. -11
8.已知函数fx的定义域为0,+∞，且fx+y=fxfy1+x对任意正实数x，y都成立，则下列结论一定成立的是
( )
A. fx+f11+x≥1B. fx≥0
C. fx+y≥fx+fyD. fx+y≤ x+y
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.集合X={x|-2A. (CRX)∪(CRY)B. CRXC. CR(X∩Y)D. CR(X∪Y)
10.下列函数中，属于偶函数并且值域为0,+∞的有
( )
A. y=1x2B. y=x2-2C. y=x2+1x2-2D. y= x2-2x
11.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.71828⋅⋅⋅,k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则
( )
A. k<0且b>0
B. 在10℃的保鲜时间是60小时
C. 要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃
D. 在零下2℃的保鲜时间将超过150小时
12.已知函数fx=x-1,x≤2-x2+4x-3,x>2，则下列说法正确的是
( )
A. 若y=fx的图象与直线y=t有三个交点，则实数t∈0,1
B. 若fx=k有三个不同实数根x1,x2,x3，则4C. 不等式0≤ffx≤1的解集是0,3
D. 若fx+a>fx对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是-∞,-94
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.实数a>0且a≠1，则函数y=ax-1+3的图象恒过定点______．
14.化简求值： 614-3338+40.0625+0.06413-2.525-π0=______．
15.写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则fx=______．
①定义域为R，值域为-1,+∞
②y=fx在定义域内是偶函数
③y=fx的图象与x轴有三个公共点
16.若正数a，b满足a+b=1，则a+ ab的最大值是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A={x|0(1)若m=52，求A∪B；
(2)若_________，求实数m的取值范围．
请从条件①A∩B=B，条件②B∩(∁RA)=⌀，这两个条件中选一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答．
18.(本小题12分)
已知命题p：“∀x∈R，x2+ax+a≠0”是真命题，
(1)求实数a的取值所构成的集合A；
(2)在(1)的条件下，设不等式1-x319.(本小题12分)
已知幂函数fx=xα(α为常数)的图象经过点M2,4．
(1)求fx的解析式；
(2)设gx=fx+1x，
(i)判断gx在区间1,+∞上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；
(ii)若gx≥t在1,+∞上恒成立，求实数t的取值范围．
20.(本小题12分)
已知fx是定义在R上的奇函数，且x<0时，fx=2x．
(1)求f0；
(2)当x>0时，求函数fx的解析式；
(3)若fa-1+fa<0，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入16(x2-600)万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
22.(本小题12分)
已知函数fx= x2-kx+2kk∈R．
(1)若k=9，求函数fx的定义域，并指出其单调区间(不需要证明)：
(2)若fx在区间0,3单调递减，求实数k的取值范围；
(3)若方程fx2= x4+x3+4x在2,6上有两个不相等的实根，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域．
解：依题意x≥0x2-4≠0，解得x≥0且x≠2，所以fx的定义域为0,2∪2,+∞．
故选：B
2.【答案】A
【解析】【分析】解方程化简集合，然后利用元素和集合、集合和集合的关系逐项判断即可．
解：集合A=xx2-1=0=-1,1，所以1∈A，-1⊆A，A⊆-1,1，⌀⊆A．
故选：A
3.【答案】C
【解析】【分析】判断函数的 定义域是否相同，再在定义域基础上，化解解析式是否一致即可．
解：对于A，fx= x2=xx∈R,gx= x2=xx≥0，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；
对于B，fx=1x∈R,gx=x0=1x≠0，定义域不同，故不为同一函数；
对于C，fx=xx∈R,gx=3x3=xx∈R，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：
对于D，fx=x+1x∈R,gx=x2-1x-1=x+1x≠1，定义域不同，故不为同一函数．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解．
解：当m=n=1时，mn+nm=2，
由mn+nm>2，取m=-2,n=-1，此时mn+nm=52>2，
所以“m>0且n>0”是“mn+nm>2”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】根据指数函数、幂函数的单调性即可比较大小．
解：因为函数y=2x为增函数，所以a=21e<20.5，
又函数y=x0.5在0,+∞上单调递增，所以20.5a，
又b=0.6e<0.60=1=20<21e=a，所以c>a>b．
故选：A
6.【答案】A
【解析】【分析】根据函数是偶函数可判断B,D错误，根据f1>0，可排除C．
解：依题可知：函数fx=xxex-e-x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，
定义域关于原点对称，又f-x=-xxe-x-ex=xxex-e-x=f(x)，
故函数为偶函数，故B,D错误；
又当x=1时，f1=1e-e-1>0，故C错误，
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】利用二次函数的性质分别分析甲乙丙三位同学的论述，从而得解．
解：若甲正确，则a>0且1a>a，即a2<1，则0若乙正确，则a<0且a<1a，即a2>1，则a<-1；
若丙正确，则二次函数开口向上即a>0；
因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故0故选：C
8.【答案】B
【解析】【分析】对于ACD：举反例分析判断；对于B：利用反证法，假设存在x0=0,+∞，使得fx0<0，令x= 1+x0-1>0,y= 1+x0 1+x0-1，结合题意分析证明．
解：对于选项A：例如函数fx=0符合题意，则fx+f11+x=0<1，故 A错误；
对于选项CD：例如fx=1符合题意，则fx+y=1<2=fx+fy，故 C错误；
令x=y=18，则x+y=14，可知f14=1>12= 14，故 D错误；
对于选项B：反证：假设存在x0∈0,+∞，使得fx0<0，
令x= 1+x0-1>0,y= 1+x0 1+x0-1=x0+1- 1+x0>0，
则x+y=x0,yx+1= 1+x0 1+x0-1 1+x0-1+1= 1+x0-1，
可得fx0=f 1+x0-12≥0，这与假设相矛盾，故假设不成立，
所以对任意x∈0,+∞，fx≥0，故 B正确；
故选：B．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查集合的交并补运算，为基础题．
【解答】
解：Z={z||z|≥2}=z|x⩾2或x⩽-2，CRX=x|x⩽-2或x⩾2，可选B，CRY=y|y>2，则(CRX)∪(CRY)=x|x⩽-2或x⩾2，可选A，
又CR(X∩Y)=(CRX)∪(CRY)，可选C，
CR(X∪Y)=(CRX)∩(CRY)，故D错误．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】根据偶函数的定义即函数的值域，逐项判断即可．
解：对于函数y=1x2，定义域为{x|x≠0}，且值域(0,+∞)，故A错误；
对于函数y=x2-2，定义域为R，
且f(-x)=(-x)2-2=x2-2=f(x)，故为偶函数，且值域为0,+∞，故B正确；
对于函数y=x2+1x2-2，定义域为{x|x≠0}，
且f(-x)=(-x)2+1(-x)2-2=x2+1x2-2=f(x)，故函数为偶函数，
又y=x2+1x2-2≥2 x2⋅1x2-2=0，当且仅当x2=1时，等号成立，
故函数的值域为0,+∞，故C正确；
对于函数y= x2-2x，令x2-2x≥0得，x=0或者x≥2或者x≤-2，
故函数的定义域{x|x=0或x≥2或x≤-2}，关于原点对称，
f(-x)= x2-2x= (-x)2-2-x= x2-2x=f(x)，
故函数为偶函数，且函数的值域为0,+∞，故D正确，
故选：BCD.
11.【答案】AB
【解析】【分析】本题首先可根据题意得出y=ekx+b是减函数，且120=eb>1，可判断出A正确；根据120=eb>1及30=e20k+b，可得e10k=12，则可求得e10k+b的值，判断出B正确；解不等式ekx+b≥15得x≤30，则C错误；当x=-2时，可求得e-2k+b<150，则D错误．
解：因为该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，
易得y=ekx+b是减函数，结合复合函数的单调性可知k<0，
又120=eb>1，可知b>0，所以A正确；
又30=e20k+b，即30=e20k⋅eb，故e20k=14，e10k=12，
则e10k+b=e10k⋅eb=12×120=60，故B正确；
若ekx+b≥15，则ekx≥18，结合e10k=12，
不等式化为ekx≥e30k，即kx≥30k，又k<0，所以x≤30，
故C错误；
当x=-2时，e-2k+b=(ek)-2⋅eb=(e10k)-15⋅120=(2)15⋅120<150，故D错误；
故选：AB.
12.【答案】ABD
【解析】【分析】对于AB，作出函数的图象即可判断；对于C，先根据图象求出fx的范围，再分情况讨论即可；对于D，根据图象结合图象平移分析运算即可判断．
解：对于A，如图，作出函数y=fx的图象，
由图可知，若y=fx的图象与直线y=t有三个交点，则实数t∈0,1，故 A正确；
对于B，如图1，作出函数y=fx,y=k的图象，
由题意得两函数交点得横坐标为x1,x2,x3，不妨设x1则x1,x2关于x=1对称，故x1+x2=2，
由图可知2对于C，由函数y=fx的图象可知，当0≤fx≤1时，0≤x≤3，
则由0≤ffx≤1，可得0≤fx≤3，
则x≤20≤x-1≤3或x>20≤-x2+4x-3≤3,
解得-2≤x≤2或2所以不等式0≤ffx≤1的解集是-2,3，故 C错误；
对于D，当a=0时，fx>fx显然不成立，故a=0舍去，
当a>0时，fx+a可以通过fx向左平移a个单位得到，
如图2，显然fx+a>fx不成立，舍去，
当a<0时，fx+a可以通过fx向右平移a个单位得到，如图3，
以射线y=-x+1-a与y=-x2+4x-3相切为临界，
即-x+1-a=-x2+4x-3，则x2-5x+4-a=0，
所以Δ=25-44-a=0，解得a=-94，所以a<-94，
综上所述，实数a的取值范围是-∞,-94，故 D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
13.【答案】1,4
【解析】【分析】令x-1=0，结合指数函数的性质即可得解．
解：令x-1=0，则x=1,y=4，
所以函数y=ax-1+3的图象恒过定点1,4．
故答案为：1,4．
14.【答案】3
【解析】【分析】根据指数幂运算公式计算．
解：原式= 254-3278+0.5+0.4-1-1
=52-32+12+52-1
=3．
故答案为 ：3．
15.【答案】x2-2x(答案不唯一)
【解析】【分析】由题意结合二次函数的性质可取fx=x2-2x，再证明即可．
解：根据题意可取fx=x2-2x，
函数fx=x2-2x=x-12-1的定义域为R，值域为-1,+∞，故①符合，
因为f-x=x2-2x=fx，所以函数fx为偶函数，故②符合，
令fx=x2-2x=0，解得x=0或±2，
所以y=fx的图象与x轴有三个公共点，故③符合，
所以函数fx=x2-2x符合题意．
故答案为：x2-2x．
16.【答案】1+ 22
【解析】【分析】引入待定系数λ>0，结合基本不等式求出答案．
解：正数a，b满足a+b=1，引入待定系数λ>0，得到
a+ ab=a+ λa⋅bλ≤a+12λa+bλ=2+λ2a+b2λ，
令2+λ2=12λ，解得λ2+2λ-1=0，
解得λ= 2-1，负值舍去，则2+λ2=12λ=1+ 22，
故a+ ab≤1+ 22a+b=1+ 22，
当且仅当a=2+ 24,b=2- 24时，等号成立，
故答案为：1+ 22
17.【答案】解：(1)∵当m=52时，B={x|-12∴A∪B={x|-12(2) ①若A∩B=B，∴B⊆A，
∴当B≠⌀时，2-m≥0m-1≤22-m当B=⌀时，2-m≥m-1，∴m≤32，符合题意；
综上，实数m的取值范围是{m|m≤2};
②若B∩(∁RA)=⌀，∵∁RA=x|x≤0或x≥2}，
∴B≠⌀时，2-m≥0m-1≤22-m当B=⌀时，2-m≥m-1，∴m≤32，符合题意；
∴实数m的取值范围是{m|m≤2}．
【解析】本题考查集合关系中的参数取值问题、并集及其运算等，属于中档题．
(1)根据并集的概念直接求即可；
(2)分别选①，②两种情况，利用集合的关系可得关于m的不等式组，注意讨论集合B≠⌀与B=⌀，求解即可求出结果.
18.【答案】解：(1)因为命题p：“∀x∈R，x2+ax+a≠0”是真命题，所以方程x2+ax+a=0无解，
所以Δ=a2-4a<0，解得0(2)因为1-x3所以B=x3-3b当B=⌀时，3-3b≥3+3b即b≤0，满足题意；
当B≠⌀时，3-3b<3+3b3+3b≤43-3b≥0，解得0
【解析】【分析】(1)由题意方程x2+ax+a=0无解，利用判别式法求解即可；
(2)先求出集合B，由题意B⊆A，分类讨论，列不等式组求解即可．
19.【答案】解：(1)因为幂函数fx=xα(α为常数)的图象经过点M2,4，
则4=2α，所以α=2，故fx=x2；
(2)gx=fx+1x=x+1x，
(i)gx在区间1,+∞上单调递增，证明如下：
设x1>x2≥1，所以gx1-gx2=x1+1x1-x2-1x2=x1-x2x1x2-1x1x2，
因为x1>x2≥1，所以x1-x2>0,x1x2>1，所以gx1-gx2=x1-x2x1x2-1x1x2>0，
所以gx1>gx2，可得函数gx在区间1,+∞上单调递增；
(ii)因为gx≥t在1,+∞上恒成立，所以t≤gxmin，
又函数gx在区间1,+∞上单调递增，所以gxmin=g1=2，所以t≤2．

【解析】【分析】(1)根据幂函数的图象所过点，列出方程求解即可．
(2)(i)判断函数的单调性并用单调性的定义证明即可；
(ii)利用gx 在 1,+∞上单调性可得gxmin=g1，即可得解．
20.【答案】解：(1)因为fx是定义在R上的奇函数，
所以f-x=-fx，令x=0，则f0=-f0，所以f0=0；
(2)因为fx是定义在R上的奇函数，且x<0时，fx=2x，
设x>0，则-x<0，则f-x=2-x，又f-x=-fx，
所以fx=-2-x，即当x>0时，fx=-2-x；
(3)由(1)(2)可得fx=2x,x<00,x=0-2-x,x>0,
所以函数图象如下所示：
即fx在-∞,0，0,+∞上单调递增，
则不等式fa-1+fa<0等价于fa-1所以a-1<-a<0或0解得0所以实数a的取值范围为0,12∪1,+∞．

【解析】【分析】(1)根据奇函数的性质f-x=-fx，再令x=0，即可得解；
(2)设x<0求出f-x，再根据奇函数的性质计算可得；
(3)判断函数的单调性，再根据奇偶性及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可．
21.【答案】解：(1)依题意，设每件定价为tt≥25元，得8-t-25×0.2t≥25×8，
整理得t2-65t+1000≤0，解得25≤t≤40．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意知当x>25时，不等式ax≥25×8+50+15x+16(x2-600)有解，
等价于x>25时，a≥150x+16x+15有解，
由于150x+16x≥2 150x⋅16x=10，当且仅当150x=16x，即x=30时等号成立，
所以a≥10.2，
当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，
此时该商品的每件定价为30元．

【解析】【分析】(1)设每件定价为t元，求出原销售收入和新销售收入后列不等式求解；
(2)列出不等关系ax≥25×8+50+15x+16(x2-600)，分离参数得a≥150x+16x+15，从而利用基本不等式即可得解．
22.【答案】解：(1)若k=9，则fx= x2-9x+18，
令x2-9x+18≥0，解得x≤3或x≥6，
所以fx的定义域为-∞,3∪6,+∞，
单调递增区间为6,+∞，单调递减区间为-∞,3．
(2)因为fx在0,3上单调递减，所以3≤k232-3k+2k≥0，解得6≤k≤9，
所以k的取值范围为6,9．
(3)因为fx2= x4-kx2+2k，所以方程fx2= x4+x3+4x可变形为 x4-kx2+2k= x4+x3+4x，即k=-x-2x2+4x-2x，
令t=x-2x，则t∈1,173，k=-t2+4t=-t+4t，
令gx=-x+4x，x∈1,173，
函数gx在1,2上单调递增，2,173上单调递减，
又g1=-5，g2=-4，g173=-173+1217<-5，
所以方程fx2= x4+x3+4x在2,6上有两个不相等的实根，k的取值范围为-5,-4．

【解析】【分析】(1)解不等式求定义域，然后判断单调性即可；
(2)根据fx的单调性列不等式，然后解不等式即可；
(3)将方程fx2= x4+x3+4x在2,6上有两个不相等的实根转化为方程k=-x-2x2+4x-2x在2,6上有两个不相等的实根，然后根据函数gx的单调性求k的取值范围即可．