2023-2024学年广西梧州市新高考教研联盟高二上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广西梧州市新高考教研联盟高二上学期期中考试数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线y= 33x+4的倾斜角是
( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 135∘
2.准线方程为y=2的抛物线的标准方程是
( )
A. y2=-4xB. y2=8xC. x2=4yD. x2=-8y
3.已知双曲线x216-y29=1，则该双曲线的离心率为
( )
A. 2516B. 259C. 54D. 53
4.若csπ2-α=13，π2<α<π，则sin2α=( )
A. -2 29B. -2 23C. -4 29D. -49
5.如图所示的直三棱柱ABC-DEF容器中，AB=BC，AB⊥BC，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将侧面BCFE平放在桌面上，放水过程中，当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量的比值为
( )
A. 23B. 34C. 45D. 56
6.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足AD/​/平面PEF，则AFFC的值为( )
A. 1B. 2C. 12D. 23
7.已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R)，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为
( )
A. 2B. 6C. 5-1D. 5+1
8.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2.则3e12+1e22=( )
A. 4B. 2 3C. 2D. 3
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线l：x-ay+1=0a∈R，则下列说法正确的是
( )
A. 直线l过定点-1,0
B. 直线l与直线l'：x-ay+2=0一定平行
C. 直线l一定不与坐标轴垂直
D. 直线l与直线l1：ax+y+m=0m∈R一定垂直
10.将曲线y=sinx向左平移π3个单位长度，再将横坐标缩小为原来的 12倍，纵坐标不变得到曲线fx=sin2ωx+π3(ω>0)，则下列说法正确的是
( )
A. ω=1
B. 函数fx在π4,π2上单调递增
C. 函数fx 的 图象关于直线x=-π12对称
D. 函数fx的图象关于点π3,0对称
11.已知曲线C的方程为x2+y2-xy=1，则下列说法中正确的有
( )
A. 曲线C关于x轴对称
B. 曲线C关于原点中心对称
C. 若动点P在曲线C上，则OP的最大值为 2
D. 曲线C与坐标轴交点围成四边形面积是2
12.如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2,E为边AB的中点，将▵ADE沿直线DE翻折成▵A1DE(点A1不落在底面BCDE内)，若M为线段A1C的中点，则在▵ADE翻转过程中，以下命题正确的是
( )
A. 四棱锥M-BCDE体积最大值为 28B. BM长度是定值
C. MB//平面A1DE一定成立D. 存在某个位置，使BM//A1E
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知直线x- 3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|=6，则r的值为 ．
14.已知抛物线y2=6x，直线l过抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A,B两点，弦AB长为12，则直线l的方程为 ．
15.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑PABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB= 6,BC=2,D,E分别为棱PC，PB上一点，则AE+DE的最小值为______．
16.已知点P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一点，P到焦点的距离最大值为2+ 3，最小值为2- 3，则1PF1+1PF2的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知直线l经过两条直线x+2y-5=0和3x-y-1=0的交点．
(1)若直线l与直线x-2y-3=0垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l与直线x-2y-3=0平行，求直线l的方程及此时直线l与直线x-2y-3=0的距离．
18.(本小题12分)
已知双曲线x24-y2m=1．
(1)若m=5，求双曲线E的焦点坐标，顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线E的离心率e∈ 6,3，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数fx= 3sinxcsx+sin2x+12,x∈R．
(1)求函数fx的最小正周期及单调递增区间；
(2)设▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b=1,fB=32,B为锐角， 3sinA=2sinC，求▵ABC的周长．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB//DC，AP=AD=PD=DC=2,AB=1，点E为棱PC的中点．

(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线AE与平面PAD所成角的大小．
21.(本小题12分)
21 . 已知点P圆C:(x+2)2+(y-3)2=16上运动，点Q4,-3．
(1)若PM=MQ，求点M的轨迹E的方程；
(2)过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于Ax1,y1,Bx2,y2两点，1x1+1x2是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．
22.(本小题12分)
已知曲线C上的点Px,y满足 x2+(y+1)2+ x2+(y-1)2=2 2．
(1)化简曲线C的方程；
(2)已知点A-1,0，点H- 6,0，过点-12,0的直线l(l斜率存在)与椭圆C交于不同的两点M,N，直线AM,AN与y轴的交点分别为P,Q，证明：H,P,Q三点在同一圆上．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角即得．
解：直线 y= 33x+4 的斜率 k= 33 ，则该直线的倾斜角 α=30∘ ．
故选：A
2.【答案】D
【解析】【分析】根据题意可设抛物线的标准方程为 x2=-2py(p>0) ，从而可得 p2=2 ，求解即可．
解：由抛物线的准线方程为 y=2 ，可知抛物线是焦点在 y 轴负半轴上的抛物线，
设其方程为 x2=-2py(p>0) ，则其准线方程为 y=p2=2 ，得 p=4 ．
∴ 该抛物线的标准方程是 x2=-8y ．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题．
根据双曲线的方程直接求出离心率即可．
【解答】
解：由双曲线x216-y29=1，可知该双曲线的离心率e= c2a2= a2+b2a2= 1+b2a2= 1+916=54．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式以及同角三角函数的平方式，结合正弦函数的二倍角公式，可得答案．
解：∵ csπ2-α=13 ， π2<α<π ，
∴ sinα=13 ， csα=- 1-sin2α=-2 23 ，
∴ sin2α=2sinαcsα=2×13×-2 23=-4 29. ．
故选：C．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据柱体的体积公式求解即可．
解：如图所示：
G,H,K,P 分别为 DE,DF,AC,AB 的中点，
所以 S▵DHG=14S▵DFE ，
因为柱体体积公式是底面积乘高，高没变，所以放出水量是原来水量的 14 ，
所以没有水的部分底面积变为原来的 14 ，剩余水量是原来水量的 34 ．
故选：B
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查线面平行性质定理和相似三角形的计算等知识，属于中档题．
连结DC，交PE于点G，连结FG、DE.利用线面平行的性质定理，证出AD//FG.而DE为△BPC的中位线，证出△DEG∽△CPG，利用相似三角形的性质和平行线的性质，即可算出AFFC的值．
【解答】
解：连结DC，交PE于点G，连结FG、DE，如图所示：
∵AD//平面PEF，AD⊂平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，
∴AD//FG．
∵D、E分别是PB、BC的中点，
∴DE为△BPC的中位线，
因此，△DEG∽△CPG，可得DGGC=DEPC=12，
∴AFFC=DGGC=12，即AFFC的值为12．
故选C．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程与标准方程，圆有关的最值问题，属于基础题．
根据题意，将圆的方程变形为标准方程，得到其圆心半径，可得当圆C的面积最小时，必有m=-2，此时r2=1，即可得此时面积最小时圆的方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆C：x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R)，
变形可得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5，
其圆心为(-1,m)，半径为r，则r2=m2+4m+5=(m+2)2+1，
当圆C的面积最小时，必有m=-2，此时r2=1，
圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=1，
圆心C到原点为距离d= 1+4= 5，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r= 5+1．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆及双曲线的定义和离心率，为基础题．
根据椭圆和双曲线的定义以及余弦定理进行解答．
【解答】
解：不妨令椭圆和双曲线的焦点在x轴上，
如图，设交点P在第一象限，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，
则根据椭圆及双曲线的定义得PF1+PF2=2a1,PF1-PF2=2a2，
∴PF1=a1+a2,PF2=a1-a2．
又F1F2=2c，∠F1PF2=2π3．
∴在△PF1F2中，由余弦定理得4c2=a1+a22+a1-a22-2a1+a2a1-a2cs2π3，
化简得3a12+a22=4c2，该式可变成3e12+1e22=4．
故选A．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】选项A.将点 -1,0 代入直线 l 可判断；选项B分斜率存在和不存在分别判断即可；选项C.由 a=0 时的情况可判断；选项D由两直线垂直的条件可判断．
解：选项A.将点 -1,0 代入直线 l ： x-ay+1=0a∈R 得 -1-a×0+1=0 ，
即点 -1,0 满足直线 x-ay+1=0 方程，所以直线 l 过定点 -1,0 ，故选项A正确．
选项B.当 a=0 时，直线 l ： x=-1 ；直线 l' ： x=-2 ，直线 l//l'
当 a≠0 时，斜率kl=1a=kl’ 且在 y 轴上截距满足1a≠2a，故直线 l//l' ，所以选项B正确．
选项C.当 a=0 时，直线 l ： x=-1 与 y 轴垂直，故C不正确．
选项D.由1×a+(-a)×1=0，可得直线 x-ay+1=0 与 ax+y+m=0 垂直，故选项D正确．
故选：ABD
10.【答案】AD
【解析】【分析】根据题意确定 ω ，然后根据 y=sinx 的性质对应判断各个选项即可．
解：将曲线 y=sinx 向左平移 π3 个单位长度，再将横坐标缩小为原来的 12 倍，纵坐标不变得到曲线 y=sin2x+π3 ，所以 ω=1 ，A正确；
由A可知， f(x)=sin2x+π3,x∈π4,π2 ，则 2x+π3∈5π6,4π3 ，
根据 y=sinx 的性质，可得 f(x) 在 π4,π2 上单调递减，B错误；
f-π12=sinπ6≠±1 ，则 f(x) 的图象不关于直线 x=-π12 对称，C错误；
fπ3=sinπ=0 ，则 f(x) 的图象关于点 π3,0 对称，D正确．
故选：AD．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】对于 AB ：根据对称理解运算即可判断；对于 C ：设 Px,y ，根据基本不等式求解即可判断；对于D，求得交点后即可判断．
解：对 B ：曲线 C 的上任一点 A(x,y) 关于原点的对称点为 A'(-x,-y) ，
则 (-x)2+(-y)2-(-x)(-y)=x2+y2-xy=1 ，即 A' 在曲线 C 上，
∴ 曲线 C 关于原点中心对称， B 正确；
对 A ：曲线 C 的上任一点 B(x,y) 关于 x 轴的对称点为 B'(x,-y) ，
则 x2+(-y)2-(-y)x=x2+y2+xy≠1 ，即 B 不在曲线上，
∴ 曲线 C 不关于 x 轴对称， A 错误；
对C：设 Px,y ，则 x2+y2-xy=1 ， OP= x2+y2 ，
而 x2+y2-1=xy≤x2+y22 ，所以 x2+y2≤2 ，
当且仅当 x=y=1 或 x=y=-1 时，等号成立，即 OPmax= 2 ，C正确；
对D：由 x2+y2-xy=1 令 x=0 ，得 y=±1 ，令 y=0 ，得 x=±1 ，
则曲线 C 与 x 轴的交点为 -1,0,1,0 ，与 y 轴的交点为 0,-1,0,1 ，
所以曲线 C 与坐标轴交点围成四边形面积为 12×2×2=2 ，D正确．
故选：BCD．
12.【答案】ABC
【解析】【分析】对选项A，取 DE 的中点 O ，连接 A1O ，根据题意得到当平面 A1DE⊥ 平面 BCDE 时， A1 到平面 BCDE 的距离最大，再计算四棱锥 M-BCDE 体积即可判断A正确；对选项B，取 CD 的中点 F ，连接 MF ， BF ，根据等角定理得到 ∠A1DE=∠MFB=45∘ ，再利用余弦定理即可判断B正确；对选项C，首先根据题意易证平面 MBF// 平面 A1DE ，再利用面面平行的性质即可判断C正确；对选项D，先假设存在，推出矛盾可判断错误．
解：对选项A，取 DE 的中点 O ，连接 A1O ，如图所示：
当平面 A1DE⊥ 平面 BCDE 时， A1 到平面 BCDE 的距离最大．
因为 A1D=AE ， O 为 DE 中点，所以 A1O⊥DE ．
又因为平面 A1DE∩ 平面 BCDE=DE ，所以 A1O⊥ 平面 BCDE ．
DE= 12+12= 2 ，所以 A1O= 12- 222= 22 ．
所以四棱锥 A1-BCDE 体积最大值为 13×1+2×12× 22= 24 ，
因为 M 为线段 A1C 的中点，所以 VM-BCDE=12VA1-BCDE ，
四棱锥 M-BCDE 体积最大值为 28 ，故A正确；
对选项B，取 CD 的中点 F ，连接 MF ， BF ，如图所示：
因为 M,F 分别为 A1C,CD 的中点， AB=2AD=2 ，
所以四边形 DEBF 为平行四边形，所以 A1D//MF ， DE//BF ，
所以 ∠A1DE=∠MFB=45∘ ， MF=12A1D=12 ， BF=DE= 2 ，
所以 MB= 122+ 22-2×12× 2× 22= 52 ，故B正确；
对选项C，因为 MF//A1D ， A1D⊂ 平面 A1DE ， MF⊄ 平面 A1DE ，所以 MF// 平面 A1DE ，
因为 FB//DE ， DE⊂ 平面 A1DE ， FB⊄ 平面 A1DE ，所以 BF// 平面 A1DE ，
又因为 MF∩BF=F ， MF,BF⊂ 平面 MBF ，所以平面 MBF// 平面 A1DE ，
又因为 MB⊂ 平面 MBF ，所以 MB// 平面 A1DE ，故C正确．
对选项D，若 BM//A1E ，则 B,M,A1,E 四点共面，记所在平面为平面 α ，
因为 C∈A1M ，则 C∈α ，又 C∈ 平面 BCDE ，
又因为 α∩ 平面 BCDE=BE ，所以 C∈BE ，
这与 AB//CD 矛盾，所以不存在某个位置，使 BM//A1E ，D错误．
故选：ABC．
13.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．
根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x- 3y+8=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r2=d2+(|AB|2)2，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆x2+y2=r2的圆心为(0,0)，半径为r；
则圆心到直线x- 3y+8=0的距离d=8 1+3=4，
若|AB|=6，则有r2=d2+(|AB|2)2=16+9=25，
故r=5．
故答案为：5．
14.【答案】y=x-32或y=-x+32
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于中等题．
根据题意可得抛物线的焦点F32,0，设直线l的方程为y=kx-32=kx-32k，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线l与抛物线方程，消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理可得x1+x2，由|AB|=12，解出k，即可得到答案．
【解答】
解：根据题意可得抛物线的焦点F32,0，
根据题意可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx-32=kx-32k，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx-32ky2=6x，得k2x2-(3k2+6)x+94k2=0，
所以x1+x2=3k2+6k2，x1x2=94，
因为AB=x1+x2+p=3k2+6k2+3=12，
解得k2=1，k=±1，
则直线l的方程为y=x-32或y=-x+32．
故答案为：y=x-32或y=-x+32．
15.【答案】3+ 32
【解析】【分析】根据题意，求得 ∠APB=π4,∠BPC=π6 ，作出将 ▵PBC 沿着 PB 转动到 P,A,B,C 四点共面的平面图形，利用两角和的正弦公式得 sin∠APC= 6+ 24 ，进而求解即可．
解：因为 PA⊥ 平面 ABC,BC⊂ 平面 ABC ，所以 PA⊥BC ，
又 AB⊥BC,AB∩PA=A,AB,PA⊂ 平面 PAB ，所以 BC⊥ 平面 PAB ，
PB⊂ 平面 PAB ，则 BC⊥PB ．
因为 PA⊥ 平面 ABC,AB⊂ 平面 ABC ，所以 PA⊥AB ，
则 PB=2 3,PC=4 ，所以 ∠APB=π4,∠BPC=π6 ，
如图，将 ▵PBC 沿着 PB 转动到 P,A,B,C 四点共面，
此时 sin∠APC=sinπ4+π6=sinπ4csπ6+csπ4sinπ6= 6+ 24
过 A 作 AH⊥PC 于 H ，则 AE+DE 的最小值为
AH=PAsin∠APC= 6× 6+ 24=3+ 32.
故答案为： 3+ 32 ．
16.【答案】1,+∞
【解析】【分析】根据点 P 到椭圆焦点的距离的最大值为 2+ 3 ，最小值为 2- 3 ，列出a，c的方程组，进而解出a，c，从而可得 PF1+PF2=4 ，再利用基本不等式即可求解．
解：因为点 P 到椭圆焦点的距离的最大值为 2+ 3 ，最小值为 2- 3 ，
所以 a-c=2- 3a+c=2+ 3⇒a=2c= 3 ，所以 PF1+PF2=4 ，
所以 1PF1+1PF2=PF1+PF2PF1⋅PF2=4PF1⋅PF2≥4PF1+PF222=1 ，
当且仅当 PF1=PF2=2 时，等号成立，
所以 1PF1+1PF2 的取值范围是 1,+∞ ．
故答案为： 1,+∞ ．
17.【答案】解：(1)由 x+2y-5=03x-y-1=0 ，解得 x=1y=2 ，即直线 x+2y-5=0 和 3x-y-1=0 的交点为 (1,2) ，
由直线 l 与直线 x-2y-3=0 垂直，设直线 l 的方程为 2x+y+C1=0 ，
把点 (1,2) 代入方程得 2+2+C1=0 ，解得 C1=-4 ，
所以直线 l 的方程为 2x+y-4=0 ．
(2)由直线 l 平行于直线 x-2y-3=0 ，设直线 l 的方程为 x-2y+C2=0C2≠-3 ，
把点 (1,2) 代入方程得 1-2×2+C2=0 ，解得 C2=3 ，
所以直线 l 的方程为 x-2y+3=0 ，直线 l 与直线 x-2y-3=0 的距离 d=|3-(-3)| 12+(-2)2=65 5 ．

【解析】【分析】(1)求出两条直线的交点得 (1,2) ，再利用直线垂直设 l 的方程为 2x+y+C1=0 ，把 (1,2) 代入方程即得．
(2)由直线平行设直线 l 的方程为 x-2y+C2=0C2≠-3 ，把 (1,2) 代入方程即得，再求出平行线间距离．
18.【答案】解：(1)由已知可得，双曲线的方程为 x24-y25=1 ，
所以，双曲线的焦点在 x 轴上，且 a2=4 ， b2=5 ， c2=a2+b2=9 ，
所以， a=2 ， b= 5 ， c=3 ，
所以，双曲线 E 的焦点坐标为 -3,0 ， 3,0 ；
顶点坐标为 -2,0 ， 2,0 ；
渐近线方程为 y=±bax=± 52x
(2)由已知可得， a2=4 ， b2=m>0 ， c2=a2+b2=m+4 ，
所以， a=2 ， b= m ， c= m+4 ，
e=ca= m+42 ，
因为 e∈ 6,3 ，
所以有 6< m+42<3 ，即 2 6< m+4<6 ，
整理可得， 24解得 20
【解析】【分析】(1)代入 m=5 ，求出 a,b,c 的值以及双曲线焦点的位置，即可得出答案；
(2)根据已知求出 a,b,c 的值，得出 e= m+42 ，根据 e 的取值范围，即可得出答案．
19.【答案】解：(1)∵函数 f(x)= 3sinxcsx+sin2x+12,x∈R ，
∴f(x)= 32sin2x-12cs2x+1=sin(2x-π6)+1
所以函数 fx 的最小正周期 T=π ；
令 2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z ，
解得 kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z ，
所以函数的单调递增区间为 kπ-π6,kπ+π3,k∈Z ；
(2)因为 f(B)=sin(2B-π6)+1=32 ，所以 sin(2B-π6)=12 ，
因为 0所以 2B-π6=π6 ，即 B=π6 ，
因为 3sinA=2sinC ，根据正弦定理可得 3a=2c ，
根据余弦定理可得 b2=a2+c2-2accsπ6,∴a2+c2- 3ac=1 ，
解得 a=2 ， c= 3 (舍去负值)，
所以△ABC 的 周长 a+b+c=3+ 3 ．

【解析】【分析】(1)应用二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得最小正周期和增区间；
(2)根据 fB=32 求得 B ，然后由正弦定理得到 3a=2c ，然后利用余弦定理求得 a,c ，进而可求周长．
20.【答案】解：(1)取 AD 中点O，连接 PO ， ∵PA=PD,∴PO⊥AD ，
又 ∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD ， PO⊂ 平面 PAD ，
∴PO⊥ 平面 ABCD ，
在平面 PAD 内，过点 P 作 AQ//PO ，则 AQ⊥ 平面 ABCD ，
以A为原点， AB,AD,AQ 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，
则 B(1,0,0),E1,32, 32,D(0,2,0),C(2,2,0) ，
∴BE=0,32, 32,DC=(2,0,0) ， ∴BE⋅DC=0×2+32×0+ 32×0=0 ，
即 BE⊥DC ， ∴BE⊥DC ；
(2)因为 A(0,0,0),E1,32, 32 ，所以 AE=1,32, 32 ，
∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD ， AD⊥AB ， AB⊂ 平面 ABCD ，
∴AB⊥ 平面 PAD ，
所以平面 PAD 的一个法向量为 AB=(1,0,0) ，
令直线 AE 与平面 PAD 所成角为 θ ，
则 sinθ=csAE,AB=AE⋅ABAEAB=12×1=12 ，
又因为 0≤θ≤π2 ，所以 θ=π6 ．


【解析】【分析】(1)取 AD 中点O，连接 PO ，推出 PO⊥AD ，由平面 PAD⊥ 底面 ABCD ，推出 PO⊥ 平面 ABCD ，建立空间直角坐标系，计算 BE⋅DC=0 ，从而得证；
(2)求得直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式即可求解．
21.【答案】解：(1)设 Px0,y0 ， Mx,y ，由 PM=MQ ，得 PQ=2MQ ，
则 4-x0,-3-y0=24-x,-3-y ，于是 x0=2x-4y0=2y+3 ，
而点 P 在圆 C 上，即 x0+22+y0-32=16 ，则 2x-4+22+2y+3-32=16 ，
整理得 x-12+y2=4 ，所以点 M 的轨迹 E 的方程为 x-12+y2=4 ．
(2)由直线 l 过原点 O 且不与 y 轴重合，设直线 l 的方程为 y=kx ，
由 y=kxx-12+y2=4 ，消去 y 并整理得 1+k2x2-2x-3=0 ，
依题意， x1,x2 是方程 1+k2x2-2x-3=0 的两根，则 x1+x2=22+k2 ， x1x2=-31+k2 ．
因此 1x1+1x2=x1+x2x1x2=21+k2-31+k2=-23 ，所以 1x1+1x2 是定值 -23 ．

【解析】【分析】(1)设 Px0,y0 ， Mx,y ，由 PM=MQ 可得 x0 与 x ， y0 与 y 的关系，由点 Px0,y0 满足圆的方程即可求解；
(2)设直线 l 的方程为 y=kx ，与 E 的方程联立，结合韦达定理求出 x1+x2 、 x1x2 ，再计算 1x1+1x2 ，即可得出答案．
22.【答案】解：(1)由题意知曲线 C 上的点 Px,y 满足 x2+(y+1)2+ x2+(y-1)2=2 2 ，
则 x2+(y+1)2=2 2- x2+(y-1)2 ，
故 x2+(y+1)2=8-4 2⋅ x2+(y-1)2+x2+(y-1)2 ，
即 y-2=- 2⋅ x2+(y-1)2 ，故 (y-2)2=2[x2+(y-1)2] ，
即 2x2+y2=2 ，即化简曲线 C 的 方程为 x2+y22=1 ；
(2)证明：由题意知直线 l 斜率存在，故设 y=k(x+12) ，联立 x2+y22=1 ，
得 k2+2x2+k2x+14k2-2=0 ，

由于直线l过点 -12,0 ，而点 -12,0 在椭圆 x2+y22=1 内，故必有 Δ>0 ，
设 Mx1,y1,Nx2,y2 ，则 x1+x2=-k2k2+2,x1x2=14k2-2k2+2 ，
直线AM的方程为 y=y1x1+1(x+1) ，直线AN的方程为 y=y2x2+1(x+1) ，
令 x=0 ，可得 P(0,y1x1+1),Q(0,y2x2+1) ，
故以 PQ 为直径的圆的方程为 x2+[y-12(y1x1+1+y2x2+1)]2=14(y1x1+1-y2x2+1)2 ，
即 x2+y2-(y1x1+1+y2x2+1)y+y1x1+1⋅y2x2+1=0 ，
而 y1x1+1⋅y2x2+1=k2(x1+12)(x2+12)x1x2+x1+x2+1=k2[x1x2+12(x1+x2)+14]x1x2+x1+x2+1
=k2[14k2-2k2+2+12(-k2k2+2)+14]14k2-2k2+2-k2k2+2+1=-6 ，
即以 PQ 为直径的圆的方程为 x2+y2-(y1x1+1+y2x2+1)y-6=0 ，
令 y=0 ，则 x2-6=0,∴x=± 6 ，
即 H- 6,0 在以 PQ 为直径的圆上，故 H,P,Q 三点在同一圆上．

【解析】【分析】本题考查了曲线方程的化简以及直线和椭圆的位置关系的应用，解答的难点在于证明 H,P,Q 三点，解答的思路时利用设直线方程并联立椭圆方程，表示相关点坐标，进而求出以 PQ 为直径的圆的方程，从而求得该圆与x轴的交点，从而证明结论．
(1)根据已知曲线方程，进行移项平方，化简的方法，即可得曲线 C 的方程；
(2)设直线 l 的方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，进而表示点 P,O 的坐标，从而可得以 PQ 为直径的圆的方程，并化简，求出该圆与x轴交点坐标，即可证明结论．