山东省淄博第七中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份山东省淄博第七中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题，共15页。试卷主要包含了已知命题，已知函数则，已知集合，，若，则等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合，集合，下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题：，，那么命题的否定是（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．下列各组的两个函数为相等函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．已知函数则（ ）
A．B．2C．D．3
5．已知对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．或C．或D．
6．对于实数a，b，c，下列命题中正确的（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二．多选题（共4小题）
9．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知集合，，若，则（ ）
A．B．1C．0D．2
11．已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为奇函数C．为偶函数D．为上的增函数
12．函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
三．填空题（共4小题）
13．函数的定义域是________．
14．已知函数是幂函数，且在上为减函数，则________．
15．函数，在定义域R上满足对任意实数都有，则a的取值范围是________．
16．已知函数的值域为R，侧实数m的取值范围是________．
四．解答题（共6小题）
17．已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求实数a的取值范围．
18．（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
19．已知集合，集合，命题：，命题：．
（1）当实数a为何值时，p是q的充要条件；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
20．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（I）当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?
（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?
21．已知函数在区间上的最小值为．
（1）求函数的解析式．
（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，，若，求实数t的取值范围．
22．已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求a，b的值；
（2）用定义法证明函数在上单调递增；
（3）若对于任意的，恒成立，求实数m的取值范围．
淄博七中2023级高一上学期期中考试
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【分析】根据元素与集合的关系可解．
【解答】解：因为集合，集合，
对于A，符合方程，故A正确，
对于B，A是数集，B是点集，，故B错误，
对于C，，故C错误，
对于D，不符合符合方程，故D错误，
故选：A．
【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题．
2．【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．
【解答】解：命题p：，，
那么命题p的否定是，．
故选：D．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3．【分析】通过求函数的定义域，可看出A，B两选项函数的定义域不同，两函数不相等，而选项C的两函数解析式不同，也不相等，只能选D．
【解答】解：A．的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相等；
B．的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不相等；
C．，，解析式不同，不相等；
D．的定义域为，的定义域为，定义域和解析式都相同，相等．
故选：D．
【点评】考查函数的定义，判断两函数相等的方法：看定义域和解析式是否都相同．
4．【分析】由题意，利用分段函数的解析式先求出的值，可得要求式子的值．
【解答】解：函数
，
则，
故选：D．
【点评】本题主要考查利用分段函数的解析式求函数的值，属于基础题．
5．答案：D
6．答案：B
7．【分析】将不等式有解转化为即可，利用1的代换结合基本不等式进行求解即可．
【解答】解：若不等式有解，即即可，
，
则
当且仅当，即，即时取等号，此时，，
即，
则由得，即，
得或，
即实数m的取值范围是，
故选：D．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．
8．【分析】根据条件构造函数，判断函数的单调性和奇偶性，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：设，则不等式等价为，
即当时，为减函数，
是奇函数，
是偶函数，且，
作出的图象如图：
，
当时，，即，
当时，，即，
综上x的取值范围是，
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
二．多选题（共4小题）
9．【分析】由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．
【解答】解：在上单调递减，不符合题意；
为偶函数且在上单调递增，符合题意；
为奇函数，不符合题意；
为偶函数，且在上单调递增，符合题意．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
10．【分析】可求出，根据可得出，然后讨论a：时，显然满足题意；
时，可得出或1，解出a的值即可．
【解答】解：，
，且，，
①时，，满足题意；
②时，，则或1，
或1，
综上得或1或0．
故选：ABC．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次方程的解法，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
11．【分析】求得的值判断选项A，利用函数奇偶性定义判断选项BC；利用函数单调性定义判断选项D．
【解答】解：，，，
可令，则，
得，故A正确；
令，则，得．
故B正确，C错误；
设任意实数，且，令，，
则，
，
，
又当时，，
，即，
为R上的增函数，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
12．【分析】分，，三种情况讨论，判断函数的单调性即可求解．
【解答】解：当时，，为反比例函数，故选项C符合；
当时，，当时，，
当时，，由复合函数的性质可得在，上单调递增，
在，上单调递减，故选项B符合；
当时，，定义域为，
当时，，
当时，，
由复合函数的性质可得在，，，上单调递减，故选项A符合．故选：ABC．
【点评】本题主要考查函数图像的判断，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．
【分析】依题意可知，根号下的式子为非负且分式的分母不为0，解不等式即可求得结果．
【解答】解：由题意知，，解得且，
所以函数的定义域为．
故答案为：．
【点评】本题考查函数定义域的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14．
【分析】运用幂函数的定义，可得，解得m，再由幂函数的单调性即可得到m，再根据幂函数的性质得到关于a的不等式组解得即可．
【解答】解：由幂函数定义可知：，
解得或，
又函数在上为减函数，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意
则，
，
，
解得，
故实数a的取值范围为，
故答案为：，
【点评】本题考查幂函数的定义和性质，考查函数的单调性的判断，也考查了不等式的解法与应用问题，属于基础题．
15．
【分析】由已知可得函数，
在定义域R上为减函数，则，解得a的取值范围．
【解答】解：若在定义域R上满足对任意实数都有，
则函数，在定义域R上为减函数，
则
解得：，
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．
16．
【分析】令、，求出函数的最小值及函数的单调性，再求出两函数的交点坐标，最后对m分类讨论，分别计算可得．
【解答】解：对于函数，则，当且仅当时取等号，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，
令，解得或，
所以与的两个交点分别为、，
则函数与的图象如下所示：
当时，当时，当时，
显然，此时函数的值域不为R，不符合题意；
当时，当时，
当时，
此时，即，
此时函数的值域不为R，不符合题意；
当时，在时，即，
此时的值域为R，符合题意，
当时，当时
当时，
此时，即，
此时函数的值域为R，符合题意；
综上可得，
即实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的值域，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
四．解答题（共6小题）
17．【分析】（1）根据交集，并集的定义即可求；
（2）由已知得到C为A的子集，利用数轴确定出a的范围．
【解答】解：（1），，
，；
（2），
，
，，
，，
则实数a的取值范围为．
【点评】此题考查了交集、并集的运算，属于基础题．
18．【分析】（1）直接用换元法或整体配凑法即可求得解析式；
（2）直接用待定系数法即可求得解析式；
【解答】解：（1）设
（2）是二次函数，
设，
由，得，
由，
得，
整理得，
，，
，，
；
【点评】本题主要考查了求函数解析式，属中档题．
19．【分析】（1）求出集合B，根据p是q的充要条件得到，即可求出a的值，
（2）由题意可得A是B的真子集，分类讨论，得到关于a的不等式组，解得即可．
【解答】解：（1），即，有，
解得，故，因为p是q的充要条件，所以，
故的解集也为，
所以，即；
（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
①当，此时即或0，符合题意，
②当时，当或时，，即，此时，解得，
由当时，，不合题意，所以
当时，，即，此时，解得，
综上所述a的取值范围为．
【点评】本题考查了解二次不等式、充分必要条件与集合的包含关系，属于中档题．
20．【分析】（I）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；
（II）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．
【解答】解：（I）当时，该项目获利为S，则
，
当时，，因此，该项目不会获利
当时，S取得最大值，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；
（II）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
当时，
所以当时，取得最小值240；
当时，
当且仅当，即时，取得最小值200
因为，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
【点评】知识点基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用，考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定函数关系式．
21．【分析】（1）分及，利用二次函数的性质讨论即可求得；
（2）写出函数在上的解析式，利用函数性质可知，解出即可．
【解答】解：（1），
当时，，
此时；
当时，在上单调递减，此时；
综上，
（2）当时，，即
易知函数在上单调递减，
又函数是定义在上的偶函数，且，
，解得或，
综上，实数t的取值范围为．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，考查函数单调性与奇偶性的综合运用，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
22．【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得a，b；
（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增；
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以t为主变量列不等式，由此求得m的取值范围．
【解答】解：（1）由于奇函数在处有定义，
所以，，
所以，
经检验符合题意，
所以，；
（2）证明：由（1）知，
任取、且，即，则，，
所以
则，
所以函数在上单调递增；
（3）由（2）知，
所以对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
所以，
解得或，
所以m的取值范围为．
【点评】本题考查了奇函数的性质、用定义法证明函数的单调性及利用一次函数的性质解决不等式恒成立问题，属于中档题．