八年级上学期期中考试数学试题 (68)

这是一份八年级上学期期中考试数学试题 (68)，共28页。试卷主要包含了下列命题中，真命题的个数是等内容，欢迎下载使用。

1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
2．将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+3B．y＝﹣2（x﹣2）2+3
C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3D．y＝﹣2（x+2）2﹣3
3．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1⩾y2D．y1⩽y2
5．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝100
C．200+2003x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
6．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．已知二次函数y＝ax2+2ax+1（其中x是自变量），当x≥1时，y随x的增大而增大，且﹣3≤x≤2时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．﹣1B．C．1D．﹣8
8．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝24°，则∠DCA的度数为（ ）
A．40°B．41°C．42°D．43°
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．已知函数y＝（m+2）-2是关于x的二次函数，则m＝ ．
12．已知关于x的方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 .
13．在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为 （用“＞”连接）．
14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：
①abc＜0；
②2a﹣b＝0；
③3a＜﹣c；
④若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；
⑤若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中结论正确的是 .
16．如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是 ．
三．解答题（共8小题）
17（8分）用适当的方法解下列方程．
（1）x（3x+2）＝6（3x+2）； （2）3x2﹣2x﹣4＝0．
18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）（4分）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和它的另一根；
（2）（3分）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
19．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）（2分）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．
（2）（2分）平移△A1B1C，使点A1的对应点A2坐标为（2，0），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．
（3）（2分）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
20．（7分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大．
21．（3+3+3=9分）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
22．（5+5=10分）已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；
（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
23．（12分）（2+2=4分）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为 ，正方形ABCD的边长为 ．
（变式猜想）（2）（4分）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．
（拓展应用）（3）（4分）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为 ．
24．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣4，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）（3分）求抛物线的函数关系式；
（2）（5分）点P是抛物上第三象限内的一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABCP的面积；
（3）（5分）点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．
2．将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+3B．y＝﹣2（x﹣2）2+3
C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3D．y＝﹣2（x+2）2﹣3
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+3，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断Δ＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∵Δ＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1⩾y2D．y1⩽y2
【分析】先设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），把x＝0时y＝﹣4；x＝1时y＝﹣1；x＝2时y＝0代入函数解析式，求出a、b、c的值，进而得出抛物线的解析式，再根据抛物线的对称轴方程求出其对称轴，根据二次函数的增减性即可判断出y1与y2的大小关系．
【解答】解：设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵x＝0时y＝﹣4；x＝1时y＝﹣1；x＝2时y＝0，
∴，
解得，，
∴此抛物线的解析式为：y＝x2+4x﹣4，
∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣2，对称轴越近值越小，
∴可知抛物线顶点为（﹣2，8），
∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，
∴y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质及用待定系数法求二次函数的解析式，根据题意求出二次函数的解析式及对称轴方程是解答此题的关键．
5．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝100
C．200+2003x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
【分析】由该超市一月份的营业额及平均每月增长率，可得出该超市二、三月份的营业额，再根据该超市第一季度的总营业额共1000万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200（1+x）2万元，
又∵第一季度的总营业额共1000万元，
∴200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】利用圆的有关性质和定义进行逐一判断即可得到正确的答案．
【解答】解：①过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，错误；
真命题有1个，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解决本题的关键是了解圆的有关性质及定义．
7．已知二次函数y＝ax2+2ax+1（其中x是自变量），当x≥1时，y随x的增大而增大，且﹣3≤x≤2时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．﹣1B．C．1D．﹣8
【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，再根据当x≥2时，y随x的增大而增大，即可得到a的正负情况，最后根据当﹣3≤x≤2时，y的最大值为9和二次函数的性质，可以求得a的值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+1＝a（x+1）2﹣a+1（其中x是自变量），
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，
∵当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
又∵当﹣3≤x≤2时，y的最大值为9，
∴x＝2时，y＝9，
即9＝a（2+1）2﹣a+1，
解得，a＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，故选项正确；
D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的对称轴x＝﹣＜0，故选项错误．
故选：C．
【点评】应该熟记一次函数y＝ax+a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
9．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝24°，则∠DCA的度数为（ ）
A．40°B．41°C．42°D．43°
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵∠BAC＝24°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣24°＝66°，
根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∵∠ADC+∠CDB＝180°，
∴∠B＝∠CDB＝66°，
∴∠DCA＝∠CDB﹣∠BAC＝66°﹣24°＝42°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，
∵CD⊥AB，
∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，
∴S＝MD•DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，
当M在BD上时，3＜t≤4，
MD＝AM﹣AD＝t﹣3，
∴S＝MD•DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
二．填空题（共6小题）
11．已知函数y＝（m+2）-2是关于x的二次函数．满足条件的m＝ ﹣3或2 ．
【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）可得m2+m﹣4＝2且m+2≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
m2+m﹣4＝2且m+2≠0，
∴m＝﹣3或m＝2且m≠﹣2，
∴m＝﹣3或2，
故答案为：﹣3或2．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
已知关于x的方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是
k≤且k≠0
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，
解得k≤且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为 a3＞a2＞a1 （用“＞”连接）．
【分析】抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定的，系数越大，开口越小．
【解答】解：∵二次函数y1＝a1x2的开口最大，二次函数y3＝a3x2的开口最小，
∴a3＞a2＞a1，
故答案为：a3＞a2＞a1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定是解题的关键．
14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 10 m．
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：令函数式y＝﹣（x﹣4）2+3中，y＝0，
0＝﹣（x﹣4）2+3，
解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
即铅球推出的距离是10m．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：
①abc＜0；
②2a﹣b＝0；
③3a＜﹣c；
④若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；
⑤若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中结论正确的是②③⑤
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置可判断a，b，c的符号及a与b的关系，进而判断①②，由图象可得x＝1时，y＜0可判断③，由图象可得x＝﹣1时y取最大值可判断④，由抛物线的对称性可得x1＝1，x2＝﹣3为方程ax2+bx+c+2＝0的两根，从而判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＜0，
∵抛物线与x轴交点在y轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，①错误．
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，②正确．
由图象可得x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴3a＜﹣c，③正确．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y取最大值，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c，
∴a﹣bm≥am2+b，④错误．
若图象经过点（﹣3，﹣2），由抛物线对称性可得图象经过（1，﹣2），
∵|x1|＜|x2|，
∴x1＝1，x2＝﹣3为方程ax2+bx+c+2＝0的两根，
∴2x1﹣x2＝﹣5，⑤正确．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是 （﹣2023，2022） ．
【分析】由题意观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），由2022＝505×4+2，推出D2022（﹣2023，2022）．
【解答】解：∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，
∴D1（1，2），
∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……
∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，
观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），
∵2022＝4×505+2，
∴D2022（﹣2023，2022）；
故答案为：（﹣2023，2022）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
三．解答题（共9小题）
17．解下列方程．
（Ⅰ）x（3x+2）＝6（3x+2）；
（Ⅱ）3x2﹣2x﹣4＝0．
【分析】（Ⅰ）先移项，使方程的右边化为零，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，得到两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可；
（Ⅱ）利用公式法解方程即可．
【解答】解：（Ⅰ）x（3x+2）＝6（3x+2），
x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0，
（3x+2）（x﹣6）＝0，
3x+2＝0或x﹣6＝0，
所以x1＝﹣，x2＝6；
（Ⅱ）3x2﹣2x﹣4＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣4）＝4+48＝52，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和它的另一根；
（2）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
【分析】（1）把x＝1代入原方程求出m，根据根与系数的关系求出另一根；
（2）根据一元二次方程根的判别式解答；
（3）分两种情况讨论，列出方程，解方程即可．
【解答】（1）解：将x＝1代入原方程得：1﹣（m+3）+3m＝0，
解得：m＝1，
∴方程的另一根为3m÷1＝3m．
∴m的值为1，方程的另一根为3．
（2）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根与系数的大小，根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．
（2）平移△A1B1C，使点A1的对应点A2坐标为（2，0），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B的对应点A1，B1即可．
（2）分别作出A1，B1，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）如图，点（﹣1，﹣1）即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大．
【分析】设每件涨价x元，则每件的利润是（60﹣40+x）元，所售件数是（300﹣10x）件，总利润为y；设每件降价a元，则每件的利润是（60﹣40﹣a）元，所售件数是（300+20a）件，总利润为w；根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
【解答】解：设涨价x元，利润为y，
则y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）
＝﹣10x2+100x+6000
＝﹣10（x﹣5）2+6250
因此当x＝5时，y有最大值6250．
60+5＝65元
每件定价为65元时利润最大．
设每件降价a元，总利润为w，
则w＝（60﹣40﹣a）（300+20a）
＝﹣20a2+100a+6000
＝﹣20（a﹣2.5）2+6125
因此当a＝2.5时，w有最大值6125．
每件定价为57.5元时利润最大．
综上所知每件定价为65元时利润最大．
【点评】此题考查二次函数的实际运用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．
21．为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
【分析】（1）根据图象的顶点坐标先把函数解析书设为顶点式，再把原点坐标代入解析式求出a即可；
（2）根据隧道隧道是双向车道，把x＝6﹣0.5﹣3.5代入（1）中解析式求出y的值与4进行比较即可；
（3）设点M的坐标为（m，﹣），从而求出OB，AB的长度，再根据二次函数的对称性求出CM，BC的长度，则AB，AD，DC的长度之和是关于m的二次函数，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）根据题意，顶点P的坐标为（6，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
把点O（0，0）代入得：36a+6＝0，
解得：，
即所求抛物线的解析式为：（0≤x≤12）；
（2）根据题意，当x＝6﹣0.5﹣3.5＝2时（或者当x＝6+0.5+3.5＝10）时，
，
∴这辆货车不能安全通过；
（3）设A点的坐标为，
则OB＝m，，
根据抛物线的对称性可得CM＝OB＝m，
∴BC＝12﹣2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12﹣2m，，
∴三根支杆AB，AD，DC的长度之和：＝，
∴当m＝3，即OB＝3米时，三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值为15．
【点评】本题考查二次函数在实际问题中的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据图象求出函数解析式．
22．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；
（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【分析】（1）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5；
（2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．
【解答】解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．
∵AD平分∠CAB，
∴＝，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5；
（2）如图②，连接OB，OD，
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
23．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为 2 ，正方形ABCD的边长为 ．
（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．
（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为 ．
【分析】（1）由旋转的性质得BP＝BP′＝3，P′C＝PA＝，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，则△BPP′为等腰直角三角形，再由勾股定理得PC＝2，过点A作AE⊥BP交BP的延长线于E，则△AEP是等腰直角三角形，得AE＝PE＝1，得BE＝4，然后由勾股定理即可求解；
（2）由旋转的性质得△BPP′是等边三角形，则PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，AP＝3，AP′＝PC＝5，再由勾股定理得逆定理得△APP′为直角三角形，即可求解；
（3）由旋转的性质得AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，则△DAK是等腰直角三角形，得DK＝3，∠ADK＝45°，再证∠CDK＝90°，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，
∴BP＝BP′＝3，P′C＝PA＝，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB＝3，
∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△PP′C中，由勾股定理得：PC＝＝＝2，
过点A作AE⊥BP交BP的延长线于E，如图1所示：
∵∠APB＝135°，
∴∠APE＝180°﹣135°＝45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴AE＝PE＝PA＝×＝1，
∴BE＝PB+PE＝3+1＝4，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
故答案为：2，；
（2）∠APB的度数为150°，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，如图2所示：
则△BPP′是等边三角形，
∴PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，
∵AP＝3，AP′＝PC＝5，
∴P'P2+AP2＝AP'2，
∴△APP′为直角三角形，
∴∠APP′＝90°，
∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝90°+60°＝150°；
（3）∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，
∴△BAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
将△ABD绕点A顺时针旋转90°，得到△ACK，连接DK，如图3所示：
由旋转的性质得：AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，
∴△DAK是等腰直角三角形，
∴DK＝AD＝3，∠ADK＝45°，
∴∠CDK＝∠ADC+∠ADK＝45°+45°＝90°，
∴△CDK是直角三角形，
∴CK＝＝＝，
∴BD＝，
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣4，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点P是抛物上第三象限内的一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABCP的面积；
（3）点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣4，0）、B（3，0）两点的坐标代入y＝ax2+bx﹣4，运用待定系数法即可求出抛物线的函数关系式；
（2）设点P的坐标为（m，m2+m﹣4），则﹣4＜m＜0．根据S四边形ABCP＝S△AOP+S△COP+S△BOC，得出S四边形ABCP＝﹣（m+2）2+，由二次函数的性质即可求解；
（3）在直角△BOC中，由勾股定理求出BC＝5．设M点的坐标为（﹣，y），如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形时，分两种情况讨论：（i）以BC为边长时，又分两种情况，如果四边形CBMN是菱形，那么由BM＝BC，列出关于y的方程，解方程即可；如果四边形BCMN是菱形，那么由CM＝BC，列出关于y的方程，解方程即可；（ii）以BC为对角线时，四边形MCNB是菱形，则由BM＝CM，列出关于y的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣4，0）、B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；
（2）如图，设点P的坐标为（m，m2+m﹣4），则﹣4＜m＜0，m2+m﹣4＜0．连接OP．
∵S四边形ABCP＝S△AOP+S△COP+S△BOC
＝×4（﹣m2﹣m+4）+×4（﹣m）+×4×3
＝﹣m2﹣m+14
＝﹣（m+2）2+，
∴当m＝﹣2时，四边形ABCP的面积最大，最大值为，此时点P的坐标为（﹣2，﹣）；
（3）存在这样的点M、N，能够使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°，
∴BC＝＝5．
设M点的坐标为（﹣，y），分两种情况讨论：
（i）以BC为边长时，
如果四边形CBMN是菱形，那么BM＝BC，
即（3+）2+y2＝25，解得y＝±，
即存在M（﹣，）或（﹣，﹣），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；
如果四边形BCMN是菱形，那么CM＝BC，
即（0+）2+（y+4）2＝25，
整理，得4y2+32y﹣35＝0，解得y＝﹣4±，
即存在M（﹣，﹣4+）或（﹣，﹣4﹣），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；
（ii）以BC为对角线时，四边形MCNB是菱形，则BM＝CM，
即（3+）2+y2＝（0+）2+（y+4）2，解得y＝﹣，
即存在M（﹣，﹣），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；
综上可知，存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：M1（﹣，），M2（﹣，﹣4+），M3（﹣，﹣），M4（﹣，﹣4﹣），
M5（﹣，﹣）．
x
…
0
1
2
3
4
⃯
y
…
﹣4
﹣1
0
﹣1
﹣4
⃯
x
…
0
1
2
3
4
⃯
y
…
﹣4
﹣1
0
﹣1
﹣4
⃯