数学选择性必修 第一册3.2 双曲线习题

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热点考题归纳
【题型一】双曲线方程
【典例分析】
1.（2023秋·高二单元测试）方程表示的曲线，下列说法错误的是（ ）
A．当时，表示两条直线
B．当，表示焦点在x轴上的椭圆
C．当时，表示圆
D．当时，表示焦点在x轴上的双曲线
2.（2021秋·广东广州·高二统考期末）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则C是两条直线，都平行于y轴
B．若，则C是圆，其半径为
C．若，则C是椭圆．其焦点在轴上
D．若，则C是双曲线，渐近线方程为
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高二专题练习）已知曲线C：，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是双曲线，其渐近线方程为
C．若，则C是圆，其半径是
D．若，则C是两条直线
2.（2022·全国·高一专题练习）已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
3.（2020秋·安徽蚌埠·高二安徽省怀远第一中学校考阶段练习）方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴上的椭圆B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线D．焦点在轴上的双曲线
【题型二】双曲线方程求参
【典例分析】
1.（2023·全国·高二专题练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（ ）
A．B．
C． D．或
2.（2023·全国·高二专题练习）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（ ）
A．1B．-4或1C．-2或-4或1D．-2或1
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．（2023·高二课时练习）若方程表示双曲线，则实数m满足（ ）
A．m≠1且m≠－3B．m＞1
C．或D．－3＜m＜1
2.（2021秋·山东青岛·高三校考期末）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为6，则的取值范围是（ ）
A．B．(1，3)C．(3，6)D．
3.（2023·全国·高二课堂例题）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 .
【题型三】双曲线型轨迹
【典例分析】
1.（2023·全国·高二专题练习）与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线的一支C．抛物线D．圆
2.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高二专题练习）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形（为原点）的面积为4，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·高二课时练习）在矩形中，，AB＝6，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P的坐标满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【题型四】双曲线定义与焦半径
【典例分析】
1.（2024·全国·高三专题练习）设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（ ）
A．B．C．4D．
2.（2023秋·全国·高二期中）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（ ）
A．2B．4C．8D．12
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2024·全国·高三专题练习）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（ ）
A．B．C．或D．不确定
2.（2023·江苏·高二假期作业）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，，为坐标原点，是中点，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2021秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知､为双曲线的左､右焦点，点在上，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型五】双曲线第一定义求最值
【典例分析】
1.（2023秋·全国·高二期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高二专题练习）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16B．18C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高二专题练习）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．6D．12
2.（2023·全国·高二专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高二专题练习）设点为坐标原点，点在双曲线上运动，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．以上都不对
【题型六】焦点三角形面积
【典例分析】
1.（2023·全国·高二专题练习）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24B．15C．12D．30
2.．（2023·全国·高三专题练习）设是双曲线的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为（ ）
A．5B．8C．10D．12
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（ ）
A．有最大值4B．有最小值2C．为D．为
2.（2022·高二课时练习）双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（ ）
A．B．C．32D．42
3.（2023秋·江西鹰潭·高二贵溪市第一中学校考阶段练习）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型七】渐近线方程及应用
【典例分析】
1.（2019秋·安徽芜湖·高二芜湖一中校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2.（2021秋·山西·高二统考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线C的右支交于P点，若内切圆的半径为，则双曲线C的近线方程为（）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高二假期作业）已知双曲线的离心率，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交另一条渐近线于，则等于（ ）．
A．2B．C．D．
2.（2021秋·河南·高三校联考阶段练习）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线的一条渐近线过点，则的共轭双曲线的标准方程为 ．
3.（2023春·河南许昌·高二校考期末）已知双曲线的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B．若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【题型八】离心率与开口方向
【典例分析】
1.2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（ ）
A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
2.（2023秋·高二课时练习）如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ）

A．B．
C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·上海嘉定·统考一模）已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（ ）
①的开口最为开阔；
②的开口比的更为开阔；
③和的开口的开阔程度相同.
A．只有一个正确B．只有两个正确C．均正确D．均不正确
2.（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知命题：离心率越小，椭圆的形状越扁，命题：离心率越大，双曲线的“张口”越小，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2022秋·河南平顶山·高二统考期末）设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（ ）
A．越大，双曲线开口越小B．越小，双曲线开口越大
C．越大，双曲线开口越大D．越小，双曲线开口越大
【题型九】由离心率求双曲线数量关系
【典例分析】
1.（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线C：的左右焦点分别为，，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则b＝（ ）
A．B．C．1D．2
2.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）若双曲线C：的离心率为2，C的一条渐近线被圆所截得的弦长为（ ）
A．2B．C．4D．
2.（2023春·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的不同值有（ ）
A．个B．个C．个D．个
3.（2022秋·河南周口·高二校考阶段练习）已知双曲线的上焦点为F，离心率为2，若经过F和两点的直线与双曲线E的一条渐近线垂直，则双曲线E的方程为（ ）
A．B．C．D．
【题型十】离心率求参数
【典例分析】
1.（2023·全国·高二专题练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（ ）
A．3B．C．2D．
2.（2022·全国·高三专题练习）点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（ ）
A．B．C．1D．
【变式演练】
1.（2022秋·高二课时练习）已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线、都无交点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2.（2021秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期中）如图，点F为双曲线C：的右焦点，离心率为2，过点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线于A点，与另一条渐近线交于B点，又与y轴相交于点M，若，则 .
3.（2020秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知圆，，若圆与和均外切，且圆的圆心的轨迹的离心率为3，则的取值集合是 ．
【题型十一】由离心率范围求范围和最值
【典例分析】
1.（2022·全国·高二专题练习）平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点，点满足：其中，且 已知点的轨迹与双曲线交于两点，且以为直径的圆过原点，若双曲线的离心率不大于，则双曲线实轴长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022秋·河南焦作·高三统考期中）已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·河南濮阳·统考二模）已知点为双曲线的右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若(点为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·全国·高一专题练习）若双曲线的离心率为3，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
3.（2020·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线的倾斜角的取值范围是，其斜率为，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【题型十二】求离心率最值
【典例分析】
1.（2021·全国·高三专题练习）设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点若，则该双曲线的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
2.（2021春·重庆九龙坡·高三重庆市杨家坪中学校考阶段练习）设F1, F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点,若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是
A．（1，]B．（1，3）C．（1，3]D．[，3）
【变式演练】
1.（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，若在右支上存在一点，使得点到直线的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
2.（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别是，点A是圆上的一个动点，且线段的中点B在E的一条渐近线上．若E的焦距为4，则E的离心率的最小值是 ．
3.（2022·全国·高一专题练习）双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【题型十三】共焦点椭圆与双曲线
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
2.（2022·全国·高二专题练习）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·湖南株洲·高二校考期末）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023秋·高二课时练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A．24B．37C．49D．52
1.（2023·全国·高二专题练习）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
3.（2022秋·湖北省直辖县级单位·高二校考阶段练习）直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
4.（2023·全国·高二专题练习）若点是双曲线：上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．7D．8
6.（2022·全国·高一专题练习）设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ）
A．6B．12C．D．
7.（2022·全国·高三专题练习）设双曲线：的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8.（2021春·全国·高三校联考阶段练习）如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
9.（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
10.（2020秋·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，与 轴交于点，若，且双曲线的离心率为，则的值为 .
11.（2018秋·河北衡水·高三校考阶段练习）已知双曲线的离心率，且双曲线的渐近线与圆相切，则的最大值为
A．3B．C．2D．
12.（2023秋·四川成都·高二校考期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）．若，则的取值范围是 ．
13.（2022秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
一、热考题型归纳
【题型一】 双曲线方程
【题型二】 双曲线方程求参
【题型三】 双曲线型轨迹
【题型四】 双曲线定义与焦半径
【题型五】 双曲线第一定义求最值
【题型六】 焦点三角形面积
【题型七】 渐近线方程及应用
【题型八】 离心率与开口方向
【题型九】 由离心率求双曲线数量关系
【题型十】 离心率求参数
【题型十一】 由离心率范围求范围与最值
【题型十二】 离心率最值
【题型十三】 共焦点椭圆与双曲线
二、培优练
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
性质
范围
_或，R
或 ，R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1,A2
_A1,A2
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；
实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
_
渐近线
双曲线标准方程：
，
、一侧是数字1，如果不是1.则除过去化为1.
、另一侧是x、y方分数形式。每一个分母就是对应的
、中间为减，被减数对应焦点所在的坐标轴
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0)
第一定义思维：
涉及到双曲线一个焦点，一般连接另外一个焦点。由定义，到一个焦点的距离，转化为到另外一个焦点的距离（消元）
双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
渐近线方程
令， 令，
焦点到渐近线的距离为
共渐近线的双曲线方程

双曲线的开口大小是指两只的距离，也就是曲线的宽度。
当离心率越小，双曲线形状越接近两条直线，此时开口大小越大
当离心率越大，双曲线的形状越扁平，此时双曲线开口大小越小
双曲线的离心率满足：
求双曲线离心率的方法思维：
①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则．