专题01 空间基底与综合应用（14题型）-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练测（人教A版2019选择性必修第一册）

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好题归纳
【题型一】 基底判断
1.（2023·全国·高二专题练习）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高二专题练习）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023·全国·高二专题练习）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
4.（2022秋·浙江金华·高二校联考期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5.（2022秋·江西南昌·高二校联考期末）若构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
6.（2021·高二课时练习）若是空间向量的一组基底，向量，，则可以与，构成空间向量的另一组基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
【题型二】基底求参
1.（2023春·福建福州·高一校联考期中）已知与不共线，是一组基底，则实数的取值范围是 .
2.（2023秋·湖北随州·高二随州市第一中学校考阶段练习）已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为 .
3.（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知，，，如果，，三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（ ）
A．0B．9C．5D．3
4.（2022秋·北京西城·高二北师大二附中校考阶段练习）已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ）
A．0B．5C．9D．
5.（2023·全国·高二专题练习）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．C．D．
【题型三】两套基底的坐标互化
1.（2022秋·全国·高二专题练习）已知向量是空间向量的一组基底，向量，，是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，，，则向量在基底，，下的坐标为（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
2.（2023·全国·高二专题练习）设是空间中的一个单位正交基底，已知向量，其中，，，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
4.（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）在长方体中，若，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5.（2023·全国·高二专题练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【题型四】空间几何体基底法求向量
1.（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·全国·高二课时练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A．B．=
C．=D．=
3.（2022·河北省唐县第一中学高一期中）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
4.（2022·全国·高二专题练习）在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5.（2022·河南新乡·高二期末（理））在正方体中，P为的中点，E为的中点，F为的中点，O为EF的中点，直线PE交直线于点Q，直线PF交直线于点R，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型五】空间三点共线求参
1.（2022·全国·高二课时练习）在四面体OABC中，点M，N分别为OA、BC的中点，若，且G、M、N三点共线，则______．
2.（2023·全国·高一专题练习）设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3.（2021·高二课时练习）在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，，三点共线，则
A．B．C．D．
4.（2019·全国·高三竞赛）设P，A，B，C为空间不同的四点，且a +β+γ= (a、β、γ∈R).则a+β+γ=0且aβγ≠0是A、B、C三点共线的.
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既不充分又不必要条件
5.（2020秋·内蒙古乌兰察布·高二统考期末）已知点，，三点共线，则 ．
【题型六】空间点共面求参数
1.（2020秋·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知为空间任意一点，若，则四点（ ）
A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断
2.（2023秋·高二课时练习）已知向量，，是空间向量的一组基底，，，，若A，B，C，D四点共面．则实数的值为 ．
3.（2023春·高二课时练习）若点P与不共线的三点A，B，C共面，且对于空间任意一点O，都有，则＝
4．（2023·全国·高二假期作业）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则 ．
5.（2023·全国·高二专题练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数 .
【题型七】空间向量共面求参数
1.（2023·全国·高二专题练习）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ．
2.（2022·高二课时练习）已知、、不共面，若，则 ．
3.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考开学考试）有以下命题：
①若（），则与、共面；
②若与、共面，则（）；
③若（），则M、P、A、B共面；
④若M、P、A、B共面，则（）.
则所有真命题的序号为 .
4.（2021·高二课时练习）已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则 ．
5.（2022·全国·高一专题练习）已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于 .
【题型八】利用基底求数量积
1.（2022秋·北京·高二北京十五中校考期中）在长方体中，设，，则 ．
2.（2023秋·新疆·高二校联考期末）如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 ．

3.（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F分别是的中点，则 ．

4.（2023春·安徽六安·高一六安一中校考期末）平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ．
（2023·全国·高二专题练习）平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是 ．
【题型九】基底求数量积范围最值
1.（2023·上海·统考模拟预测）若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是 .
2.（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为 ．
3.（2023·全国·高一专题练习）点P是棱长为2的正四面体表面上的动点，若MN是该四面体外接球的一条直径，则的最小值是 .
4.（2022·浙江温州·高二校考阶段练习）正四面体的棱长为，空间动点满足，则的取值范围是 .
5.（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）球O为正四面体的内切球，，是球O的直径，点M在正四面体的表面运动，则的最大值为 ．
【题型十】基底求空间长度
1.（2022·全国·高三专题练习）在平形六面体，其中，，，，，则的长为
2.．（2022·上海·高二专题练习）如图，已知线段AB在平面内，线段AC⊥，线段BD⊥AB，线段⊥，=30°，如果AB=a，AC=BD=b，则C、D间的距离为 ；
3.（2021秋·福建三明·高二校考阶段练习）图，的二面角的棱上有A､B两点，直线､分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 .
4.（2021秋·福建南平·高二校考期中）将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则的值为 ．
5.（2022秋·陕西铜川·高二校考阶段练习）已知空间向量的模长分别为，且两两夹角均为.点为的重心，若，，则 .
【题型十一】利用基底求空间向量长度最值
1.（2022·高二课时练习）正方体的棱长为3，为空间一点，为底面内一点，且满足，异面直线与所成角为30°，则线段长度最小值为（ ）
A．B．C．D．
2..（2022·高二课时练习）已知的顶点平面,点B,C在平面异侧,且,,若,与所成的角分别为,,则线段长度的取值范围为 .
3.（2023·上海·高三专题练习）已知空间向量，，，满足：，，，，则的最大值为 ．
4.（2023秋·辽宁锦州·高二渤海大学附属高级中学校考期末）如图，在四棱台中，，，则的最小值为 .
【题型十二】空间向量基底型大题1:两点距离
1.（2022秋·广东佛山·高二校联考期中）如图，在平行六面体中，点M是线段的中点，点N在线段上，且，．

(1)求满足的实数x，y，z的值．
(2)求MN的长．
2.（2023·全国·高二专题练习）如图，在四面体ABCD中，，，，.
(1)求的值；
(2)已知F是线段CD中点，点E满足，求线段EF的长.
3.（2023·全国·高二专题练习）如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点（点P靠近点N），若，解答下列问题：
(1)以为基底表示；
(2)若，，，求的值．
【题型十三】空间向量基底型大题2:向量夹角
1.（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，，，，为中点.

(1)用空间的一个基底表示，；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
2.（2023·全国·高二专题练习）如图，正四面体的高的中点为，的中点为.

(1)求证：，，两两垂直；
(2)求.
3.（2023·全国·高二专题练习）如图，平行六面体中，，，
(1)求对角线的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【题型十四】空间向量基底型大题3:综合证明
1.（2023·全国·高二专题练习）如图，在四面体中，设.
(1)若是的中点，用表示；
(2)若两两垂直，证明：为锐角三角形.
2.（2022·高二单元测试）在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，．
(1)用，，表示，；
(2)求证：，，，四点共面；
(3)求证：四边形为矩形．
3.（2023秋·全国·高二随堂练习）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．
(1)用，，表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．
培优练
一、单选题
1．（2023秋·福建莆田·高三校考开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱中，分别是，的中点，，则（ ）

A．
B．
C．
D．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知，如图，在平行六面体中，，则用向量可表示向量为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·河北保定·高二校联考开学考试）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考开学考试）在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，M是的中点，则（ ）

A．5B．7C．3D．
6．（2023·全国·高二专题练习）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考开学考试）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（ ）

A．若，则∥平面B．若，则
C．当最小时，D．当最大时，
8．（2023·全国·高二专题练习）在正四棱锥中，若，，平面与棱交于点，则四棱锥与四棱锥的体积比为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高二专题练习）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023春·湖南岳阳·高二校考开学考试）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）

A．B．向量与的夹角是60°
C．AC1⊥DBD．BD1与AC所成角的余弦值为
11．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）在正方体中，，则（ ）
A．
B．与平面所成角为
C．当点在平面内时，
D．当时，四棱锥的体积为定值
12．（2024秋·高二课时练习）如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2023·全国·高二专题练习）已知为半径为的球面上的四点，其中间的球面距离分别为，，，若，其中为球心，则的最大值是 ．
14．（2023春·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校考期中）如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是6，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的三等分点，N为对角线DF的中点，则线段MN= .

15．（2022·全国·高二专题练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有 ．
①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则；
②若非零向量、、满足，，则有；
③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面；
④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底．
16．（2022·全国·高二专题练习）空间向量，，，，，，且，，若点P满足，且，，，，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为 .
四、解答题
17．（2023秋·湖北黄冈·高二校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．

(1)试用，，表示出向量；
(2)求与所成的角的余弦值．
18．（2023秋·高二课时练习）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、三点共线．
19．（2022秋·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，设的二面角为.

(1)当时，求的体积；
(2)设N为的中点，，求的取值范围.
一、核心考点题型归纳
【题型一】 基地判断
【题型二】 基底求参
【题型三】 两套基底的坐标互化
【题型四】 空间几何体基地发求向量
【题型五】 空间三点共线求参
【题型六】 空间点共面求参
【题型七】 空间向量共面求参数
【题型八】 利用基底求数量级
【题型九】 利用基底求数量积的范围
【题型十】 基底求空间向量长度
【题型十一】利用基底求空间长度最值
【题型十二】空间向量基底型大题1：两点距离
【题型十三】空间向量基底型大题2：向量夹角
【题型十四】空间向量基底型答题3：综合证明
二、期中期末好题培优练
知识点与技巧：
如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．其中，把叫做空间的一个基底，，，都叫做 基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
知识点与技巧：
在空间选定一点O和一个单位正交基底．以点O为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、之轴，它们都叫做坐标轴．这时就建立了一个空间直角坐标系，O叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分．
（1）空间直角坐标系中点的坐标：在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标_．
（2）空间直角坐标系中向量的坐标
在空间直角坐标系中，给定向量，作．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使．有序实数组叫做在空间直角坐标系之中的坐标，上式可简记作．
知识点与技巧：
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
知识点与技巧：
1、对任意两个空间向量，的充要条件是存在实数，使．
2、A、B、C三点共线条件：存在实数，使
知识点与技巧：
（1）共面向量：平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（2）空间向量共面的充要条件：向量与不共线向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
知识点与技巧：
（1）已知两个非零向量，，则向量的模长与在向量方向上的投影的乘积叫做，的数量积，记作．即．
零向量与任意向量的数量积为0．
（2）由数量积的定义，可以得到：
；_
知识点与技巧：
1.在空间直角坐标系中，设，，则两点间的距离___．
2.
知识点与技巧：
夹角
（1）求异面直线所成的角
若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有= .
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有=
.
（3）求二面角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则==
（4）求平面与平面的夹角
平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角=.