2022-2023学年天津市和平区九年级上学期数学期末考试卷及答案

这是一份2022-2023学年天津市和平区九年级上学期数学期末考试卷及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2. 如果2是方程的一个根，那么常数c是（ ）
A. 2B. 4C. D. 4或
【答案】B
【解析】
【分析】把代入方程，即可求解．
【详解】解：∵2是方程的一个根，
∴，
解得：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
3. 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE≌△ABF，则可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE（ ）
A. 顺时针旋转90°后得到的图形B. 顺时针旋转45°后得到的图形
C. 逆时针旋转90°后得到的图形D. 逆时针旋转45°后得到的图形
【答案】A
【解析】
【分析】由旋转的性质可求解．
【详解】解：∵E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE≌△ABF，
∴可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°后得到的图形，
故选：A．
【点睛】本题考查图形旋转的性质，理解基本性质是解题关键．
4. 掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是（ ）
A. 1B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），时间确定了则概率是不变的，而频率是改变的，根据此特点可得答案．
【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是.
故选C．
【点睛】本题考查概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．
5. 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（ ）
A. 2 B. 4C. 3 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
【详解】如图：
连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM=30°，
∵圆内接正六边形ABCDEF的周长为24，
∴AB=4，则AM=2，
因而OM=OA•cs30°=2，
正六边形的边心距是2.
故选A．
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键．
6. 对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（ ）
A. 开口向下B. 当x>1时，y随x的增大而减小C. 函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）D. 当x＝1时，y有最小值4
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A、B、D，令，解关于的一元二次方程则可判定C．
【详解】解：，
，
开口向下，
故A说法正确，不合题意；
当时，随的增大而减小，
故B说法正确，不合题意；
令可得，
解得：，，
抛物线与轴的交点坐标为和，
故C说法正确，不合题意；
∵对称轴为，顶点坐标为，
当时，有最大值，最大值为4，
故D不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
7. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
8. 如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（ ）
A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法即可解决问题.
【详解】解：∵∠E＝∠E，∠FCE＝∠D，
∴△CEF∽△ADF；
∵∠E是公共角，∠B＝∠FCE，
∴△ABE∽△CEF；
∴△ABE∽△ADF．
故有3对．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
9. 如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为 ( )
A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°
【答案】A
【解析】
【详解】由垂径定理，得： ；∴∠CDB=∠AOC=25°；故选A．
10. 如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴C正确．故选C．
考点：相似三角形判定与性质．
11. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为点D，则AD的长为( )
A. B. 6C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先证明△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，即可求出AD的长．
【详解】解：∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
解得：AD=4．
故选D．
考点：相似三角形的判定与性质．
12. 函数的图象与x轴交于，两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合条件和二次函数图象可知当x=1时，对应的y值小于0，可得到关于p，q的关系式，可得到答案．
【详解】解：∵抛物线中二次项系数为−1<0，
∴抛物线开口向下．
由 y=-x2+px+q的图象与x轴交于（a，0）和（b，0）且a＞1＞b得，当x=1时，y＞0，
∴-12+p+q＞0，
∴p+q＞1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数与二次方程的关系，掌握二次函数图象在x=1时，对应的y＜0是解题的关键，注意结合图形来理解．
二、填空题
13. 如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的大小为__度．
【答案】150．
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】∵，
∴∠AOC＝2∠B＝150°，
故答案为150．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”，“1”，“2”，“4”，“5”，“5”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的有2种情况，
所以掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是．
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）；P（不可能事件）是解题的关键．
15. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．
【答案】2
【解析】
【详解】解：扇形的弧长==2πr，
∴圆锥的底面半径为r=2．
故答案为2．
16. 二次函数的顶点坐标是__________．
【答案】（1，3）
【解析】
【分析】根据题目中函数的解析式可以得到此二次函数的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：∵y=-2（x-1）2+3，
∴二次函数y=-2（x-1）2+3的图象的顶点坐标是（1，3）
故答案：（1，3）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
17. 如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=_____．
【答案】40°
【解析】
【分析】先根据三角形外角性质计算出∠EBF=∠A+∠E=85°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD=180°﹣∠A=125°，然后再根据三角形外角性质求∠F．
【详解】解：∵∠A=55°，∠E=30°，
∴∠EBF=∠A+∠E=85°，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣55°=125°，
∵∠BCD=∠F+∠CBF，
∴∠F=125°﹣85°=40°．
故答案为40°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质；三角形内角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
（Ⅰ）线段AB的长等于_______________；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____．
【答案】 ①. （Ⅰ）； ②. （Ⅱ）如图，取圆与网格线的交点，连接与相交，得圆心；与网格线相交于点，连接并延长，交于点，连接并延长，与点的连线相交于点，连接，则点满足．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可求出AB的长
（Ⅱ）先确定圆心，根据∠EAF=取格点E、F并连接可得EF为直径，与AC相交即可确定圆心的位置，先在BO上取点P,设点P满足条件，再根据点D为AB的中点，根据垂径定理得出ODAB，再结合已知条件，得出，设PC和DO的延长线相交于点Q，根据ASA可得,可得OA=OQ，从而确定点Q在圆上，所以连接并延长，交于点，连接并延长，与点的连线相交于点，连接即可找到点P
【详解】（Ⅰ）解：
故答案为
（Ⅱ）取圆与网格线的交点，连接，与相交于点O，
∵∠EAF=，∴EF为直径,
∵圆心在边AC上∴点O即为圆心
∵与网格线的交点D是AB中点，连接OD则ODAB，
连接OB，∵,OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=，∠DOA=∠DOB=，
在BO上取点P ，并设点P满足条件，∵
∵，
∴∠APO=∠CPO=，
设PC和DO的延长线相交于点Q，则∠DOA=∠DOB=∠POC=∠QOC=
∴∠AOP=∠QOP=，
∵OP=OP, ∴ ∴OA=OQ,
∴点Q在圆上，∴连接并延长，交于点，连接并延长，与点的连线相交于点，连接,则点P即为所求
【点睛】本题主要考查了应用与设计作图、勾股定理、垂径定理、三角形的全等的性质与判定、等腰三角形的性质等知识，是一道综合性较强的题目，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
三、解答题
19. （Ⅰ）解方程；
（Ⅱ）无论取何值，方程总有两个不相等的实数根吗？给出答案并说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）无论取何值，方程总有两个不相等的实数根，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：（Ⅰ）
∴，
解得：；
（Ⅱ）无论取何值，方程总有两个不相等的实数根，理由如下：
，
整理得：，
∵，
∴，
∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
20. 已知是的直径，点，是半圆的三等分点．连接，．
（1）如图①，求及的大小；
（2）如图②，过点作于点，交于点，若的半径为2．求的长．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据点，是半圆的三等分点，可得，再根据是等边三角形，可求出，即可；
（2）连接，根据，可得，在中，求出，即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵点，是半圆的三等分点．
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等园中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
21. 已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长（结果保留根号）；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；
（2）本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD＝AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD＝∠OAD＝90°，从而解决问题．
【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线，
∴∠BAP＝90°．
在Rt△PAB中，AB＝2，∠P＝30°，
∴BP＝2AB＝2×2＝4．
由勾股定理，得．
（2）如图，连接OC、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠ACP＝180°﹣∠BCA＝90°，
在Rt△APC中，D为AP的中点，
∴，
∴∠4＝∠3，
∵OC＝OA，
∴∠1＝∠2，
∵∠2+∠4＝∠PAB＝90°，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，
即OC⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质及解直角三角形等知识．熟练掌握切线的性质及判定方法是解题的关键.
22. 如图，一幅长、宽的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的．求彩条的宽度．
【答案】水平彩条宽度为，竖直彩条的宽度为．
【解析】
【分析】水平彩条宽度为，则竖直彩条的宽度为，由面积关系列出方程，解方程即可．
【详解】解：设水平彩条宽度为，则竖直彩条的宽度为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，或 （不合题意舍去），
∴， ，
答：水平彩条宽度为，则竖直彩条的宽度为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、矩形的面积；由题意列出方程是解题的关键．
23. 某商店购进一批单价为20元日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
【答案】售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润
【解析】
【分析】设销售单价为x元，月销售利润为y元，根据月销售利润＝单件利润×月销量，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：设销售单价为x元，销售利润为y元，依题意得，单件利润为元，月销量为件，
月销售利润，
整理得，
配方得，
所以时，y取得最大值4500．
故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能够根据题意构建二次函数解决最值问题．
24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，，记旋转角为．
（1）如图①，当时，求点的坐标；
（2）如图②，当点落在的延长线上时，求点的坐标；
（3）当点落在线段上时，求点的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为；
（2）过点作轴于，于，则则，，由勾股定理得出，由面积法求出，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为；
（3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，，
由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：过点作轴于，如图所示：
∵点，点，
∴，，
∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
∴，，，
在Rt中，，，
∴，
∴点的坐标为；
【小问2详解】
解：过点作轴于，于，如图所示：
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
【小问3详解】
解：连接，作轴于，如图所示：
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．
25. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2
(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）
(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．
【解析】
【分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；
（2）根据二次函数解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；
（2）∵y=﹣x2+x+2，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．
作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；
（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2，
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），
∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，
=××2+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
∴E（2，1）．