辽宁省大连市2011年中考数学试题（word版含答案）

这是一份辽宁省大连市2011年中考数学试题（word版含答案），共1页。试卷主要包含了实数 eq \r的整数部分是，下列事件是必然事件的是，…………………………9分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
2．本试卷共五大题，26小题，满分150分。考试时间120分钟。
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（11·大连）－ eq \f(1,2)的相反数是 ( )
A．－2 B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D．2
【答案】C
2．（11·大连）在平面直角坐标系中，点P（－3，2）所在象限为 ( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
3．（11·大连）实数 eq \r(,10)的整数部分是 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
4．（11·大连）图1是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的左视图是 ( )
图1
A． B．C．D．
【答案】C
5．（11·大连）不等式组eq \b\lc\{(\a\al\c(2x－4＜0,x＋1≥0))的解集是 ( )
A．－1≤x＜2B．－1＜x≤2C．－1≤x≤2D．－1＜x＜2
【答案】A
6．（11·大连）下列事件是必然事件的是 ( )
A．抛掷一次硬币，正面朝上 B．任意购买一张电影票，座位号恰好是“7排8号”
C．某射击运动员射击一次，命中靶心D．13名同学中，至少有两名同学出生的月份相同
【答案】D
7．（11·大连）某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为s甲2＝0.002、s乙2＝0.03，则 ( )
A．甲比乙的产量稳定 B．乙比甲的产量稳定
C．甲、乙的产量一样稳定D．无法确定哪一品种的产量更稳定
【答案】A
8．（11·大连）如图2，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于
图2
A．B．1C．D．2
【答案】C
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（11·大连）如图3，直线a∥b，∠1＝115°，则∠2＝_________°．
【答案】65
图3
10．（11·大连）在平面直角坐标系中，将点（－2，－3）向上平移3个单位，则平移后的点的坐标为_______．
【答案】（－2，0）
11．（11·大连）化简：＝___________．
【答案】a－1
12．（11·大连）已知反比例函数的图象经过点（3，－4），则这个函数的解析式为___________．
【答案】y＝－ eq \f(12,x)
13．（11·大连）某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元。若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为_________．
【答案】350×(1－x)2＝299
14．（11·大连）一个不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红色球的概率为_________．
【答案】 eq \f(2,9)
图2
15．（11·大连）如图4，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积等于_________cm2．
【答案】6 eq \r(,3)
图5
16．（11·大连）如图5，抛物线y＝－x2＋2x＋m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x＝x2－2时，y______0（填“＞”“＝”或“＜”号）．
【答案】＜
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12
分，共39分）
17．（11·大连）（本题9分）计算：( eq \f(1,2))－1＋( eq \r(,3)－1)2－ eq \r(,36)
【答案】解：原式＝2＋3－2 eq \r(,3) ＋1－6…………………………8分
＝－2 eq \r(,3)…………………………9分
18．（11·大连）（本题9分）解方程： eq \f(5,x－2)＋1＝ eq \f(x－1,2－x)．
【答案】解：方程两边同乘(x－2)得5＋(x－2)＝－(x－1)，…………………………3分
解得x＝－1，…………………………6分
检验：当x＝－1时，x－2＝－3≠0，是原分式方程的解
∴原方程的解为x＝－1．…………………………9分
19．（11·大连）（本题9分）如图6，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是BC的中点，求证：∠DAM＝∠ADM．
图6
【答案】证明：∵四边形 ABCD是等腰梯形
∴∠B＝∠C，AB＝DC，…………………………4分
又∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
∴△ABM≌△DCM，…………………………7分
∴AM＝DM，…………………………8分
∴∠DAM＝∠ADM．…………………………9分
20．（11·大连）（本题12分）如图7，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6m．
图7
A
B
C
E
F
⑴求建筑物BC的高度；
⑵求旗杆AB的高度．
（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）
【答案】
解：（1）过点E作ED⊥BC于D，
由题意知，四边形EFCD是矩形
∴ED＝FC＝12，DC＝EF＝1.6…………………………3分
在Rt△BED中，∠BED＝45°，
∴BD＝ED＝12，
∴BC＝BD＋DC＝12＋1.6＝13.6，…………………………5分
答：建筑物BC的高度为13.6m．…………………………6分
（2）在Rt△AED中，∠AED＝52°，
∴AD＝ED•tan52°＝12×tan52°…………………………8分
∴AB＝AD－BD＝12×tan52°－12≈12×1.28－12＝15.36－12＝3.36≈3.4．………11分
答：旗杆AB的高度约为3.4m．…………………………12分
四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（11·大连）（本题9分）某中学为了了解七年级男生入学时的跳绳情况，随机选取50名刚入学的男生进行个人一分钟跳绳测试，并以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图（如图8所示）．根据图表解答下列问题：
（1）a＝_______，b＝_________；
（2）这个样本数据的中位数落在第________组；
（3）若七年级男生个人一分钟跳绳次数x≥130时成绩为优秀，则从这50名男生中任意选一人，跳绳成绩为优秀的概率为多少？
2
6
10
12
14
20
16
18
50
70
90
110
130
150
170
跳绳次数
0
4
8
频数（人数）
图8
（4）若该校七年级入学时男生共有150人，请估计此时该校七年级男生个人一分钟跳绳成绩为优秀的人数．
【答案】解：（1）a＝10，b＝12；…………………………2分
（2）3．…………………………4分
（3）优秀的概率为： eq \f(4＋2,50)＝ eq \f(3,25)；…………………………6分
答：跳绳成绩为优秀的概率为 eq \f(3,25)；…………………………7分
（4）150× eq \f(3,25)＝18．…………………………8分
图9
22．（11·大连）（本题9分）如图9，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC．
（1）△ABC的形状是______________，理由是_________________；
（2）求证：BC平分∠ABE；
（3）若∠A＝60°，OA＝2，求CE的长．
【答案】
解：（1）直角三角形；
直径所对的圆周角是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形．…………………2分
（2）连接OC，∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD
∴∠OCB＋∠BCE＝90°
∵BE⊥CD，
∴∠CBE＋∠BCE＝90°
∴∠OCB＝∠CBE，…………………………4分
又∵且OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC…………………………5分
∴∠EBC＝∠OBC，即BC平分∠ABE；…………………………6分
（3）在Rt△ABC中，BC＝AB·sinA＝2×2×sin60°＝2 eq \r(,3)，
在Rt△BCE中，∵∠CBE＝∠ABC＝90°－∠A＝30°
∴CE＝ eq \f(1,2)BC＝ eq \f(1,2)×2 eq \r(,3)＝ eq \r(,3)．…………………………9分
O
t/s
h/cm
10
18
12
图11
23．（11·大连）（本题10分）如图10，某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25cm2、10cm2、5cm2，C的容积是容器容积的（容器各面的厚度忽略不计）．现以速度v（单位：cm3/s）均匀地向容器注水，直至注满为止．图11是注水全过程中容器的水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象．
⑴在注水过程中，注满A所用时间为______s，再注满B又用了_____s；
图10
A
B
C
⑵求A的高度hA及注水的速度v；
⑶求注满容器所需时间及容器的高度．
【答案】解：（1）10s，8s；…………………………2分
（2）根据题意和函数图象得，eq \b\lc\{(\a\al\c(hA＝\F(10v,25),12－hA＝\F(8v,10))) 解得，eq \b\lc\{(\a\al\c(hA＝4,v＝10))；…………………………4分
答：A的高度hA为4 cm，注水速度v为10 cm3/s…………………………5分
（3）设注满容器所需时间为t s，容器的高度为h cm，注满C的时间为tC s，C的高度为hC cm，
∵C的容积是容器容积的 eq \f(1,4).
∴tC＝ eq \f(1,4)(18＋tC) 解得tC＝6
∴t＝18＋tC＝18＋6＝24…………………………7分
∵5·hC＝10×6 ，解得hC＝12
∴h＝12＋hC＝12＋12＝24…………………………9分
答：注满这个容器所需时间24 s，容器的高度为24 cm…………………………10分
五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11·大连）（本题11分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(0，2)、(－1，0)、(4，0)．P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P的直线x＝t与AC相交于点Q．设四边形ABPQ关于直线x＝t的对称的图形与△QPC重叠部分的面积为S．
A
B
C
O
x
y
图12
（1）点B关于直线x＝t的对称点B′的坐标为________；
（2）求S与t的函数关系式．
【答案】
解：（1）（2t＋1，0）…………………………2分
（2）① 如图，点B’在点C的左侧时，2t＋1＜4 解得t＜1.5
当0＜t＜1.5时，设点A关于直线x＝t的对称点A’，A’B’与AC相交于点D，
过点D作DE⊥x轴，垂足为E，PC＝4－t，B’C＝4－(2t＋1)＝3－2t……………………3分
设直线AC解析式为y＝kx＋b，
将A（0，2），C（4，0）分别代入解析式得，eq \b\lc\{(\a\al\c(4k＋b＝0,b＝2))，解得eq \b\lc\{(\a\al\c(k＝－\F(1,2),b＝2))
∴y＝－ eq \f(1,2)x＋2．
∴PQ＝－ eq \f(1,2) t＋2…………………………5分
设点D的坐标为(m，－ eq \f(1,2)m＋2)，则DE＝－ eq \f(1,2)m＋2，EB’＝2t＋1－m
由对称性可知，∠ABO＝∠DB’E，又∵∠AOB＝∠DEB’
∴△ABO∽△DB’E
∴ eq \f(AO,DE)＝ eq \f(OB,EB')，即AO·EB’＝DE·OB，2·(2t＋1－m)＝1·(－ eq \f(1,2)m＋2)，解得m＝ eq \f(8,3) t
∴DE＝－ eq \f(1,2)m＋2＝－ eq \f(4,3)t＋2…………………………8分
∴S＝S△PQC－S△DB’C＝ eq \f(1,2)PC·PQ－ eq \f(1,2)B’C·DE＝ eq \f(1,2)(4－t)×(－ eq \f(1,2)t＋2)－ eq \f(1,2)(3－2t)×(－ eq \f(4,3)t＋2)
＝－ eq \f(13,12)t2＋2t＋1…………………………9分
②当1.5≤t＜4时，点点B’在点C的右侧或与点C重合（如图2）由①知PQ＝－ eq \f(1,2) t＋2
∴S＝ eq \f(1,2)PC·PQ＝ eq \f(1,2)(4－t)×(－ eq \f(1,2)t＋2)＝ eq \f(1,4)t2－2t＋4
综上S＝eq \b\lc\{(\a\al\c(－ eq \f(13,12)t2＋2t＋1（0＜t＜1.5）, eq \f(1,4)t2－2t＋4（1.5≤t＜4）))…………………………11分
另外的解法：如图，当1.5≤t＜4时，重合部分为三角形△CPQ，如图2
∵△CPQ∽△COA，
∵ ，
即 ，
则PQ＝ ．
于是S△QPC＝ （4－t） ＝ （1.5＜t≤4），
如图 当0＜t＜1.5时，重合部分为四边形DQPB’，
∵A点坐标为（0，2），
∴A′点坐标为（2t，2），
又∵B′点坐标为（2t＋1，0），
设直线A′B′解析式为y＝kx＋b，则将A′（2t，2），
和B′（2t＋1，0）分别代入解析式得， ，
解得k＝－2，b＝2＋4t．
解析式为y＝－2x＋（2＋4t），
将y＝－ x＋2和y＝－x＋（2＋4t）组成方程组得 ，
解得 ，
D点坐标为（8t，－4t＋2）．
由于B′坐标为（2t＋1，0），C点坐标为（4，0），
故B′C＝4－（2t＋1）＝3－2t，
S△QPC＝ （4－t） ＝ ，
S四边形QPB′D＝S△QPC－S△DB′C＝ － （3－2t）（－4t＋2）＝－ t2＋6t＋1（0＜t≤1.5）．
25．（11·大连）（本题12分）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
（1）当AB＝AC时，（如图13），
① ∠EBF＝_______°；
② 探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
图13
图14
（2）当AB＝kAC时（如图14），求的值（用含k的式子表示）．
【答案】解：（1）①22.5°…………………………2分
② 结论：BE＝ eq \f(1,2)FD
证明：如图1，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H
则∠GDB＝∠C ∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB
G
H
∵∠EDB＝ eq \f(1,2)∠C＝ eq \f(1,2)∠GDB＝∠EDG
又∵DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°
∴△DEB≌△DEG
∴BE＝GE＝ eq \f(1,2)GB…………………………4分
∵AB＝AC ∠A＝90°
G
H
∴∠ABC＝∠C＝∠GDB
∴HB＝HD
∵∠DEB＝∠BHD＝90° ∠BFE＝∠DFH
∴∠EBF＝∠HDF
∴△GBH≌△FDH
∴GB＝FD…………………………6分
∴BE＝ eq \f(1,2)FD…………………………7分
（2）如图1，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H
同理可证：△DEB≌△DEG，BE＝ eq \f(1,2)GB，∠BHD＝∠GHB＝90°，∠EBF＝∠HDF
∴△GBH∽△FDH
∴ eq \f(GB,FD)＝ eq \f(BH,DH) 即 eq \f(BE,FD)＝ eq \f(BH,2DH)…………………………10分
又∵DG∥CA
∴△BHD∽△BAC
∴ eq \f(BH,BA)＝ eq \f(DH,CA) 即 eq \f(BH,DH)＝ eq \f(BA,CA)＝k…………………………11分
∴ eq \f(BE,FD)＝ eq \f(k,2)…………………………12分
第二种解法：
解：（1）①∵AB＝AC∠A＝90°
∴∠ABC＝∠C＝45°
∵∠EDB＝ ∠C
∴∠EDB＝22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD＝67.5°
∴∠EBF＝67.5°－45°＝22.5°
②在△BEF和△DEB中
∵∠E＝∠E＝90°
∠EBF＝∠EDB＝22.5°
∴△BEF∽△DEB
如图：BG平分∠ABC，
∴BG＝GD△BEG是等腰直角三角形
设EF＝x，BE＝y，
则：BG＝GD＝ y
FD＝ y＋y－x
∵△BEF∽△DEB
∴ ＝
即： ＝
得：x＝（ －1）y
∴FD＝ y＋y－（ －1）y＝2y
∴FD＝2BE．
（2）如图：作∠ACB的平分线CG，交AB于点G，
∵AB＝kAC
∴设AC＝b，AB＝kb，BC＝ b
利用角平分线的性质有：＝
即： ＝
得：AG＝
∵∠EDB＝ ∠ACB
∴tan∠EDB＝tan∠ACG＝
∵∠EDB＝ ∠ACB
∠ABC＝90°－∠ACB
∴∠EBF＝90°－∠ABC－∠EDB＝ ∠ACB
∴△BEF∽△DEB
∴EF＝ BE
ED＝ BE＝EF＋FD
∴FD＝ BE－ BE＝ BE．
∴ ＝ ．
图15
26．（11·大连）（本题12分）如图15，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A (－1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面
积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，
使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点
R的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】
解：（1）设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－3)
∴3＝a·(－3) 即＝a－1
∴所求的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3…………………………2分
解法二：把三点代入抛物线解析式y＝ax2＋bx＋c，eq \b\lc\{(\a\al\c(0＝a－b＋c,y＝9a＋3b＋c,3＝c))，即得：eq \b\lc\{(\a\al\c(a＝－1,b＝2,c＝3))，
∴所求的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3…………………………2分
（2）存在
y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4 ∴点P的坐标为 (1，4)
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，则eq \b\lc\{(\a\al\c(3k＋b＝0,b＝3))，解得eq \b\lc\{(\a\al\c(k＝－1,b＝3))
即y＝－x＋3
∴点M的坐标为 (1，2) …………………………3分
设对称轴与x轴相交于点N，则MN＝PM，
∴△NMB与△PMB的面积相等
∴△QMB与△PMB的面积相等
∴点Q在过点P且平行于BC的直线l1或过点N且平行于BC的直线l2上，
设l1的解析式为y＝－x＋b1，则4＝－1＋b1，b1＝5，∴y＝－x＋5
设l2的解析式为y＝－x＋b2，则0＝－1＋b2，b2＝1，∴y＝－x＋1…………………………6分
设l1与抛物线相交于点Q (m，－m＋5) l2与抛物线相交于点Q’ (n，－n＋1)
－m＋5＝－m2＋2m＋3 解得m1＝1（舍去），m2＝2，∴Q (2，3) ………………………7分组别
次数x
频数（人数）
第1组
50≤x＜70
4
第2组
70≤x＜90
a
第3组
90≤x＜110
18
第4组
110≤x＜130
b
第5组
130≤x＜150
4
第6组
150≤x＜170
2