河南省顶级名校联盟2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

这是一份河南省顶级名校联盟2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x|a2﹣a＜x＜2，x∈Z}中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ）
A．[0，1]B．（0，1）C．（1，2）D．[1，2]
2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）0）的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（ ）（参考数据：）
A．25B．31.6C．250D．316
4．（5分）已知函数f（x）＝asinx+cs（x+）的图象关于直线x＝，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
5．（5分）某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，则全班学生数学成绩的方差为（ ）
A．21B．19C．18D．
6．（5分）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（ ）
A．216B．360C．720D．1080
7．（5分）已知ω是正整数，函数f（x）＝sin（ωx+ω）在（0，ωπ），其导函数为f′（x），则f（x）（x）的最大值为（ ）
A．2B．C．3D．
8．（5分）已知过点P（﹣2，2）的直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且＝，点Q满足，点C（4，0），则|QC|的最小值为（ ）
A．B．2C．D．1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且S7＞S6＞S8，则下列结论中正确的是（ ）
A．a5+a10＞0
B．d＜0
C．S14＜0
D．当n＝7时，Sn取得最大值
（多选）10．（5分）已知F1，F2分别是椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，且AF1⊥F1F2，直线AF2与椭圆的另一个交点为B，且＝3，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是短轴长的倍
B．线段AF1的长度为a
C．椭圆的离心率为
D．△BF1F2的周长为
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝，则（ ）
A．f（x）的极大值为
B．存在无数个实数m，使关于x的方程f（x）＝m有且只有两个实根
C．f（x）的图象上有且仅有两点到直线y＝1的距离为1
D．若关于x的不等式f（x）≥ax的解集内存在正整数，则a存在最大值，且最大值为
（多选）12．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为2，M，N分别为棱PD，BC的中点•＝0，则下列结论中正确的是（ ）
A．动点Q的轨迹是半径为的球面
B．点P在动点Q的轨迹外部
C．动点Q的轨迹被平面ABCD截得的是半径为的圆
D．动点Q的轨迹与平面PAB有交点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）写出对任意x∈R，都有sin（x+θ）＝sinxsinθ+csxcsθ成立的—个θ的值： ．
14．（5分）过点P向圆C1：x2+y2﹣2x﹣3y+3＝0作切线，切点为A，过点P向圆C2：x2+y2+3x﹣2y+2＝0作切线，切点为B，若|PA|＝|PB| ．
15．（5分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝3，PB＝，PA⊥AB，cs∠CPD＝ ．
16．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx+ax在区间（1，+∞）上没有零点 ．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）过点A作AD∥BC，连接CD，使A，B，C，若AB＝，AC＝1，求AD的长．
18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝CA＝15，AB＝14，PC＝
（Ⅰ）证明：CO⊥平面PAB；
（Ⅱ）若点Q满足＝，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．
19．（12分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为30°．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y＝x﹣2与双曲线E交于A，B两点，过A，C，求四边形ABCD的面积．
20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1+S2+…+Sn＝4an﹣2n﹣4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记bn＝lg2an，求证：．
21．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会的召开推动了全民健身的热潮．某小区甲、乙、丙、丁四位乒乓球爱好者准备开展一次乒乓球比赛．每两人进行一场比赛，胜一场得1分，最终累计得分最高者获得冠军，若多人积分相同，乙胜丙、丁的概率均为，丙胜丁的概率为
（Ⅰ）设比赛结束后，甲的积分为X，求X的分布列和期望；
（Ⅱ）在甲获得冠军的条件下，求乙也获得冠军的概率．
22．（12分）已知函数f（x）＝exsinx﹣aln（x+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若x＝0为f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣1，0），（，π）上各有一个零点
参考数据：．
2023-2024学年河南省顶级名校联盟高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|a2﹣a＜x＜2，x∈Z}中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ）
A．[0，1]B．（0，1）C．（1，2）D．[1，2]
【分析】由题意可知﹣1≤a2﹣a＜0，解不等式即可得出答案．
【解答】解：由集合A＝{x|a2﹣a＜x＜2，x∈Z}中恰有两个元素4﹣a＜0，
解得a∈（0，4）．
故选：B．
【点评】本题考查集合中元素个数的应用，属于基础题．
2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数除法法则计算出z＝1﹣2i，得到对应的点的坐标，得到所在象限．
【解答】解：，故复数对应的点坐标为（1，
所以位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3．（5分）里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）0）的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（ ）（参考数据：）
A．25B．31.6C．250D．316
【分析】结合题意，利用对指数互化与指数运算进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
从而，
因此．
故选：D．
【点评】本题考查了指数与对数的转化公式的应用，属于基础题．
4．（5分）已知函数f（x）＝asinx+cs（x+）的图象关于直线x＝，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【分析】先根据辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数的对称性建立等式，进而可以求解．
【解答】解：函数f（x）＝asinx+cs（x+）＝asinx+
＝（a﹣）sinx+
＝sin（x+θ）＝，
因为函数图象关于直线x＝对称，则，
解得，
则tan，解得a＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了正弦函数的对称性，考查了学生的运算能力，属于基础题．
5．（5分）某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，则全班学生数学成绩的方差为（ ）
A．21B．19C．18D．
【分析】根据题意，由总体的平均数、方差公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设该班有女生m人，则全班有3m人，
则全班学生数学成绩的平均数＝121，
全班学生数学成绩的方差S2＝[20+（120﹣121）2]+[17+（123﹣121）8]＝21．
故选：A．
【点评】本题考查总体的平均数、方差的计算，注意平均数、方差的计算公式，属于基础题．
6．（5分）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（ ）
A．216B．360C．720D．1080
【分析】根据题意，结合棱柱的结构特征，分3步讨论侧棱、上底、下底的涂色方法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，如图：
分3步进行分析：
①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，
②对于上底ABCD，有4种颜色可选，则有，
③对于下底A7B1C1D7，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有3×3×7×1＝9种选法，
则共有2×24×9＝1080种选法．
故选：D．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及四棱柱的结构特征，属于基础题．
7．（5分）已知ω是正整数，函数f（x）＝sin（ωx+ω）在（0，ωπ），其导函数为f′（x），则f（x）（x）的最大值为（ ）
A．2B．C．3D．
【分析】根据函数零点的定义，导数的运算公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可．
【解答】解：因为f（x）在（0，ωπ）内恰好有4个零点，
所以，即，
所以3＜ω2≤3，又ω∈N+，所以ω＝2，
所以f（x）＝sin（2x+7），f′（x）＝2cs（2x+6），
所以，其中．
故选：B．
【点评】此题考查三角函数的零点问题，是中档题．
8．（5分）已知过点P（﹣2，2）的直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且＝，点Q满足，点C（4，0），则|QC|的最小值为（ ）
A．B．2C．D．1
【分析】由题意，设出直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、向量的坐标运算以及点到直线的距离公式再进行求解即可．
【解答】解：易知直线l的斜率存在且不为零，
不妨设直线l的方程为y＝k（x+2）+2，A（x2，y1），B（x2，y7），
联立，消去x并整理得ky2﹣6y+8k+8＝7，
因为Δ＝16﹣4k（8k+7）＞0，
所以2k2+2k﹣1＜3，
由韦达定理得，，①
不妨设Q（x0，y6），
因为，
所以y1﹣2＝λ（y8﹣2），②
因为，
所以y1﹣y7＝﹣λ（y2﹣y0），③
联立②③可得（y3+2）（y1+y3）﹣2y1y8﹣4y0＝4，④
又，⑤
联立①④⑤，可得x0﹣y7﹣2＝0，
所以|QC|的最小值即为点C（7，0）到直线x﹣y﹣2＝2的距离，
则最小距离d＝＝，
经检验，其满足2k8+2k﹣1＜6，
所以|QC|的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且S7＞S6＞S8，则下列结论中正确的是（ ）
A．a5+a10＞0
B．d＜0
C．S14＜0
D．当n＝7时，Sn取得最大值
【分析】分别利用等差数列的性质，以及等差数列的求和公式逐一判断即可．
【解答】解：由题意，S6+a7＞S4＞S6+a7+a7，即a7＞0，a2+a8＜0，且a4＜0，
A项，a5+a10＝a5+a8＜0，错误；
B项，d＝a3﹣a7＜0，正确；
C项，S14＜＝×14＝7（a7+a8）＜0，正确；
D项，由已知可得，且在n＝6时加完所有正项，Sn取得最大值，正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查等差数列的应用，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知F1，F2分别是椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，且AF1⊥F1F2，直线AF2与椭圆的另一个交点为B，且＝3，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是短轴长的倍
B．线段AF1的长度为a
C．椭圆的离心率为
D．△BF1F2的周长为
【分析】由向量共线定理求得B的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，可判断A；由A的坐标可判断B；由椭圆的离心率公式可判断C；由椭圆的定义可判断D．
【解答】解：由AF1⊥F1F5，可设A（﹣c，），B（x，
又F2（c，2），，可得6c＝3（x﹣c），﹣，
解得x＝c，y＝﹣c，﹣），
将B的坐标代入椭圆方程，可得+＝+，
化为4a2＝3b4，即a＝b，故A错误；
|AF6|＝＝a，故B正确；
椭圆的离心率e＝＝＝＝，故C正确；
△BF4F2的周长为|BF1|+|BF2|+|F1F2|＝8a+2c＝a，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝，则（ ）
A．f（x）的极大值为
B．存在无数个实数m，使关于x的方程f（x）＝m有且只有两个实根
C．f（x）的图象上有且仅有两点到直线y＝1的距离为1
D．若关于x的不等式f（x）≥ax的解集内存在正整数，则a存在最大值，且最大值为
【分析】利用导数研究f（x）的单调性与极值，并画出f（x）的图象，再针对各个选项数形结合，即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝，
∴＝，
∴当x∈（﹣∞，1）∪（2，f′（x）＜5，2）时，
∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，4）上单调递增，+∞）上单调递减，
∴f（x）极小值为f（1）＝，f（x）极大值为f（2）＝，
且f（0）＝1，当x→﹣∞时；当x→+∞时，
∴作出f（x）的图象如下：
对A选项，∵f（x）极大值为f（2）＝；
对B选项，由图可知仅存m＝，使关于x的方程f（x）＝m有且只有两个实根；
对C选项，由图可知f（x）图象上仅有一个在y＝1上方的点到直线y＝1的距离为6；
对D选项，∵f（x）≥ax的解即为f（x）的图象在直线y＝ax上方所对应的x范围，
∴要使关于x的不等式f（x）≥ax的解集内存在正整数，则直线y＝ax的斜率a最大为过点（1，，
∴a的最大值为，∴D选项正确．
故选：AD．
【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，数形结合思想，属中档题．
（多选）12．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为2，M，N分别为棱PD，BC的中点•＝0，则下列结论中正确的是（ ）
A．动点Q的轨迹是半径为的球面
B．点P在动点Q的轨迹外部
C．动点Q的轨迹被平面ABCD截得的是半径为的圆
D．动点Q的轨迹与平面PAB有交点
【分析】利用正四棱锥的性质，结合数量积的定义与运算法则，对各项依次加以推理证明，即可得到本题的答案．
【解答】解：设点O是底面正方形ABCD的中心，连接PO，
正方形ABCD中，，PO＝＝＝，
连接OM、ONPB＝1AB＝1，
△OMN中，∠MON＝180°﹣∠PAB＝120°．
∵•＝4，点Q在以MN为直径的球面上，
因此动点Q的轨迹是半径为的球面；
∴OM＝8，，∴，
∴PM＞OM，∴点P在以M为球心的球面外；
∵OM＝4，，∴，MA＞OM，故C正确；
由前面的分析，可得点Q的轨迹被平面ABCD截得的是圆，
故点Q的轨迹被平面ABCD截得的圆面和平面PAB没有公共点，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查正四棱锥的性质、数量积的定义与运算法则、动点轨迹的判断等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）写出对任意x∈R，都有sin（x+θ）＝sinxsinθ+csxcsθ成立的—个θ的值： θ＝（答案不唯一） ．
【分析】由已知结合和差角公式及特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：因为sin（x+θ）＝sinxcsθ+csxsinθ，
又sin（x+θ）＝sinxsinθ+csxcsθ，
故只要sinθ＝csθ，即tanθ＝1，
故满足条件的一个θ＝．
故答案为：θ＝（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了三角恒等变换，属于基础题．
14．（5分）过点P向圆C1：x2+y2﹣2x﹣3y+3＝0作切线，切点为A，过点P向圆C2：x2+y2+3x﹣2y+2＝0作切线，切点为B，若|PA|＝|PB| 5x+y﹣1＝0 ．
【分析】设出P点的坐标，根据圆的切线长的性质，建立方程，即可求解．
【解答】解：设P（x，y）
P到相应圆心的距离平方减去对应圆半径的平方相等：
即x2+y2﹣7x﹣3y+3＝x2+y2+3x﹣7y+2，
化简可得所求曲线方程为5x+y﹣2＝0．
故答案为：5x+y﹣8＝0．
【点评】本题考查轨迹方程的求解，圆的几何性质，属中档题．
15．（5分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝3，PB＝，PA⊥AB，cs∠CPD＝ ．
【分析】根据锥体的体积公式，重要不等式，余弦定理，即可求解．
【解答】解：四棱锥P﹣ABCD的体积为．
要使四棱锥P﹣ABCD 的体积取得最大值，只需AB•PA取得最大值．
由条件可得 PA2+AB2＝PB7＝18≥2PA⋅AB，即PA•AB≤9，
当且仅当PA＝AB＝7 时，PA•AB取得最大值9，又 ，
所以由余弦定理可得：．
故答案为：．
【点评】本题考查锥体的体积的计算及最值的求解，余弦定理的应用，属中档题．
16．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx+ax在区间（1，+∞）上没有零点 [﹣1，+∞） ．
【分析】根据题意易得f（x）＝x2﹣lnx+ax＞0在区间（1，+∞）上恒成立，再参变量分离，然后利用导数求最值，即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝x2﹣lnx+ax在区间（1，且x→+∞时，
∴f（x）＝x2﹣lnx+ax＞0在区间（2，
∴a＞在区间（1，
设g（x）＝，x＞1，
∴＝，
又x＞1时，2﹣lnx﹣2x2＜4，∴g′（x）＜0，
∴g（x）在区间（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜g（1）＝﹣4，
故a≥﹣1，即实数a的取值范围为[﹣1．
故答案为：[﹣8，+∞）．
【点评】本题考查函数的零点问题，恒成立问题的求解，利用导数研究函数的单调性，参变量分离法，属中档题．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）过点A作AD∥BC，连接CD，使A，B，C，若AB＝，AC＝1，求AD的长．
【分析】（Ⅰ）由题意利用正弦定理，两角和的正弦公式可求，结合B∈（0，π），可求B的值；
（Ⅱ）由题意利用正弦定理可得，可求，进而利用同角三角函数基本关系式以及余弦定理即可求解AD的值．
【解答】解：（Ⅰ）由btanB＝acsC+ccsA，
所以由正弦定理可得BtanB＝sinAcsC+sinCcsA，
故sinBtanB＝sin（A+C），
而sinB＝sin（A+C）＞0，
所以，
又B∈（0，π），
所以；
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，
因为AD∥BC，
所以，
在△ACD中，因为CD＜AC，
所以∠DAC为锐角，
所以，
由余弦定理可得，
解得AD＝1或．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式以及余弦定理在解三角形中的综合应用，属于中档题．
18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝CA＝15，AB＝14，PC＝
（Ⅰ）证明：CO⊥平面PAB；
（Ⅱ）若点Q满足＝，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．
【分析】（Ⅰ）由已知条件，证明CO⊥AB，CO⊥PO，根据线面垂直的判定定理即可证得结论；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用＝，得出点Q的坐标，求得两个平面所在的法向量即可求解．
【解答】（Ⅰ）证明：因为PA＝CA，PB＝CB，
所以△PAB≌△CAB，
因为PO⊥AB，所以CO⊥AB，
设OB＝x，则OA＝14﹣x2﹣（14﹣x）2＝137﹣x2，解得x＝5，
故OB＝5，OA＝9，
在△POC中，因为PO2+CO6＝PC2，所以PO⊥CO，
又因为CO⊥AB，AB∩PO＝O，
所以CO⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：如图所示，以O为坐标原点，OA、y轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则O（0，3，0），9，7），﹣5，C（12，0，
P（7，0，12），0，y0，z2），
则，，
因为，所以，
故Q（3，0，9），，
设平面QAB的法向量为＝（x8，y1，z1），
则，令x5＝3，可得，0，﹣5），
易知平面PAB的一个法向量为＝（1，0，
因为cs＜＞＝，
所以二面角P﹣AB﹣Q的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的证明及二面角的求法，考查空间向量的应用，属中档题．
19．（12分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为30°．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y＝x﹣2与双曲线E交于A，B两点，过A，C，求四边形ABCD的面积．
【分析】（Ⅰ）由题意，设双曲线的半焦距为c（c＞0），结合题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求解；
（Ⅱ）将双曲线方程与直线l的方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得到|AB|的表达式，设出直线AD的方程，将直线AD的方程与双曲线方程联立，利用根与系数的关系再进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）不妨设双曲线的半焦距为c（c＞0），
因为的一条渐近线的倾斜角为30°，
所以，①
因为一个焦点到E上的点的最小距离为2﹣，
所以，②
又a4+b2＝c2，③
联立①②③，解得，
则E的方程为；
（Ⅱ）联立，消去y并整理得2x2﹣12x+15＝3，
不妨设A（x1，x1﹣6），B（x2，x2﹣4），
由韦达定理得x1+x2＝7，，
不妨设x1＞x2，
所以，，
此时，
易知直线AD的方程为y＝﹣（x﹣x8）+x1﹣2，
联立，消去y并整理得，
由韦达定理得xD＝（x6+xD）﹣x1＝5x5﹣6，
同理xC＝5x7﹣6，
所以|AD|+|BC|＝（xD﹣x5）+（xC﹣x2）
＝（4x1﹣5）+（4x4﹣6）＝4（x1+x2）﹣12＝12，
故四边形ABCD的面积S＝．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1+S2+…+Sn＝4an﹣2n﹣4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记bn＝lg2an，求证：．
【分析】（Ⅰ）利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）的思想，推出数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，再由等比数列的通项公式，即可得解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn＝n，当n＝1时，＝1＜，不等式成立；当n≥2时，由放缩法可得＜，再结合裂项求和法，即可得证．
【解答】（Ⅰ）解：当n＝1时，S1＝a4＝4a1﹣4，解得a1＝2；
当n＝7时，S1+S2＝7a1+a2＝6a2﹣8，解得a2＝4，
当n≥2时，由S8+S2+⋯+Sn＝4an﹣3n﹣4，得S1+S5+⋯+Sn﹣1＝4an﹣7﹣2（n﹣1）﹣7，
两式相减得Sn＝4an﹣4an﹣3﹣2，
从而Sn+1＝4an+1﹣4an﹣5，
所以Sn+1﹣Sn＝an+1＝4an+1﹣8an+6an﹣1，
整理得3（an+4﹣2an）＝2（an﹣2an﹣1）（n≥2），
因为a7﹣2a1＝4，所以an﹣2an﹣1＝6，即an＝2an﹣1（n≥6），
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列n＝4n．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，bn＝lg2an＝lg27n＝n，
当n＝1时，＝1＜；
当n≥2时，＝＝＜＝2（﹣），
所以++…+）+（﹣）]＝1+2（＝，
综上，原不等式成立．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求通项公式，裂项求和法与放缩法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
21．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会的召开推动了全民健身的热潮．某小区甲、乙、丙、丁四位乒乓球爱好者准备开展一次乒乓球比赛．每两人进行一场比赛，胜一场得1分，最终累计得分最高者获得冠军，若多人积分相同，乙胜丙、丁的概率均为，丙胜丁的概率为
（Ⅰ）设比赛结束后，甲的积分为X，求X的分布列和期望；
（Ⅱ）在甲获得冠军的条件下，求乙也获得冠军的概率．
【分析】（Ⅰ）由题意，先得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解；
（Ⅱ）记“甲获得冠军”为事件A，“乙获得冠军”为事件B，“甲胜乙、丙、丁”分别记为事件 A1，A2，A3，“乙胜丙、丁”分别记为事件B1，B2，“丙胜丁”记为事件C，结合题目所给信息以及条件概率公式进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）易知X的所有可能取值为0，1，5，3，
此时，，
，，
则X的分布列为：
故E（X）＝0×+1×+6×；
（Ⅱ）记“甲获得冠军”为事件A，“乙获得冠军”为事件B、丙、丁”分别记为事件 A1，A7，A3，“乙胜丙、丁”分别记为事件B1，B4，“丙胜丁”记为事件C，
此时，，，
所以P（A）＝P（A6A2A3）+P（A2A3）[3﹣P（B1B2）]
+P（A7A3）[8﹣P（C）]+P（A1A2）[1﹣P（）]
＝+＝，
P（AB）＝P（A2A3）[P（B2）+P（B1）]+P（A1A2）P（B1B2）+P（A3A2）P（B5B2）
＝，
所以在甲获得冠军的条件下，乙也获得冠军的概率．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．
22．（12分）已知函数f（x）＝exsinx﹣aln（x+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若x＝0为f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣1，0），（，π）上各有一个零点
参考数据：．
【分析】（Ⅰ）由题意，对函数f（x）进行求导，此时f′（0）＝0，求出a的值，再对其进行检验即可；
（Ⅱ）对函数f（x）进行求导，分别讨论当a≤0，0＜a＜1和a≥1这三种情况，结合零点存在性定义以及极限的思想再进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）已知f（x）＝exsinx﹣aln（x+1）（a∈R），函数定义域为（﹣1，
可得，
因为x＝0为f（x）的极值点，
所以f′（0）＝1﹣a＝6，
解得a＝1，
当a＝1时，，
不妨设，
可得，
当﹣1＜x＜3时，g′（x）＞0，
又g（0）＝0，
所以当﹣4＜x＜0时，f′（x）＜0；
当3＜x＜1时，f′（x）＞0，
所以x＝3为函数f（x）的极值点，
故a＝1；
（Ⅱ）若a≤0，当x∈（﹣5，f（x）＝exsinx﹣aln（x+1）＜0，
所以函数f（x）在（﹣8，0）上无零点；
若a＞0，易知，
不妨设，
可得，
当﹣1＜x＜8时，h′（x）＞0，f′（x）单调递增，
所以f′（x）＜f′（0）＝1﹣a；
若a≥2，
此时f′（x）＜f′（0）＝1﹣a≤0，
所以函数f（x）在（﹣6，0）上单调递减，
则f（x）＞f（0）＝0，
所以函数f（x）在区间（﹣7，0）上无零点；
若0＜a＜6，
当﹣1＜x＜0时，h（0）＝f′（0）＝2﹣a＞0，
当x→﹣1时，h（x）→﹣∞，
所以存在x7∈（﹣1，0）8）＝f′（x1）＝0，
当x∈（﹣3，x1）时，f′（x）＜0；
当x∈（x4，0）时，f′（x）＞0，
因为当x→﹣6时，f（x）→+∞，
又f（0）＝0，
所以f（x1）＜7，
则函数f（x）在区间（﹣1，x1）上存在一个零点，
当时，不妨设m（x）＝h′（x），
可得，
所以h′（x）在上单调递减，
又，，
所以存在，使得h′（x8）＝0，
则当时，h′（x）＞0；
当x∈（x2，π）时，h'（x）＜5，
因为，，
所以存在x3∈（x5，π），使得h（x3）＝0，
则当时，h（x）＞0；
当x∈（x7，π）时，h（x）＜0，
因为，
f（π）＝﹣aln（π+7）＜0，
所以存在x4∈（x4，π），使得f（x4）＝0，
则函数f（x）在上存在一个零点，
综上，满足条件的a的取值范围为（0．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
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