山东省淄博第四中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份山东省淄博第四中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了已知命题，已知，，且，则的最小值为，设是定义在上的奇函数，则，定义在上的函数满足以下条件，已知函数，则不等式的解集是等内容，欢迎下载使用。

一.选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A.B.C.D.
2.已知命题：，，那么命题的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：
①是的充要条件；②是的充分不必要条件；
③是的必要不充分条件；④是的充分不必要条件.
正确的命题序号是（ ）
A.①④B.①②C.②③D.③④
4.已知，，且，则的最小值为（ ）
A.4B.6C.8D.12
5.已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A.B.
C.D.
6.设是定义在上的奇函数，则（ ）
A.B.C.D.
7.定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（ ）
A.B.
C.D.
8.已知函数，则不等式的解集是（ ）
A.B.C.D.
二.多选题（共4小题）
9.下列四组函数中，与表示同一函数是（ ）
A.，
B.，
C.，
D.，
10.函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（ ）
A.B.，
C.有最大值D.最小值为0
11.定义在上的函数满足，为偶函数，则（ ）
A.B.
C.D.
12.已知函数的图象关于对称，且对，，当，且时，成立，若对任意恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A.B.C.0D.1
三.填空题（共4小题）
13.已知在区间单调递减，则实数的取值范围是______.
14.已知集合，函数.若命题“存在，使得”为假命题，则实数的取值范围______.
15.已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是______.
16.设定义在上的函数在单调递减，且为偶函数，若，，，且有，则的最小值为______.
四.解答题（共6小题）
17.（1）求值：；
（2）已知，求的值.
18.求下列函数的解析式
（1）若，求；
（2）已知是一次函数，且，求
19.设命题：实数满足，命题：实数满足.
（1）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围：
（2）若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
20.已知函数是奇函数
（1）求的值，判断的单调性并说明理由；
（2）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围.
21.某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
（1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
22.已知定义在上的函数满足对任意的实数，均有，且，当时，.
（1）判断的奇偶性；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（3）若对任意，，总有恒成立，求实数的取值范围。
淄博四中2023级高一上学期期中考试
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题）
1.【分析】根据图形得到阴影部分表示的集合为与的交集，即为集合与中不等式的公共部分，即可求解结论.
【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于且属于的元素构成，
所以用集合表示为.
故选：C.
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础
2.【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解。
【解答】解：命题：，
那么命题的否定是，
故选：D.
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.
3.【分析】由充分必要条件的定义和传递性，可得结论。
【解答】解：由是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，
可得，推不出，，，
所以，故是的充要条件，①正确；
，推不出，故是的充分不必要条件，②正确；
，故是的充要条件，③错误；
，故是的充要条件，④错误.
故选：B
【点评】本题考查充分必要条件的判定，以及传递性的运用，考查推理能力，属于基础题.
4.【分析】依题意，得，利用基本不等式可得，解之可得答案.
【解答】解：∵，，且，
∴，当且仅当时取等号，
整理得：，
解得或（舍），
∴的最小值为4.
故选：A.
【点评】本题考查了基本不等式及其应用，考查转化思想与运算能力，属于基础题.
5.【分析】根据不等式的解集，利用不等式与对应方程的关系求出、的值，再代入不等式中，化简后求出解不等式的解集即可.
【解答】解：不等式的解集是，
所以和是对应方程的两根，
由根与系数的关系知，
解得，；
所以不等式可化为
即，
解得，
所以所求不等式的解集是.
故选：A.
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题.
6.【分析】根据题意，由奇函数的性质求出的值，即可得函数的解析式，将的值代入解析式计算可得答案.
【解答】解：根据题意，是定义在上的奇函数，
则，必有；
则，.
故选：C.
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题.
7.【分析】根据题设知为偶函数且在上单调递增，利用奇偶性、单调性比较函数值大小即可.
【解答】解：由题设为偶函数且在上单调递增，
所以，即.
故选：A.
【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性，考查转化思想，是基础题
8.【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
故选：A.
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题.
二.多选题（共4小题）
9.【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则一致时，两个函数表示同一函数，直接判断各选项即可.
【解答】解：对于A，的定义域是，的定义域是，
故A中与不表示同一函数；
对于B，，的定义域和对应法则都相同，
故B中与表示同一函数；
对于C，的定义域为，的定义域是，
故C中与不表示同一函数；
对于D，的定义域是，的定义域是，
故D中与不表示同一函数.
故选：B.
【点评】本题考查同一函数的判断，考查函数的定义域、对应法则等基础知识，属于基础题.
10.【分析】转化为分段函数求出的解析式，根据解析式结合二次函数及一次函数的单调性确定各选项即可得解.
【解答】解：令，即，解得或，
所以可知，
作出的图象，如图所示：
所以，故A错误；
当时，，故B正确：
由（或）可知，函数无最大值，故C错误；
当或时，，当时，，
所以最小值为0，故D正确.
故选：BD.
【点评】本题属于新概念题，考查了一次函数、二次函数的性质，也考查了数形结合思想，属于中档题.
11.【分析】根据题，得出函数为奇函数，由为偶函数，得出，从而得出该函数是周期函数，从而判断出选项.
【解答】解：∵定义在上的函数满足，
∴函数是奇函数，
∵为偶函数，
∴，
∴函数
，
∴函数是周期函数，周期是4，
故A，错误，B，C正确，
对于D：不一定是0，故D错误.
故选：BC.
【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的综合应用，属中档题.
12.【分析】由题意得函数为偶函数，且在上为单调递增函数，题意转化为对任意恒成立，分类讨论当时，得到，利用基本不等式，当时，符合题意，即可得出答案.
【解答】解：∵函数的图象关于对称，
∴函数的图象关于对称，即函数为偶函数，
又当，且时，成立，
∴函数在上为单调递增函数，
又对任意恒成立，则对任意恒成立，
当时，恒成立；
当时，，
∵，当且仅当时，即时，等号成立，
∴，即实数的取值范围为，故A错误，B、C、D正确.
故选：BCD.
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
三.填空题（共4小题）
13.
【分析】由题意分类讨论分，，，求出对称轴，结合区间，即可得到不等式，解不等式即可得到所求范围。
【解答】解：因为函数在区间上单调递减，
①若，则只需函数的对称轴，解得；
②若，在区间上单调递减；
③若，则只需函数的对称轴，显然成立.
综上可知实数的取值范围是：.
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，考查分类讨论思想方法，注意运用单调性，区间和对称轴的关系，考查运算能力，属于中档题.
14..
【分析】根据题意，分析可得命题，为真命题，求出集合，不等式变形可得，结合基本不等式求出在区间上的最小值，分析可得答案.
【解答】解：根据题意，若命题“存在，使得”为假命题，
则其否定：，为真命题，
又由集合，则在区间上恒成立，
对于，由于，则有，
而，当且仅当时等号成立，即在区间上的最小值为2，
必有，即，
故的取值范围为.
故答案为：.
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及二次函数的性质，属于基础题.
15.【分析】判断当时，单调递减，故根据分段函数在上单调递减，列出相应的不等式，解得答案.
【解答】解：因为当时，单调递减，
∵在上递减，
∴且，
解得.
所以实数的取值范围为.
【点评】本题考查了分段函数的单调性，属于中档题.
16..
【分析】由已知可得的图象关于对称，在单调递增，从而可得，进而利用基本不等式求解的最小值.
【解答】解：因为为偶函数，所以的图象关于对称，
又定义在上的函数在单调递减，
所以在单调递增，
若，，，且有，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点评】本题主要考查函数奇偶性的综合，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题.
四.解答题（共6小题）
17.【分析】（1）利用指数与对数运算法则即可得出结论；
（2）由，利用乘法公式可得，，由展开即可得出.
【解答】解：（1）原式；
（2）∵，
∴，
，
，
∴，
∴.
【点评】本题考查了指数与对数运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
18.【分析】（1）利用配凑法、换元法，可得函数解析式；
（2）利用待定系数法即可得到结论.
【解答】解：（1）法1：，∴；
法2：设，则，
∴；
（2）∵是一次函数，∴设，
则，
则，
若，则，若，则，
即或.
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用配凑法、换元法、待定系数法是解决本题的关键.
19.【分析】（1）根据集合的包含关系求解；
（2）将必要不充分条件转换为集合的真包含关系求解.
【解答】解：（1）因为命题“，”是真命题，所以，
所以，即，解得，即实数的取值范围是.
（2）命题是命题的必要不充分条件，所以是的真子集，
若，满足条件，此时，即.
若，则，即，
因为是的真子集，所以，即，
解得，
经检验时，满足是的真子集，
综上，实数的取值范围是.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为集合关系进行求解是解决本题的关键，是中档题.
20.【分析】（1）由函数为奇函数，，求的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性；
（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在上恒成立，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数的取值范围.
【解答】解：（1）函数的定义域为，且是奇函数，
所以，即，解得，即，
此时，满足题意.
，
则是上的单调递增函数，理由如下：
任取，且，则，
则，
所以，即，
所以是定义域上的单调递增函数.
（2）是奇函数且在上单调递增，则不等式等价于，
所以，即，
即对任意的，不等式恒成立，即在上恒成立，
由，可得，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
即实数的取值范围是.
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的判断，也考查了不等式恒成立问题，是中档题.
21.【分析】（1）根据已知条件求得分段函数关于年产量的函数关系式；
（2）结合二次函数的性质、基本不等式求出的最大值，再取两者的较大值即可.
【解答】解：（1）根据题意，每生产（千部）手机，所获的销售额为万元，
所以；
（2）由（1）可知，
当时，，
所以当时，取得最大值2950，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，当时，取得最大值5792，
即当年产量为52千部时，企业所获得的利润最大，最大利润是5792万元.
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，以及基本不等式的应用，属于中档题.
22.【分析】（1）利用赋值法，令，代入恒等式中，结合奇函数的定义判断即可；
（2）利用恒等式，结合，证明当时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可；
（3）先判断得到在上为单调递增函数，求出的最值，将问题转化为对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，列出不等式组，求解即可.
【解答】解：（1）满足对任意的实数，均有，
令，则，
又
则，
所以函数为奇函数；
（2）函数在上单调递增，证明如下：
由（1）可知，，
当时，则，
所以，
从而，
设，
则，
因为，
则，
又当时，，
所以，
则，
故在上单调递增；
（3）由（1）可知，为上的奇函数，所以，
由（2）可知，当时，且单调递增，
所以在上单调递增，
所以当时，的最大值为，的最小值为，
又对任意恒成立，
则对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
令，
则恒成立，
所以，解得或，
故实数的取值范围为.
【点评】本题考查了不等式恒成立问题，函数单调性与奇偶性的判断与应用，抽象函数的理解与应用，对于抽象函数中的恒等式，一般运用赋值法进行研究，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题.