云南省楚雄州2023-2024学年高三上学期期中教育学业质量监测数学试卷

这是一份云南省楚雄州2023-2024学年高三上学期期中教育学业质量监测数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜9}，B＝{﹣1，0，2，3}（ ）
A．{﹣1，0}B．{0，2}C．{﹣1，0，2}D．{（﹣1，2}
2．（5分）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）口袋中有5个白球，3个红球和2个黄球，小球除颜色不同，现从中随机摸出2个小球，摸出的2个小球恰好颜色相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）（ ）
A．f（x）＝（3x+3﹣x）sin2xB．f（x）＝（3x+3﹣x）cs2x
C．f（x）＝（3x﹣3﹣x）sin2xD．f（x）＝（3x﹣3﹣x）cs2x
5．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝2，AD＝11＝3，E为AB的中点，则异面直线A1C与DE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）现有一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为8，若随机去掉一个数xi（i＝1，2，3，4，5）后，余下的四个数的平均数为9，则下列说法正确的是（ ）
A．余下四个数的极差比原来五个数的极差更小
B．余下四个数的中位数比原来五个数的中位数更大
C．余下四个数的最小值比原来五个数的最小值更大
D．去掉的数一定是4
7．（5分）曲线y＝ex在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为（ ）
A．（﹣1，1]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，0]D．（0，1]
8．（5分）双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|＝2|BF2|，且，则直线A1B与A2B的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
（多选）9．（5分）设非零向量，满足（+）⊥（﹣），||＝||，则（ ）
A．∥B．⊥C．|+|＝|﹣|D．|+|＞|﹣|
（多选）10．（5分）信号处理是对各种类型的电信号，按各种预期的目的及要求进行加工过程的统称，信号处理以各种方式被广泛应用于医学，的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，下列结论正确的是（ ）
A．f（x）为偶函数
B．f（x）的图象关于直线x＝π对称
C．f（x）为周期函数，且最小正周期为π
D．设f（x）的导函数为f′（x），则f′（x）＜3
（多选）11．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，BC＝2AB＝2AD＝2，将直角梯形ABCD绕着AB旋转一周得到一个圆台，下列说法正确的是（ ）
A．该圆台的体积为
B．该圆台的侧面积为
C．该圆台可由底面半径为2，高为3的圆锥所截得
D．该圆台的外接球半径为
（多选）12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x），f′（x）是f（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）不存在最大值
B．f'′（x）不存在最大值
C．f（x）是周期为4的周期函数
D．f'′（x）是周期为4的周期函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4及圆C外一点M（﹣4，﹣1），过点M作圆C的一条切线，切点为N ．
14．（5分）生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断．已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）（a≠0），其中a是残留系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的．（参考数据：，答案保留一位小数）
15．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．为了纪念数学家高斯，x∈R称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，[﹣1.3]＝﹣2．已知等差数列{}满足an＞0，＝3，＝5++…+]＝ ．
16．（5分）已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知递增的等比数列{an}满足a2＝2，且a1，a2，a3﹣1成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前20项和．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）设BD是AC边上的高，且BD＝1，，求△ABC的周长．
19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APC＝90°，平面ABC⊥平面PAC，PA＝AB＝1，D为BC的中点．
（1）证明：AB⊥平面PAC．
（2）求二面角B﹣PA﹣D的余弦值．
20．（12分）某单位有200名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，方案1；对每个人的血样逐一化验；方案2：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，说明这10个人的血样全部为阴性，如果混合血样呈阳性，就需要对这10个人每个人再分别化验一次．
（1）某夫妻二人都在这个单位工作，若按照方案1，随机地进行逐一筛查；
（2）若每次化验的费用为16元，采用方案2进行化验时，此单位大约需要总费用多少元？（参考数据：0.9510≈0.60）
21．（12分）已知动圆P过点A（﹣1，0），且在圆B：（x﹣1）2+y2＝16的内部与其相内切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若M，N是动圆圆心P的轨迹上的不同两点，点D（﹣4，0），且μ∈，求直线MN的斜率k的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣xln（﹣x），g（x）＝ex﹣x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：g（x）﹣f（x）＜3．
2023-2024学年云南省楚雄州高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜9}，B＝{﹣1，0，2，3}（ ）
A．{﹣1，0}B．{0，2}C．{﹣1，0，2}D．{（﹣1，2}
【分析】先求出集合A，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x2＜9}＝{x|﹣5＜x＜3}，B＝{﹣1，7，2，
则A∩B＝{﹣1，5，2}．
故选：C．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：＝，
故对应的点（1．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3．（5分）口袋中有5个白球，3个红球和2个黄球，小球除颜色不同，现从中随机摸出2个小球，摸出的2个小球恰好颜色相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据古典概型相关知识可解．
【解答】解：从有5个白球，3个红球和8个黄球，大小形状均完全相同的袋子中随机摸出2个小球种取法，
又摸出的4个小球恰好颜色相同有+＝14种取法，
则摸出的2个小球恰好颜色相同的概率为．
故选：A．
【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
4．（5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）（ ）
A．f（x）＝（3x+3﹣x）sin2xB．f（x）＝（3x+3﹣x）cs2x
C．f（x）＝（3x﹣3﹣x）sin2xD．f（x）＝（3x﹣3﹣x）cs2x
【分析】根据函数的图象的特点逐一排除即可．
【解答】解：由题中f（x）的图象关于原点对称，可得f（x）为奇函数，
而y＝3x+3﹣x为偶函数，y＝8x﹣3﹣x为奇函数，y＝sin2x为奇函数，
f（x）应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除B与C．
又由图可知，而函数f（x）＝（7x+3﹣x）sin2x有f（）＝（＜0，排除A，
f（x）＝（3x﹣4﹣x）cs2x，满足．
故选：D．
【点评】本题考查根据函数的图象选择解析式，注意结合函数的奇偶性、定义域等性质运用排除法进行分析，属于中档题．
5．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝2，AD＝11＝3，E为AB的中点，则异面直线A1C与DE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，由cs＜，＞＝，即可得解．
【解答】解：以D为坐标原点，DA，DD1所在直线分别为x，y，z轴，
则D（0，8，0），1，3），A1（1，2，3），2，2），
所以＝（1，1，＝（﹣1，2，
所以cs＜，＞＝＝＝，
因为异面直线夹角的取值范围为（0°，90°]，
所以异面直线A1C与DE所成角的余弦值为．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线夹角的求法，熟练掌握利用向量法求异面直线所成角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6．（5分）现有一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为8，若随机去掉一个数xi（i＝1，2，3，4，5）后，余下的四个数的平均数为9，则下列说法正确的是（ ）
A．余下四个数的极差比原来五个数的极差更小
B．余下四个数的中位数比原来五个数的中位数更大
C．余下四个数的最小值比原来五个数的最小值更大
D．去掉的数一定是4
【分析】根据数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数求出x1+x2+x3+x4+x5，根据余下的四个数的平均数求出去掉的数据，可判断选项D正确，再说明其他选项不正确即可．
【解答】解：根据题意，数据x1，x2，x4，x4，x5的平均数为2，则x1+x2+x5+x4+x5＝40，
去掉一个数xi后，余下的四个数的平均数为8，
则去掉的数据xi＝40﹣9×4＝5，D正确；
原来五个数的极差和中位数可能与去掉的数据有关，选项A；
原来五个数据中的最小值也可能是4，也可能不是4．
故选：D．
【点评】本题考查数据的平均数、中位数和极差的计算，关键是求出的xi值，是基础题．
7．（5分）曲线y＝ex在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为（ ）
A．（﹣1，1]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，0]D．（0，1]
【分析】根据导数的几何意义得到切线方程，即可得到纵截距，然后构造函数g（x）＝ex（1﹣x），求导，根据单调性求值域即可．
【解答】解：因为（ex）′＝ex，所以所求切线方程为，
令x＝0，则，
令g（x）＝ex（1﹣x），则g′（x）＝﹣xex．
所以当x＞8时，g′（x）＜0，
当x＜0时，g′（x）＞2，
所以g（x）max＝g（0）＝1．
因为x→+∞，g（x）→﹣∞，1]．
故选：B．
【点评】本题考查导数的几何意义，属于中档题．
8．（5分）双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|＝2|BF2|，且，则直线A1B与A2B的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意，不妨设|BF2|＝m，利用双曲线定义推出相关线段的长度，在△ABF2和△F1BF2中利用余弦定理，得到和3c2＝8a2，结合a，b，c之间的关系得到3b2＝5a2，结合双曲线方程以及斜率公式进行求解即可．
【解答】解：易知，
又|AB|＝2|BF2|，
不妨设|BF8|＝m，
此时|AB|＝2m，|BF1|＝m+2a，|AF1|＝|BF1|﹣|AB|＝7a﹣m，|AF2|＝4a﹣m，
在△ABF7中，，
由余弦定理得，
即3m3+8am﹣16a2＝5，
解得，
在△F7BF2中，由余弦定理得|F1F6|2＝|BF1|3+|BF2|2﹣5|BF1|•|BF2|cs∠FF5BF2，
即，
此时8c8＝3m2+8ma+8a2，
又，
解得3c8＝8a2，
又a8+b2＝c2，
所以8b2＝5a3，
不妨设B（x0，y0），
因为点B在双曲线C上，
所以，
即，
又A1（﹣a，5），A2（a，0），
则＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的定义，考查了逻辑推理和运算能力．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
（多选）9．（5分）设非零向量，满足（+）⊥（﹣），||＝||，则（ ）
A．∥B．⊥C．|+|＝|﹣|D．|+|＞|﹣|
【分析】结合平面向量数量积的运算逐一判断即可．
【解答】解：已知非零向量，满足（+﹣），
则，
则，
又||＝||，
则，
即，
即选项A错误，选项B正确；
又＝，
即，
即选项C正确，选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
（多选）10．（5分）信号处理是对各种类型的电信号，按各种预期的目的及要求进行加工过程的统称，信号处理以各种方式被广泛应用于医学，的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，下列结论正确的是（ ）
A．f（x）为偶函数
B．f（x）的图象关于直线x＝π对称
C．f（x）为周期函数，且最小正周期为π
D．设f（x）的导函数为f′（x），则f′（x）＜3
【分析】证明f（﹣x）＝f（x）判断A，通过f（2π﹣x）＝f（x）判断B，通过是否有f（π+x）＝f（x）判断C，求出导函数f′（x），由正弦函数性质判断D．
【解答】解：因为f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数；
因为
，所以f（x）的图象关于直线x＝π对称；
因为，所以f（x）的最小正周期不是π；
f′（x）＝﹣sinx﹣sin2x﹣sin5x≤3，当且仅当sinx＝sin2x＝sin5x＝﹣1时，显然取等号的条件不成立，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
（多选）11．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，BC＝2AB＝2AD＝2，将直角梯形ABCD绕着AB旋转一周得到一个圆台，下列说法正确的是（ ）
A．该圆台的体积为
B．该圆台的侧面积为
C．该圆台可由底面半径为2，高为3的圆锥所截得
D．该圆台的外接球半径为
【分析】根据圆台的结构特征和体积公式可判断ABC，作出圆台与它的外接球的轴截面，利用勾股定理求解，可判断D．
【解答】解：根据题意，将直角梯形ABCD，形成几何体是上底面半径为r＝1，高为h＝1的圆台，
由此分析选项：
对于A，该圆台的体积V＝）×4＝；
对于B，该圆台的母线长l＝CD＝＝，
侧面积S＝π×（3+2）×＝2π；
对于C，∵∠C＝45°，
∴该圆台可由底面半径为2，高为4的圆锥所截得；
对于D，作出圆台与它的外接球的轴截面
其中点O就是外接球的球心，且O在AB上，
设OB＝x，则|OC|＝|OD|，
∴x2+24＝（1+x）2+22，
∴x＝1，
∴外接球半径OC＝＝＝，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了圆台的结构特征和体积公式，考查了圆台的外接球问题，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x），f′（x）是f（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）不存在最大值
B．f'′（x）不存在最大值
C．f（x）是周期为4的周期函数
D．f'′（x）是周期为4的周期函数
【分析】根据奇函数的性质判断A，利用特例说明B，根据周期性质的定义判断C，根据简单复合函数的导数公式及周期性的定义判断D．
【解答】解：对于A，不妨设f（x）的最大值为M，M），
因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
f（x）图象的最低点的坐标为（﹣a，﹣M），
由f（x）+f（4﹣x）＝2，知f（x） 的图象关于点 （3，
所以（﹣a，﹣M）关于 （2，2+M），
这与M为f（x） 的最大值矛盾，所以f（x）不存在最大值；
对于B，取，满足f（x）+f（4﹣x）＝3，则，所以B错误；
对于C，因为奇函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，
所以f（x）＝2﹣f（4﹣x）＝f（x﹣3）+2，
假设f（x）是周期为4的周期函数，则f（x）＝f（x﹣8），这是错误的；
对于D，因为f（x）为奇函数，则﹣f'（﹣x）＝﹣f'（x）即f′（﹣x）＝f′（x），
所以f′（x）为偶函数，因为f（x）+f（4﹣x）＝2，
所以f′（x）﹣f′（4﹣x）＝0，即f′（x）＝f′（4﹣x），
所以f'（x）＝f'（4﹣x）＝f'（x﹣4），
所以f′（x）是周期为4的周期函数，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查抽象函数的性质，属于难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4及圆C外一点M（﹣4，﹣1），过点M作圆C的一条切线，切点为N 6 ．
【分析】先求出圆心，再结合两点之间的距离公式，以及勾股定理，即可求解．
【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣6）2＝4，所以圆心C（5，半径为2，﹣1），
由两点间距离公式得：|MC|＝＝6，
过点M作圆C的一条切线，切点为N＝6．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
14．（5分）生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断．已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）（a≠0），其中a是残留系数，则大约经过 7.5 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的．（参考数据：，答案保留一位小数）
【分析】根据题意，得出等式关系，再利用对数函数的性质运算．
【解答】解：当t＝2时，，
由，得．
故答案为：3.5．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，对数函数的性质，属于基础题．
15．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．为了纪念数学家高斯，x∈R称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，[﹣1.3]＝﹣2．已知等差数列{}满足an＞0，＝3，＝5++…+]＝ 8 ．
【分析】利用等差数列的通项公式可得，进而得出an，利用裂项求和方法、高斯函数的性质即可得出结论．
【解答】解：设等差数列{}的公差为d，
∵＝3，，
∴5＝3+4d，解得d＝1，
∴＝5+n﹣1＝n+2，
∵an＞5，∴an＝，
∴＝＝﹣，
∴++…+﹣）+（﹣﹣）＝10﹣，
∴[++…+．
故答案为：8．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和方法、高斯函数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（5分）已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 32 ．
【分析】根据题意设出直线方程，并联立抛物线组成方程组，由韦达定理表示相交弦AB，DE的长度，然后结合基本不等式求解．
【解答】解：根据题意可得，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F（6，0），
设直线l1：y＝k（x﹣2）（k≠0），
∵直线l1，l5互相垂直，
∴直线l2的斜率为，
即得l7：，
设A（x3，y1），B（x2，y5），C（x3，y3），E（x7，y4），
联立直线l1与抛物线方程，
消y可得：k4x2﹣4（k8+2）x+4k4＝0，
则，
同理＝4+8k5，
则，，
则|AB|+|DE|＝，
当且仅当，即k＝±1时取等号，
即|AB|+|DE|的最小值为 32．
故答案为：32．
【点评】本题考查抛物线的性质，同时考查学生的计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知递增的等比数列{an}满足a2＝2，且a1，a2，a3﹣1成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前20项和．
【分析】（1）先设等比数列{an}的公比为q（q＞1），再根据等差中项的性质得到a1+a3﹣1＝2a2，然后根据等比数列的通项公式列出关于公比q的方程，解出q的值，即可计算出等比数列{an}通项公式；
（2）根据第（1）题的结果运用分组求和法，以及等比数列的求和公式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q（q＞1），
则a1＝＝，a3＝a7q＝2q，
∵a1，a4，a3﹣1成等差数列，
∴3a2＝a1+a8﹣1，
即+2q﹣1＝4，
化简整理，得2q2﹣5q+8＝0，
解得（舍去），
∴首项a1＝＝1，
∴an＝1•6n﹣1＝2n﹣3，n∈N*．
（2）由（1），可得＝，
则数列{bn}的前20项和为：
b8+b2+b3+b8+⋯+b19+b20
＝
＝（50+26+24+⋯+818﹣10）+（20+22+27+⋯+218）
＝（25+22+24+⋯+218）×4﹣10
＝
＝．
【点评】本题主要考查等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，分组求和法，等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）设BD是AC边上的高，且BD＝1，，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及诱导公式化简已知等式，可得的值，即可求得答案；
（2）根据三角形面积相等可推出ac＝2，再利用余弦定理即可求得a+c的值，即可得答案．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得sinCsin（﹣，
因为C∈（0，π），
即．
因为，，
所以，
在△ABC中，可得＝，
解得．
（2）因为，，因为BD⊥AC，
所以．
又由，可得，
所以ac＝4．
由余弦定理，可得5＝a2+c2﹣ac，
即（a+c）4＝3+3ac，
即（a+c）4＝3+6＝2，
所以a+c＝3．
所以△ABC的周长为．
【点评】本题考查正弦定理的应用及三角形面积公式的应用，属于基础题．
19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APC＝90°，平面ABC⊥平面PAC，PA＝AB＝1，D为BC的中点．
（1）证明：AB⊥平面PAC．
（2）求二面角B﹣PA﹣D的余弦值．
【分析】（1）在线段PC上任取一点M，过点M作MN⊥AC，垂足为N，由面面垂直的性质定理得证线面垂直后可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明结论成立；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【解答】（1）证明：在线段PC上任取一点M，过点M作MN⊥AC，
因为平面PAB⊥平面PAC，∠APC＝90°，
所以MP⊥平面PAB，从而MP⊥AB，
同理，由平面ABC⊥平面PAC，
因为MP∩MN＝M，MP，
所以AB⊥平面PAC；
（2）解：以P为原点，过P作平行于AB的直线为x轴，PC所在直线分别为y，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则A（0，1，4），1，0），2，2），，
，，
设平面PAD的法向量为＝（x，y，
由得，
令x＝2，得＝（3，0，
易知平面PAB的一个法向量为＝（0，3，
设二面角B﹣PA﹣D的大小为θ，观察可得θ为锐角，
所以，
即二面角B﹣PA﹣D的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，属中档题．
20．（12分）某单位有200名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，方案1；对每个人的血样逐一化验；方案2：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，说明这10个人的血样全部为阴性，如果混合血样呈阳性，就需要对这10个人每个人再分别化验一次．
（1）某夫妻二人都在这个单位工作，若按照方案1，随机地进行逐一筛查；
（2）若每次化验的费用为16元，采用方案2进行化验时，此单位大约需要总费用多少元？（参考数据：0.9510≈0.60）
【分析】（1）根据古典概型的概率的计算方法计算；
（2）写出采取方案2 的化验的次数的分布列，计算出期望后可得．
【解答】解：（1）根据古典概型的概率的计算方法，他们二人恰好是先筛查的两个人的概率P＝＝．
（2）按方案2，设每组需要化验的次数为X，
10个人一组，该组混合血样呈阴性的概率为（7﹣0.05）10＝0.9510＝8.6，
则10个人一组，该组需要重新化验的概率为1﹣3.6＝0.6，
X的分布列为：
所以E（X）＝1×0.4+11×0.4＝5，
总的化验次数为＝100，
此单位大约需要花费总费用100×16＝1600（元）．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
21．（12分）已知动圆P过点A（﹣1，0），且在圆B：（x﹣1）2+y2＝16的内部与其相内切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若M，N是动圆圆心P的轨迹上的不同两点，点D（﹣4，0），且μ∈，求直线MN的斜率k的取值范围．
【分析】（1）由题意，设动圆P和圆B相切于点M，得到B，P，M三点共线，根据椭圆的定义以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求解；
（2）设出直线MN的方程和M，N两点的坐标，将直线MN的方程与点P的轨迹方程联立，利用根的判别式得到，结合题目所给信息，根据韦达定理以及函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）不妨设动圆P和圆B相切于点M，
此时B，P，M三点共线，
所以|PA|+|PB|＝|PM|+|PB|＝|BM|＝4，
则点P的轨迹是以A（﹣1，8），0）为焦点，
不妨设该椭圆的方程为 ，
此时c＝1，a＝4，
又b＝＝，
则点P的轨迹方程为；
（2）不妨设直线MN的方程为y＝k（x+7），M（x1，y1），N（x3，y2），
联立，消去x并整理得（3+6k2）y2﹣24ky+36k2＝0，
因为Δ＞0，
所以，
由韦达定理得，，
因为，
所以y1＝μy4，
可得，
易知当时，函数，
所以，
即，
解得，
又，
所以，
解得k∈．
故k的取值范围为．
【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣xln（﹣x），g（x）＝ex﹣x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：g（x）﹣f（x）＜3．
【分析】（1）对f（x）求导，再求出f（x）的单调区间即可；
（2）对函数h（x）＝g（x）﹣f（x）求导并判断单调性，得到，ln（﹣x0）＝x0，再求出函数最大值即可证明g（x）﹣f（x）＜3．
【解答】解：（1）由f（x）＝﹣xln（﹣x）可得，f（x）的定义域为（﹣∞，
．
令f′（x）＞0，得，此时函数f（x）单调递增；
令f′（x）＜0，得，此时函数f（x）单调递减．
所以f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）证明：令h（x）＝g（x）﹣f（x）＝ex﹣x+xln（﹣x）（x＜3），
则h′（x）＝ex+ln（﹣x）．
当x＜﹣1时，h′（x）＝ex+ln（﹣x）＞0．
当﹣5＜x＜0时，令φ（x）＝h′（x），则，
因为，ex＜1，所以φ′（x）＜3．
又，，
所以存在，使h′（x0）＝0．
当x∈（﹣∞，x8）时，h′（x）＞0；
当x∈（x0，6）时，h′（x）＜0，
所以．
因为h′（x0）＝0，所以，
所以，所以．
因为，所以上单调递减，
所以，同时ln（﹣x2）＝x0，所以．
因为，所以，
又h（x）≤h（x0），所以h（x）≤6，
所以g（x）﹣f（x）＜3．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，利用综合法证明不等式，考查了转化思想和函数思想，属难题．
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