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2023-2024学年甘肃省酒泉市四校高一上学期期中联考数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年甘肃省酒泉市四校高一上学期期中联考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∣-2A. {-2,-1,0,1}B. {-1,0,1}C. {-1,0}D. -2,-1,0
2.命题p：∃x>0，x2+3x+1<0的否定是
( )
A. ∀x≤0，x2+3x+1≥0B. ∀x>0，x2+3x+1≥0
C. ∃x>0，x2+3x+1≥0D. ∃x≤0，x2+3x+1≥0
3.函数fx= x+3x的定义域为( )
A. x∈RB. -3,+∞
C. 0,+∞D. -3,0∪0,+∞
4.已知a、b∈R，且a>b，则
( )
A. -a<-bB. a2>b2C. 1a<1bD. a>b
5.23-1+ 3-π2+2323×3814×3834=( )
A. πB. 2+πC. 4-πD. 6-π
6.某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为( )
A. 5B. 6C. 8D. 9
7.若函数fx=ax,x>1,2-ax+3,x≤1在R上为减函数，则实数a的取值范围为
( )
A. 2,52B. 0,52C. 52,+∞D. ⌀
8.设m,n∈R，定义运算“Δ”和“∇”如下：mΔn=m,m≤nn,m>n,m∇n=n,m≤nm,m>n.若正数m，n，p，q满足mn≥4,p+q≤4，则
( )
A. mΔn≥2,pΔq≤2B. m∇n≥2,p∇q≥2
C. mΔn≥2,p∇q≤2D. m∇n≥2,pΔq≤2
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知集合A=2,4,a，B=1,2,3，若A∪B=1,2,3,4，则a的取值可以是
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.下列各组函数表示同一个函数的是( )
A. y=x，y=x2xB. y=x，y= x2
C. y=x+1，y=x+1D. fx=x2+1，gt=t2+1
11.二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是
( )
A. 2a+b=0B. 4a+2b+c>0
C. a-b+c=0D. 当y>0时，-112.若函数fx满足∀x∈R，fx+1=f1-x，且∀x1,x2∈1,+∞,fx1-fx2x1-x2>0x1≠x2，则
( )
A. fx在-∞,1上单调递减
B. f-1=f3
C. f-a2+a≤f14
D. 若fm>f3，则m>3或m<-1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知函数fx=2x2-3，则ff1=_____．
14.若命题“∃0≤x≤3，x2-2x>m”为真命题，则m的取值范围为_______．
15.已知正实数m，n满足1m+8n=4，则8m+n的最小值为_______________．
16.x表示不超过x的最大整数，如3.1=3，5=5，-4.2=-5，已知0四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知全集U=x-5≤x≤5，A=x0(1)A∩B；
(2)B∪∁UA．
18.(本小题12分)
设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a<0，q：实数x满足x2+6x+8≤0．
(1)若a=-3，且p，q均成立，求实数x的取值范围；
(2)若p成立的一个充分不必要条件是q，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知幂函数fx=m2-2m-2xm-1m∈R在0,+∞上是增函数，函数y=gxx∈R为偶函数，且当x≥0时，gx=fx+3x．
(1)求函数fx的解析式；
(2)求当x<0时，函数y=gx的解析式．
20.(本小题12分)
已知函数fx=ax+b1+x2是定义在-1,1上的奇函数，且f13=310．
(1)确定函数fx的解析式并判断fx在-1,1上的单调性(不必证明)；
(2)解不等式f2x-1+f2x<0．
21.(本小题12分)
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米.
(1)设DN的长为xx>0米，试用x表示矩形AMPN的面积；
(2)当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值．
22.(本小题12分)
若函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2．
(1)讨论fx>0的解集；
(2)若a=1时，总∃x∈[13,1]，对∀m∈[1,4]，使得f1x+3-2mx≤b2-2b-2恒成立，求实数b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
由交集的定义得出即可．
【解答】
解：∵A={x|-2∴A∩B={-1,0,1}．
故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】由特称命题的否定判断．
解：由题意得 ∃x>0 ， x2+3x+1<0 的否定是 ∀x>0 ， x2+3x+1≥0 ，
故选：B
3.【答案】D
【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可．
解：由题意可得： x+3≥0x≠0 ，解得 x∈-3,0∪0,+∞ ．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】【分析】由不等式的基本性质可判断A选项；取 a=1 ， b=-2 ，可判断BCD选项．
解：对于A选项，因为 a>b ，由不等式的基本性质可得 -a<-b ，A对；
对于B选项，取 a=1 ， b=-2 ，则 a2对于C选项，取 a=1 ， b=-2 ，则 1a>1b ，C错；
对于D选项，取 a=1 ， b=-2 ，则 a故选：A．
5.【答案】A
【解析】【分析】利用指数幂的运算法则即可得解．
解： 23-1+ (3-π)2+2323×3814×3834=32+π-3+22×38=π ．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】设对两项运动都喜爱的人数为 x ，根据已知作出venn图，根据venn图列出关系式，求解即可得出答案．
解：设对两项运动都喜爱的人数为 x
根据已知作出venn图，
根据venn图可得， 21-x+x+15-x+10=38 ，
解得 x=8 ．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】根据分段函数的单调性列式求解．
解：由题意可得 a>02-a<02-a+3≥a ，解得 2所以实数a的取值范围为 2,52 ．
故选：A．
8.【答案】D
【解析】【分析】由运算“Δ”和“∇”定义，举例可判断选项A、B、C错误；由不等式的性质可证明选项D正确．
解：由运算“ Δ ”和“ ∇ ”定义知，
mΔn=m,m≤nn,m>n 表示数 m,n 较小的数， m∇n=n,m≤nm,m>n 表示数 m,n 较大的数，
当 m=1,n=5 时， mΔn=1 ，故选项A、C错误；
当 p=q=1 时， p∇q=1 ，故选项B错误；
∵ m+n≥2 mn≥4 ，且 2m∇n≥m+n ，∴ m∇n≥2 ，
∵ pq≤p+q22≤4 ， pΔq2≤pq ，∴ pΔq≤2 ，故选项D正确；
故选：D．
9.【答案】AC
【解析】【分析】根据并集的概念及运算即可得到结果．
解：∵集合 A=2,4,a,B=1,2,3 ， A∪B={1,2,3,4} ，
∴ a=1 ，或 a=3 ．
故选：AC．
10.【答案】BD
【解析】【分析】先求出各项两个函数的定义域，若定义域相同，则判断对应关系、解析式是否一致，即可得出答案．
解：对于A项，函数 y=x 的定义域为R， y=x2x 的定义域为 x|x≠0 ，
两个函数定义域不相同，故A项错误；
对于B项，函数 y=x 的定义域为R， y= x2 的定义域为R，
两个函数定义域相同，
且 x2=x ，所以两个函数相同，故B项正确；
对于C项，函数 y=x+1 的定义域为R， y=x+1 的定义域为R，
两个函数定义域相同，
但是解析式不相同，故C项错误；
对于D项，函数 fx=x2+1 的定义域为R， gt=t2+1 的定义域为R，
两个函数定义域相同，
且对应关系也一致，故D项正确．
故选：BD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】利用二次函数的图像和性质逐个选项判断即可．
解：根据图像可得， -b2a=1 ， b=-2a ，A正确；
由对称性 x=-1 和 x=3 时， y=0 ，所以 x=2 时， y>0 ，
即 4a+2b+c>0 ， a-b+c=0 ，
当 y>0 时， -1故选：ABC
12.【答案】ABD
【解析】【分析】先由题设条件得到 f(x) 在 [1,+∞) 上单调递增，且关于 x=1 对称，从而得以判断A；利用赋值法可判断B；利用函数的对称性与单调性，计算得自变量与对称轴的距离的大小关系，从而判断CD．
解：因为 ∀x1,x2∈[1,+∞),fx1-fx2x1-x2>0x1≠x2,f(x+1)=f(1-x) ，
所以 f(x) 在 [1,+∞) 上单调递增，且关于 x=1 对称，
则 f(x) 在 (-∞,1] 上单调递减，故A正确；
因为 f(x+1)=f(1-x) ，令 x=2 ，得 f(3)=f(-1) ，故B正确；
因为 -a2+a-1=a2-a+1=a-122+34≥34=14-1 ，
所以 f-a2+a≥f14 ，故C错误；
若 f(m)>f(3) ，则 |m-1|>3-1 ，解得 m>3 或 m<-1 ，故D正确．
故选：ABD．
13.【答案】-1
【解析】【分析】根据已知求出 f1 的值，代入即可得出答案．
解：由已知可得， f1=2×12-3=-1 ， f-1=2×-12-3=-1 ，
所以， ff1=-1 ．
故答案为： -1 ．
14.【答案】mm<3
【解析】【分析】根据题意，将问题转化为能成立问题，求其最大值，即可得到结果．
解：命题“ ∃0≤x≤3 ， x2-2x>m ”为真命题，即 ∃0≤x≤3 ， m设 fx=x2-2x=x-12-1 ， x∈0,3 ，
当 x=3 时， fx 取得最大值为 f3=3 ，所以 m<3 ，
即 m 的取值范围为 mm<3 ．
故答案为： mm<3
15.【答案】8
【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
解：因为 1m+8n=4 ，则 141m+8n=1 ，
所以 8m+n=141m+8n8m+n=1416+nm+64mn≥1416+2 nm⋅64mn=8 ，
当且仅当 1m+8n=4nm=64mn ，即 m=12n=4 时取等号，
所以 8m+n 的最小值为 8 ．
故答案为： 8 ．
16.【答案】3
【解析】【分析】根据已知可推得 m+20002023<1m+20012023≥1 ，进而求得 m 的范围，代入 289m ，求出整数部分，即可得出答案．
解：因为 0≤m+12023≤m+22023≤m+32023≤⋅⋅⋅≤m+20222023≤1 ，
且每一项都是整数，
又 m+12023+m+22023+m+32023+⋅⋅⋅+m+20222023=22 ，
所以 m+12023=m+22023=m+32023=⋅⋅⋅=m+20002023=0 ， m+20012023=m+20022023=⋅⋅⋅=m+20222023=1 ，
所以有 m+20002023<1m+20012023≥1 ，所以 222023≤m<232023 ，
所以， 3<3+2892023≤289m<3+5782023<4 ，
所以， 289m=3 ．
故答案为：3．
17.【答案】解：(1)解：因为 A=x0所以 A∩B=x0(2)因为 ∁UA=x|-5≤x≤0 或 3所以 B∪ ∁UA=x|-5≤x≤1 或 3
【解析】【分析】(1)利用集合的交集运算求解；
(2)利用集合的补集和并集运算求解．
18.【答案】解：(1)当 a=-3 时，由 x2+12x+27<0 ，解得 -9而由 x2+6x+8≤0 ，得 -4≤x≤-2 ，
由于 p ， q 均成立，故 -4≤x<-3 ，即 x 的取值范围是 x-4≤x<-3 ．
(2)由 x2-4ax+3a2<0 得 x-3ax-a<0 ，
因为 a<0 ，所以 3a因为 q 是 p 的充分不必要条件，所以 -2解得 -2故实数 a 的取值范围是 a-2
【解析】【分析】(1)代入 a=-3 ，再根据二次不等式求解即可；
(2)根据充分不必要条件的性质，结合区间端点的位置关系求解即可．
19.【答案】解：(1)因为 f(x)=m2-2m-2xm-1 是幂函数，
所以 m2-2m-2=1 ，解得 m=3 或 m=-1 ，
又 f(x) 在 (0,+∞) 上是增函数，则 m-1>0 ，即 m>1 ，
所以 m=3 ，则 f(x)=x2 ．
(2)因为 f(x)=x2 ，所以当 x≥0 时， gx=fx+3x=x2+3x ，
当 x<0 时， -x>0 ，则 g(-x)=(-x)2+3(-x)=x2-3x
又因为 y=g(x) 是 R 上的偶函数，所以 g(x)=g(-x)=x2-3x ，
即当 x<0 时， g(x)=x2-3x ．
【解析】【分析】(1)利用幂函数的定义与性质即可得解；
(2)利用函数的奇偶性求解即可．
20.【答案】解：(1) ∀x∈-1,1 ，都有 -x∈-1,1 ， f-x=-ax+b1+x2 ．
因为函数 fx=ax+b1+x2 是定义在 -1,1 上的奇函数，
所以， f-x=-fx ，即 -ax+b1+x2=-ax+b1+x2 ，
所以 b=0 ， fx=ax1+x2 ．
又 f13=310 ，即 13a1+132=3a10=310 ，所以 a=1 ，
所以， fx=x1+x2 ．
∀x1,x2∈-1,1 ，且 x1则 fx1-fx2=x11+x12-x21+x22 =x11+x22-x21+x121+x121+x22 =x1-x21-x1x21+x121+x22 ．
因为 x1,x2∈-1,1 ，且 x1所以， x1-x2<0 ， x1x2<1 ，所以 1-x1x2>0 ，
所以， fx1-fx2<0 ， fx1所以， fx 在 -1,1 上单调递增．
(2)由(1)知， fx 为 -1,1 上的奇函数， fx 在 -1,1 上单调递增．
则由 f2x-1+f2x<0 ，可得 f2x<-f2x-1=f1-2x ，
所以有 -1<2x<1-1<2x-1<12x<1-2x ，解得 0所以，不等式的解集为 x|0
【解析】【分析】(1)求出 f-x ，根据奇函数的定义，列出关系式，即可得出 b .然后根据 f13=310 ，即可得出 a 的值；根据函数单调性的定义，即可判断函数的单调性；
(2)根据(1)的结论，列出不等式组，求解即可得出答案．
21.【答案】解：(1)解：设 DN 的长为 xx>0 米，则 AN=x+2 米，
∵ DN:AN=DC:AM ，∴ AM=3x+2x ，
∴ SAMPN=AN⋅AM=3x+22x ；
(2)记矩形花坛 AMPN 的面积为 S ，
则 S=3x+22x=3x+12x+12≥2 3x⋅12x+12=24 ，
当且仅当 3x=12x ，即 x=2 时取等号，
故 DN 的长为2米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．
【解析】【分析】(1)设 DN 的长为 xx>0 米，则 AN=x+2 米，由 DN:AN=DC:AM 得到AM，然后由 SAMPN=AN⋅AM 求解；
(2)由 S=3x+22x=3x+12x+12 ，利用基本不等式求解．
22.【答案】解：(1)已知 f(x)=ax2-(2a+1)x+2 ，
①当 a=0 时， f(x)=-x+2>0 时，即 x<2 ；
②当 a≠0 时， f(x)=ax-1a(x-2) ，
若 a<0 ， f(x)>0 ，解得 1a若 00 ，解得 x<2 或 x>1a ，
若 a=12 ， f(x)>0 ，解得 x≠2 ，
若 a>12 时， f(x)>0 ，解得 x<1a 或 x>2 ，
综上所述：当 a<0 时， f(x)>0 的解集为 1a,2 ；当 a=0 时， f(x)>0 的解集为 (-∞,2) ；当 00 的解集为 (-∞,2)∪1a,+∞ ；当 a=12 时， f(x)>0 的解集为 (-∞,2)∪(2,+∞) ；当 a>12 时， f(x)>0 的解集为 -∞,1a∪(2,+∞) ．
(2)若 a=1 ，则 f(x)=x2-3x+2 ， ∴f1x+3-2mx=1x2-2mx+2 ，
令 t=1x ，原题等价于 ∃t∈[1,3] ，对 ∀m∈[1,4] 使得 t2-2mt+2≤b2-2b-2 恒成立，
令 g(m)=-2tm+t2+2 ， ∴g(m) 是关于 m 的减函数，
∴ 对 ∀m∈[1,4] ， g(m)≤b2-2b-2 恒成立，
即 b2-2b-2≥g(m)max=g1=t2-2t+2 ，
又 ∃t∈[1,3] ， b2-2b-2≥t2-2t+2 ，
即 b2-2b-2≥t2-2t+2min=12-2×1+2=1 ，
故 b2-2b-3=b-3b+1≥0 ，解得 b≤-1 或 b≥3 .
【解析】【分析】本题考查不等式的恒成立与有解综合问题，可按如下规则转化：
①若 k≥fx 在 a,b 上恒成立，则 k≥fxmax ；
②若 k≤fx 在 a,b 上恒成立，则 k≤fxmin ；
③若 k≥fx 在 a,b 上有解，则 k≥fxmin ；
④ k≤fx 在 a,b 上有解，则 k≤fxmax ．
(1)分类讨论a的范围，根据二次方程根的分布情况，解不等式即可；
(2)令 t=1x ，原题等价于 ∃t∈[1,3] ，对 ∀m∈[1,4] 使得 t2-2mt+2≤b2-2b-2 恒成立，再根据恒成立与有解关系分别转化即可求出实数b的取值范围．
1.已知集合A={x∣-2
2.命题p：∃x>0，x2+3x+1<0的否定是
( )
A. ∀x≤0，x2+3x+1≥0B. ∀x>0，x2+3x+1≥0
C. ∃x>0，x2+3x+1≥0D. ∃x≤0，x2+3x+1≥0
3.函数fx= x+3x的定义域为( )
A. x∈RB. -3,+∞
C. 0,+∞D. -3,0∪0,+∞
4.已知a、b∈R，且a>b，则
( )
A. -a<-bB. a2>b2C. 1a<1bD. a>b
5.23-1+ 3-π2+2323×3814×3834=( )
A. πB. 2+πC. 4-πD. 6-π
6.某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为( )
A. 5B. 6C. 8D. 9
7.若函数fx=ax,x>1,2-ax+3,x≤1在R上为减函数，则实数a的取值范围为
( )
A. 2,52B. 0,52C. 52,+∞D. ⌀
8.设m,n∈R，定义运算“Δ”和“∇”如下：mΔn=m,m≤nn,m>n,m∇n=n,m≤nm,m>n.若正数m，n，p，q满足mn≥4,p+q≤4，则
( )
A. mΔn≥2,pΔq≤2B. m∇n≥2,p∇q≥2
C. mΔn≥2,p∇q≤2D. m∇n≥2,pΔq≤2
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知集合A=2,4,a，B=1,2,3，若A∪B=1,2,3,4，则a的取值可以是
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.下列各组函数表示同一个函数的是( )
A. y=x，y=x2xB. y=x，y= x2
C. y=x+1，y=x+1D. fx=x2+1，gt=t2+1
11.二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是
( )
A. 2a+b=0B. 4a+2b+c>0
C. a-b+c=0D. 当y>0时，-1
( )
A. fx在-∞,1上单调递减
B. f-1=f3
C. f-a2+a≤f14
D. 若fm>f3，则m>3或m<-1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知函数fx=2x2-3，则ff1=_____．
14.若命题“∃0≤x≤3，x2-2x>m”为真命题，则m的取值范围为_______．
15.已知正实数m，n满足1m+8n=4，则8m+n的最小值为_______________．
16.x表示不超过x的最大整数，如3.1=3，5=5，-4.2=-5，已知0
17.(本小题10分)
已知全集U=x-5≤x≤5，A=x0
(2)B∪∁UA．
18.(本小题12分)
设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a<0，q：实数x满足x2+6x+8≤0．
(1)若a=-3，且p，q均成立，求实数x的取值范围；
(2)若p成立的一个充分不必要条件是q，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知幂函数fx=m2-2m-2xm-1m∈R在0,+∞上是增函数，函数y=gxx∈R为偶函数，且当x≥0时，gx=fx+3x．
(1)求函数fx的解析式；
(2)求当x<0时，函数y=gx的解析式．
20.(本小题12分)
已知函数fx=ax+b1+x2是定义在-1,1上的奇函数，且f13=310．
(1)确定函数fx的解析式并判断fx在-1,1上的单调性(不必证明)；
(2)解不等式f2x-1+f2x<0．
21.(本小题12分)
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米.
(1)设DN的长为xx>0米，试用x表示矩形AMPN的面积；
(2)当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值．
22.(本小题12分)
若函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2．
(1)讨论fx>0的解集；
(2)若a=1时，总∃x∈[13,1]，对∀m∈[1,4]，使得f1x+3-2mx≤b2-2b-2恒成立，求实数b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
由交集的定义得出即可．
【解答】
解：∵A={x|-2
故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】由特称命题的否定判断．
解：由题意得 ∃x>0 ， x2+3x+1<0 的否定是 ∀x>0 ， x2+3x+1≥0 ，
故选：B
3.【答案】D
【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可．
解：由题意可得： x+3≥0x≠0 ，解得 x∈-3,0∪0,+∞ ．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】【分析】由不等式的基本性质可判断A选项；取 a=1 ， b=-2 ，可判断BCD选项．
解：对于A选项，因为 a>b ，由不等式的基本性质可得 -a<-b ，A对；
对于B选项，取 a=1 ， b=-2 ，则 a2
对于D选项，取 a=1 ， b=-2 ，则 a故选：A．
5.【答案】A
【解析】【分析】利用指数幂的运算法则即可得解．
解： 23-1+ (3-π)2+2323×3814×3834=32+π-3+22×38=π ．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】设对两项运动都喜爱的人数为 x ，根据已知作出venn图，根据venn图列出关系式，求解即可得出答案．
解：设对两项运动都喜爱的人数为 x
根据已知作出venn图，
根据venn图可得， 21-x+x+15-x+10=38 ，
解得 x=8 ．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】根据分段函数的单调性列式求解．
解：由题意可得 a>02-a<02-a+3≥a ，解得 2
故选：A．
8.【答案】D
【解析】【分析】由运算“Δ”和“∇”定义，举例可判断选项A、B、C错误；由不等式的性质可证明选项D正确．
解：由运算“ Δ ”和“ ∇ ”定义知，
mΔn=m,m≤nn,m>n 表示数 m,n 较小的数， m∇n=n,m≤nm,m>n 表示数 m,n 较大的数，
当 m=1,n=5 时， mΔn=1 ，故选项A、C错误；
当 p=q=1 时， p∇q=1 ，故选项B错误；
∵ m+n≥2 mn≥4 ，且 2m∇n≥m+n ，∴ m∇n≥2 ，
∵ pq≤p+q22≤4 ， pΔq2≤pq ，∴ pΔq≤2 ，故选项D正确；
故选：D．
9.【答案】AC
【解析】【分析】根据并集的概念及运算即可得到结果．
解：∵集合 A=2,4,a,B=1,2,3 ， A∪B={1,2,3,4} ，
∴ a=1 ，或 a=3 ．
故选：AC．
10.【答案】BD
【解析】【分析】先求出各项两个函数的定义域，若定义域相同，则判断对应关系、解析式是否一致，即可得出答案．
解：对于A项，函数 y=x 的定义域为R， y=x2x 的定义域为 x|x≠0 ，
两个函数定义域不相同，故A项错误；
对于B项，函数 y=x 的定义域为R， y= x2 的定义域为R，
两个函数定义域相同，
且 x2=x ，所以两个函数相同，故B项正确；
对于C项，函数 y=x+1 的定义域为R， y=x+1 的定义域为R，
两个函数定义域相同，
但是解析式不相同，故C项错误；
对于D项，函数 fx=x2+1 的定义域为R， gt=t2+1 的定义域为R，
两个函数定义域相同，
且对应关系也一致，故D项正确．
故选：BD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】利用二次函数的图像和性质逐个选项判断即可．
解：根据图像可得， -b2a=1 ， b=-2a ，A正确；
由对称性 x=-1 和 x=3 时， y=0 ，所以 x=2 时， y>0 ，
即 4a+2b+c>0 ， a-b+c=0 ，
当 y>0 时， -1
12.【答案】ABD
【解析】【分析】先由题设条件得到 f(x) 在 [1,+∞) 上单调递增，且关于 x=1 对称，从而得以判断A；利用赋值法可判断B；利用函数的对称性与单调性，计算得自变量与对称轴的距离的大小关系，从而判断CD．
解：因为 ∀x1,x2∈[1,+∞),fx1-fx2x1-x2>0x1≠x2,f(x+1)=f(1-x) ，
所以 f(x) 在 [1,+∞) 上单调递增，且关于 x=1 对称，
则 f(x) 在 (-∞,1] 上单调递减，故A正确；
因为 f(x+1)=f(1-x) ，令 x=2 ，得 f(3)=f(-1) ，故B正确；
因为 -a2+a-1=a2-a+1=a-122+34≥34=14-1 ，
所以 f-a2+a≥f14 ，故C错误；
若 f(m)>f(3) ，则 |m-1|>3-1 ，解得 m>3 或 m<-1 ，故D正确．
故选：ABD．
13.【答案】-1
【解析】【分析】根据已知求出 f1 的值，代入即可得出答案．
解：由已知可得， f1=2×12-3=-1 ， f-1=2×-12-3=-1 ，
所以， ff1=-1 ．
故答案为： -1 ．
14.【答案】mm<3
【解析】【分析】根据题意，将问题转化为能成立问题，求其最大值，即可得到结果．
解：命题“ ∃0≤x≤3 ， x2-2x>m ”为真命题，即 ∃0≤x≤3 ， m
当 x=3 时， fx 取得最大值为 f3=3 ，所以 m<3 ，
即 m 的取值范围为 mm<3 ．
故答案为： mm<3
15.【答案】8
【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
解：因为 1m+8n=4 ，则 141m+8n=1 ，
所以 8m+n=141m+8n8m+n=1416+nm+64mn≥1416+2 nm⋅64mn=8 ，
当且仅当 1m+8n=4nm=64mn ，即 m=12n=4 时取等号，
所以 8m+n 的最小值为 8 ．
故答案为： 8 ．
16.【答案】3
【解析】【分析】根据已知可推得 m+20002023<1m+20012023≥1 ，进而求得 m 的范围，代入 289m ，求出整数部分，即可得出答案．
解：因为 0≤m+12023≤m+22023≤m+32023≤⋅⋅⋅≤m+20222023≤1 ，
且每一项都是整数，
又 m+12023+m+22023+m+32023+⋅⋅⋅+m+20222023=22 ，
所以 m+12023=m+22023=m+32023=⋅⋅⋅=m+20002023=0 ， m+20012023=m+20022023=⋅⋅⋅=m+20222023=1 ，
所以有 m+20002023<1m+20012023≥1 ，所以 222023≤m<232023 ，
所以， 3<3+2892023≤289m<3+5782023<4 ，
所以， 289m=3 ．
故答案为：3．
17.【答案】解：(1)解：因为 A=x0
【解析】【分析】(1)利用集合的交集运算求解；
(2)利用集合的补集和并集运算求解．
18.【答案】解：(1)当 a=-3 时，由 x2+12x+27<0 ，解得 -9
由于 p ， q 均成立，故 -4≤x<-3 ，即 x 的取值范围是 x-4≤x<-3 ．
(2)由 x2-4ax+3a2<0 得 x-3ax-a<0 ，
因为 a<0 ，所以 3a因为 q 是 p 的充分不必要条件，所以 -2
【解析】【分析】(1)代入 a=-3 ，再根据二次不等式求解即可；
(2)根据充分不必要条件的性质，结合区间端点的位置关系求解即可．
19.【答案】解：(1)因为 f(x)=m2-2m-2xm-1 是幂函数，
所以 m2-2m-2=1 ，解得 m=3 或 m=-1 ，
又 f(x) 在 (0,+∞) 上是增函数，则 m-1>0 ，即 m>1 ，
所以 m=3 ，则 f(x)=x2 ．
(2)因为 f(x)=x2 ，所以当 x≥0 时， gx=fx+3x=x2+3x ，
当 x<0 时， -x>0 ，则 g(-x)=(-x)2+3(-x)=x2-3x
又因为 y=g(x) 是 R 上的偶函数，所以 g(x)=g(-x)=x2-3x ，
即当 x<0 时， g(x)=x2-3x ．
【解析】【分析】(1)利用幂函数的定义与性质即可得解；
(2)利用函数的奇偶性求解即可．
20.【答案】解：(1) ∀x∈-1,1 ，都有 -x∈-1,1 ， f-x=-ax+b1+x2 ．
因为函数 fx=ax+b1+x2 是定义在 -1,1 上的奇函数，
所以， f-x=-fx ，即 -ax+b1+x2=-ax+b1+x2 ，
所以 b=0 ， fx=ax1+x2 ．
又 f13=310 ，即 13a1+132=3a10=310 ，所以 a=1 ，
所以， fx=x1+x2 ．
∀x1,x2∈-1,1 ，且 x1
因为 x1,x2∈-1,1 ，且 x1
所以， fx1-fx2<0 ， fx1
(2)由(1)知， fx 为 -1,1 上的奇函数， fx 在 -1,1 上单调递增．
则由 f2x-1+f2x<0 ，可得 f2x<-f2x-1=f1-2x ，
所以有 -1<2x<1-1<2x-1<12x<1-2x ，解得 0
【解析】【分析】(1)求出 f-x ，根据奇函数的定义，列出关系式，即可得出 b .然后根据 f13=310 ，即可得出 a 的值；根据函数单调性的定义，即可判断函数的单调性；
(2)根据(1)的结论，列出不等式组，求解即可得出答案．
21.【答案】解：(1)解：设 DN 的长为 xx>0 米，则 AN=x+2 米，
∵ DN:AN=DC:AM ，∴ AM=3x+2x ，
∴ SAMPN=AN⋅AM=3x+22x ；
(2)记矩形花坛 AMPN 的面积为 S ，
则 S=3x+22x=3x+12x+12≥2 3x⋅12x+12=24 ，
当且仅当 3x=12x ，即 x=2 时取等号，
故 DN 的长为2米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．
【解析】【分析】(1)设 DN 的长为 xx>0 米，则 AN=x+2 米，由 DN:AN=DC:AM 得到AM，然后由 SAMPN=AN⋅AM 求解；
(2)由 S=3x+22x=3x+12x+12 ，利用基本不等式求解．
22.【答案】解：(1)已知 f(x)=ax2-(2a+1)x+2 ，
①当 a=0 时， f(x)=-x+2>0 时，即 x<2 ；
②当 a≠0 时， f(x)=ax-1a(x-2) ，
若 a<0 ， f(x)>0 ，解得 1a
若 a=12 ， f(x)>0 ，解得 x≠2 ，
若 a>12 时， f(x)>0 ，解得 x<1a 或 x>2 ，
综上所述：当 a<0 时， f(x)>0 的解集为 1a,2 ；当 a=0 时， f(x)>0 的解集为 (-∞,2) ；当 0
(2)若 a=1 ，则 f(x)=x2-3x+2 ， ∴f1x+3-2mx=1x2-2mx+2 ，
令 t=1x ，原题等价于 ∃t∈[1,3] ，对 ∀m∈[1,4] 使得 t2-2mt+2≤b2-2b-2 恒成立，
令 g(m)=-2tm+t2+2 ， ∴g(m) 是关于 m 的减函数，
∴ 对 ∀m∈[1,4] ， g(m)≤b2-2b-2 恒成立，
即 b2-2b-2≥g(m)max=g1=t2-2t+2 ，
又 ∃t∈[1,3] ， b2-2b-2≥t2-2t+2 ，
即 b2-2b-2≥t2-2t+2min=12-2×1+2=1 ，
故 b2-2b-3=b-3b+1≥0 ，解得 b≤-1 或 b≥3 .
【解析】【分析】本题考查不等式的恒成立与有解综合问题，可按如下规则转化：
①若 k≥fx 在 a,b 上恒成立，则 k≥fxmax ；
②若 k≤fx 在 a,b 上恒成立，则 k≤fxmin ；
③若 k≥fx 在 a,b 上有解，则 k≥fxmin ；
④ k≤fx 在 a,b 上有解，则 k≤fxmax ．
(1)分类讨论a的范围，根据二次方程根的分布情况，解不等式即可；
(2)令 t=1x ，原题等价于 ∃t∈[1,3] ，对 ∀m∈[1,4] 使得 t2-2mt+2≤b2-2b-2 恒成立，再根据恒成立与有解关系分别转化即可求出实数b的取值范围．
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