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2023-2024学年广东省六校高一上学期期中联考数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省六校高一上学期期中联考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M=-1,1,2，N=x∈Rx2=x，则M∪N=( )
A. 1B. -1,0C. -1,0,1,2D. -1,0,2
2.若非零实数a，b满足a>b，则下列不等式中一定成立的是
( )
A. a-b>0B. a2-b2>0C. a3-b3>0D. 1a<1b
3.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3]，则函数y=f(2x+1)x+1的定义域为
( )
A. [-32,1]B. [-32,-1)∪(-1,1]
C. [-3,7]D. [-3,-1)∪(-1,7]
4.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x)=f(-x).若f(-13)=13，则f(53)=( )
A. -53B. -13C. 13D. 53
5.已知函数y=(2m-1)xm+n-2是幂函数，一次函数y=kx+b(k>0,b>0)的图像过点m,n，则4k+1b的最小值是
( )
A. 3B. 92C. 143D. 5
6.“a∈-13,3”是“函数fx=x2-a-1x+2,x≥13a+1x-5,x<1是定义在R上的增函数”的
( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除.为了做好校园防疫工作，某学校决定每天对教室进行消毒，已知消毒药物在释放过程中，室内空气中的含药量y(单位：mg/m3)与时间t(单位：小时)成正比(0A. 30分钟B. 60分钟C. 90分钟D. 120分钟
8.已知函数fx=ex+e-x+lgx，则不等式fx+1>f2x-1的解集为
( )
A. 0,2B. 0,12∪12,2C. 0,3D. 0,12∪12,3
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的有
( )
A. “∃x0∈R，2x0>x02”的否定是“∀x∈R，2x≤x2”
B. 若命题“∃x∈R，x2+4x+m=0”为假命题，则实数m的取值范围是4,+∞
C. 若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
D. “a>1”是“1a<1”的充分不必要条件
10.下列说法正确的有( )
A. 若f(x+1)=x2+x，则f(0)=2
B. 奇函数fx和偶函数gx的定义域都为R，则函数h(x)=f(x)g(x)为奇函数
C. 不等式kx2+2kx-k-2<0对∀x恒成立，则实数k的取值范围是(-1,0)
D. 若∃x∈R，使得4x+mx2-2x+3≥2成立，则实数m的取值范围是m≥-2
11.已知x>0，y>0，且x+2y=1，下列结论中正确的是( )
A. xy的最小值是18B. 2x+4y的最小值是2 2
C. 1x+2y的最小值是9D. x2+y2的最小值是25
12.函数y=fx图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是
( )
A. 函数y=fx的图象关于点Pa,b成中心对称的图形的充要条件是y=fx+a-b为奇函数
B. 函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为1,-2
C. 函数y=fx的图象关于x=a成轴对称的充要条件是函数y=fx-a是偶函数
D. 函数g(x)=|x3-3x2+2|的图象关于直线x=1对称
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.定义在R上的函数fx，当-1≤x≤1时，f(x)=x3.若函数fx+1为偶函数，则f3=_____．
14.方程x2-2-ax+5+a=0的一根大于1，一根小于1，则实数a的取值范围是_________．
15.已知函数fx=x2+2x+1+m，若ffx≥0恒成立，则实数m的最小值是_____．
16.若对任意x≥0，k 1+x≥1+ x恒成立，则实数k的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A=xa-2≤x≤2+aa∈R，B=x14<2x-1<2．
(1)当a=3时，求A∪B，A∩∁RB；
(2)若A∪∁RB=R，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)计算：(214)0.5-0.752+6-2×(827)-23；
(2)已知a12+a-12=3，求a3+a-3+3a+a-1-2的值．
19.(本小题12分)
已知函数fx=3x-a3x+1为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断fx在R上的单调性(不必证明)；
(3)解关于t的不等式ft2-2t+f2t2-1<0．
20.(本小题12分)
已知某种稀有矿石的价值(单位：元)与其重量(单位：克)的平方成正比，对该种矿石加工时，有时需要将一块较大的矿石切割成两块较小的矿石，在切割过程中的重量损耗忽略不计，但矿石的价值会损失．
(1)把一块该种矿石切割成重量比为x:1的两块矿石时，价值损失率为37.5%，求x的值;
(2)把一块该种矿石切割成两块矿石时，价值损失率最大值是多少？
(注：价值损失率=原有价值-现有价值原有价值×100%)
21.(本小题12分)
已知函数fx=x2-x，gx=2x-2．
(1)若∀x1∈0,3，∃x2∈0,3，使得fx1+m≤gx2成立，求实数m的取值范围；
(2)当a≠0时，解关于x的不等式afx>gx．
22.(本小题12分)
定义在R上的奇函数f(x)=x,-10,a≠1，且f(1)=e，其中e是自然对数的底，e=2.71828⋯．
(1)当x≥0时，求函数fx的解析式；
(2)若存在x2>x1≥0，满足f(x2)=ef(x1)，求x1⋅f(x2)的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】解方程求得集合 N ，由并集定义可得结果．
解： ∵N=x∈Rx2=x=0,1 ， ∴M∪N=-1,0,1,2 ．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，考查利用不等式的性质判断不等关系，属于基础题．
根据不等式的性质，再举出反例即可得出答案．
【解答】
解：因为a>b，
所以a2>b2，即a2>b2，所以a2-b2>0，故B正确；
当a=-2,b=-1时，
a-b=-1<0，故A错误；
a3-b3=-7<0，故C错误；
1a=-12>-1=1b，故D错误．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求抽象函数的定义域，属基础题．
由题意可得2x+1的范围为[-2,3]，求解x的范围，再结合分母不为0即可得解．
【解答】
解：由题意得-2≤2x+1≤3，解得-32≤x≤1，
由x+1≠0，解得x≠-1，
故函数的定义域是[-32,-1)∪ (-1,1]，
故选B．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的周期性，对称性，属基础题．
根据已知可得f(x)的周期性，进而求解函数值即可．
【解答】
解：由题知f(2+x)=f(1+(1+x))=f(-1-x)=-f(1+x)=-f(-x)=f(x)，
则函数f(x)是周期为2的周期函数，
则f(53)= f(-13)=13，
故选C．
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查幂函数的概念、基本不等式的应用，属于一般题．
根据幂函数定义，求出点m,n，代入一次函数中，得到k+b=2，再利用基本不等式求4k+1b的最小值．
【解答】
解：由y=(2m-1)xm+n-2是幂函数，可得2m-1=1且n-2=0，解得m=1，n=2，
又由点1,2在一次函数y=kx+b的图像上，所以k+b=2，
因为k>0，b>0，
则4k+1b=12(4k+1b)(k+b)=12(5+4bk+kb)⩾5+42=92，
当且仅当k=2b，即k=43，b=23时取等号，
所以(4k+1b)min=92，
故选B．
6.【答案】A
【解析】【分析】求得分段函数在 R 上是增函数的充要条件，再从集合的包含关系即可判断和选择．
解：函数 fx=x2-a-1x+2,x≥13a+1x-5,x<1 是定义在 R 上的增函数的充要条件是：
a-12≤13a+1>03a-4≤4-a ，解得 a∈-13,2 ．
又 -13,2 是 -13,3 的真子集，
故“ a∈-13,3 ”是“函数 fx 是定义在 R 上的增函数”的必要不充分条件．
故选： A ．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分段函数的应用，属于中档题．
先求出函数y=ft的表达式，再令(14)t-12=12即可求解．
【解答】
解：由题意可知：y=kt,0又图象过点(12,1)，则(14)12-a=1，解得a=12，
所以y=f(t)=2t,0当t≥12时，令(14)t-12=12，解得t=1，
故每天进行消毒的工作人员应当提前60分钟时间进行教室消毒，
故选：B
8.【答案】B
【解析】【分析】判断出函数 fx 的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集．
解：函数 fx=ex+e-x+lgx 的定义域为 xx≠0 ，
且 f-x=e-x+ex+lg-x=ex+e-x+lgx=fx ，即 fx 是偶函数，
当 x>0 时， fx=ex+e-x+lgx ，
构造 y=ex+e-x ， x∈0,+∞ ，
令 t=ex>1 ，则 y=t+1t 在 1,+∞ 上单调递增，又 t=ex 也是增函数，
则 y=ex+e-x 在 0,+∞ 上单调递增，
又 y=lgx 是定义域内的增函数，故 fx=ex+e-x+lgx 在 0,+∞ 上单调递增，
不等式 fx+1>f2x-1 等价于 fx+1>f2x-1 ，
即 x+1>2x-1x+1≠02x-1≠0 ，平方得： x2+2x+1>4x2-4x+1x+1≠02x-1≠0 ，解得 0则不等式 fx+1>f2x-1 的解集为 0,12∪12,2 ．
故选：B．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定，充要条件及其判定，充分不必要条件的应用．
根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A；由命题为假命题可得方程x2+4x+m=0无解，则Δ<0，即可判断B；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD．
【解答】
解：对于A，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以“∃x0∈R，2x0>x02”的否定是“∀x∈R，2x≤x2”，故A正确；
对于B，若命题“∃x∈R，x2+4x+m=0”为假命题，
则方程x2+4x+m=0无解，
所以Δ=16-4m<0，解得m>4，
所以实数m的取值范围是4,+∞，故B正确；
对于C，当b=0时，ab2=cb2，则由a>c不能推出ab2>cb2，
所以“ab2>cb2”的充要条件不是“a>c”，故C错误；
对于D，若a>1，则0<1a<1，
故由a>1可以推出1a<1，
当a=-1时，1a<1，则由1a<1不可以推出a>1，
所以“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件，故D正确．
故选：ABD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】令 x+1=t ，求出 f(t) ，即可判断A；利用函数的奇偶性即可判断B；根据带参数的不等式对参数进行分类讨论即可判断C；先进行变量分离，然后根据能成立的条件即可判断D．
解：对于选项A：令 x+1=t ，则 x=t-1 ，故 f(t)=(t-1)2+t-1=t2-t ，故 f(0)=0 ，故A错误；
对于选项B：因为 h(x)=f(x)g(x) ，所以 h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x) ，所以函数 h(x)=f(x)g(x) 为奇函数，故B正确；
对于选项C：当 k=0 时， -2<0 ，故对 ∀x 恒成立；
当 k≠0 时， kx2+2kx-k-2<0 对 ∀x 恒成立可知： k<0Δ=4k2+4k(k+2)<0
解得： -1对于选项D： x2-2x+3=(x-1)2+2>0 ，故 4x+m≥2x2-4x+6 ， m≥2x2-8x+6
故只要 m≥2x2-8x+6min ，当 x=2 时， 2x2-8x+6min=-2 ，则 m≥-2 ，故D正确；
故选：BD
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值，要注意其必须满足的三个条件，属于基础题．
利用基本不等式判断选项ABC，对于D可以用二次函数的配方法求解即可．
【解答】
解：对于A：∵x>0，y>0且x+2y=1，
∴1=x+2y≥2 2x⋅y，
∴xy≤18，当且仅当x=2y，即x=12，y=14时等号成立，故选项A错误；
对于B：2x+4y⩾2 2x·22y=2 2x+2y=2 2，
当且仅当x=2y，即x=12，y=14时等号成立，故选项B正确；
对于C：(1x+2y)(x+2y)=5+2yx+2xy⩾5+2 2yx·2xy=5+4=9，
当且仅当2yx=2xy，即x=y=13时等号成立，故C正确；
对于D：x2+y2=(1-2y)2+y2=5y2-4y+1=5(y-25)2+15，
当y=25时，有最小值15，故选项D错误．
故选BC．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查充要条件的判断，以及函数对称性，奇偶性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
根据对称中心和对称轴的抽象表示进行分析判断即可．
【解答】
解：对于A，函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的图形，则有f(a+x)+f(a-x)=2b．
函数y=f(x+a)-b为奇函数，则有f(-x+a)-b+f(x+a)-b=0，即有f(a+x)+f(a-x)=2b．
所以函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的图形的充要条件是为y=f(x+a)-b为奇函数，A正确；
对于B， f(x)=x3-3x2，则fx+1+2=x+13-3x+12+2=x3-3x，
因为y=x3-3x为奇函数，结合A选项可知函数f(x)=x3-3x2关于点(1,-2)对称，B正确；
对于C，函数y=f(x)的图象关于x=a成轴对称的充要条件是fa-x=fa+x，
即函数y=f(x+a)是偶函数，因此C不正确；
对于D，g(x)=|x3-3x2+2|，
则gx+1=x+13-3x+12+2=x3-3x，
则g-x+1=-x3+3x=x3-3x=gx+1，
所以g(x)=|x3-3x2+2|关于x=1对称，D正确．
13.【答案】-1
【解析】【分析】根据函数的奇偶性(对称性)求得正确答案．
解：函数 fx+1 为偶函数，图象关于 y 轴对称，
所以 fx 关于 x=1 对称，即 f1+x=f1-x ，
所以 f3=f1+2=f1-2=f-1=-13=-1 ．
故答案为： -1
14.【答案】-∞,-2
【解析】【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得．
解：∵方程 x2-2-ax+5+a=0 的一根大于1，另一根小于1，
令 f(x)=x2-2-ax+5+a ，
则 f(1)=1-2-a+5+a<0 ，
解得 a<-2 ．
故答案为： -∞,-2 ．
15.【答案】-3+ 52
【解析】【分析】对 fx 进行换元，注意新元范围，原题就转化为 ∀t≥m,f(t)min≥0 ，根据 f(t) 对称轴，只需分类讨论新元的范围和对称轴的关系，求出所对应的 f(t)min ，让 f(t)min≥0 ，求出m的取值范围即可找出最值．
解：由题知令 t=fx=x2+2x+1+m≥m ，
要想 ffx≥0 恒成立，只需 ∀t≥m,f(t)min≥0 即可，
因为 f(t) 对称轴为 t=-1 ，
(1) m<-1 时，
当 t∈(m,-1),f(t) 单调递减， t∈(-1,+∞),f(t) 单调递增，
所以 f(t)min=f(-1)=m≥0 ，与 m≤-1 矛盾，舍;
(2) m≥-1 时，
当 t∈(m,+∞),f(t) 单调递增，
所以 f(t)min=f(m)=m2+3m+1≥0 ，
解得 m≤-3- 52 (舍)或 m≥-3+ 52
故 m≥-3+ 52 ，
综上： m的最小值是 -3+ 52 ．
故答案为： -3+ 52
16.【答案】[ 2,+∞)
【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式解决恒成立问题，属于中档题．
根据条件变量分离得到k≥1+ x 1+x.令μ=1+ x 1+x，x≥0，则μ>0，再利用基本不等式求μ2的取值范围即可解答．
【解答】
解：因为x≥0，所以 1+x>0，所以不等式可化为k≥1+ x 1+x．
设μ=1+ x 1+x，x≥0，则μ>0，则μ2=1+x+2 x1+x=1+2 x1+x，
因为x≥0，所以1+x≥2 x，当且仅当x=1时取等号，所以μ2=1+2 x1+x≤1+1+x1+x=2，
即0<μ≤ 2，所以k∈[ 2,+∞)．
17.【答案】解：(1)当 a=3 时， A=x1≤x≤5 ，又因为 B=x-1所以 ∁RB=x≤-1 或 x≥2 ，所以 A∪B=x-1(2)因为 A∪∁RB=R ，集合 A=xa-2≤x≤a+2 ， ∁RB=x≤-1 或 x≥2 ，
所以 a-2≤-1,2+a≥2, 解得 0≤a≤1 .所以实数 a 的取值范围为 0,1 ．
【解析】【分析】(1)先求出集合 B ，再根据集合交并补运算求解即可；
(2)由题知 a-2≤-12+a≥2 ，进而解不等式即可得答案．
18.【答案】解：(1)(214)0.5-0.752+6-2×(827)-23
=(94)12-(34)2+136×(23)3×(-23)=32-916+136×94
=1．
(2)因为a12+a-12=3，
所以a+a-1=(a12+a-12)2-2=7，
所以a2+a-2=(a+a-1)2-2=47，
所以a3+a-3+3a+a-1-2=(a+a-1)(a2+a-2-1)+3a+a-1-2=7×46+37-2=65．
【解析】本题考查指数幂的化简与求值，属中档题．
(1)根据指数幂的运算法则，进行化简计算即可．
(2)根据指数幂的运算法则，进行化简计算即可．
19.【答案】解：(1)因为 fx 定义在 R 上的奇函数，可得 ∀x∈R ，都有 f-x=-fx ，
令 x=0 ，可得 f0=30-a30+1=1-a2=0 ，解得 a=1 ，
所以 fx=3x-13x+1 ，此时满足 f-x=3-x-13-x+1=-3x-13x+1=-fx ，
所以函数 fx 是奇函数，
所以 a=1 ；
(2) fx 在 R 上单调递增；
理由如下：因为 fx=3x-13x+1=1-23x+1 ，
函数 y=3x+1 单调递增，函数 y=1-2u 在 0,+∞ 上单调递增，
所以 fx=1-23x+1 在 R 上单调递增；
(3)因为 fx 为奇函数，可得 ft2-2t<-f2t2-1=f1-2t2 ，
又 fx 在 R 上单调递增，所以 t2-2t<1-2t2 ，
解得 -13所以原不等式的解集为 t-13
【解析】【分析】(1)根据 f(0)=0 求出 a=1 ，再由奇函数的定义验证即得；
(2)根据指数函数的单调性即得；
(3)根据函数的奇偶性及单调性可得 t2-2t<1-2t2 ，解不等式即得．
20.【答案】解：(1)解：由题知，不妨设稀有矿石的价值为 ω ，其重量为 m ， ω=km2,(m>0) ，
由题知，两块矿石的重量为 mxx+1 和 m1x+1 ，
因为价值损失率为37.5%，
即 km2-k(mxx+1)2-k(m1x+1)2km2=37.5% ，
即 2x(x+1)2=38 ，故 x=3 或 x=13 ;
(2)由(1)知 ω=km2,(m>0) ，不妨设切割成两块矿石时，一块重量为 p ，一块重量为 q ，
根据公式价值损失率= k(p+q)2-k(p)2-k(q)2k(p+q)2=2pq(p+q)2≤2pq(2 pq)2=50% ，
当且仅当 p=q 时价值损失率取得最大值，最大值为 50% ．
【解析】【分析】(1)根据题意设出稀有矿石的价值与其重量的函数解析式，根据公式，列出关于价值损失率的等式，求出 x 的值;
(2)不妨设切割成两块矿石时，一块重量为 p ，一块重量为 q ，根据公式列出等式，求出最值．
21.【答案】解：(1)易得fx=x2-x在0,12上是减函数，在12,3上是增函数，
所以∀x∈0,3，fxmax=f3=6，
由于gx=2x-2在0,3上是增函数，所以∀x∈0,3，gxmax=g3=4，
由∀x1∈0,3，∃x2∈0,3，使得fx1+m≤gx2成立，
得fx1max+m≤gx2max，所以m+6≤4，解得m≤-2，
所以实数m的取值范围为-∞,-2．
(2)当a≠0时，由题可得：ax2-a+2x+2>0，可得x-1ax-2>0，
令x-1ax-2=0，则x=1或x=2a，
①当a<0时，2a<1，原不等式的解集为2a,1；
②当01，原不等式的解集为(-∞,1)∪(2a,+∞)；
③当a=2时，原不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞)；
④当a>2时，0<2a<1，原不等式的解集为(-∞,2a)∪(1,+∞)．
综上所述，当a<0时，解集为2a,1；
当0当a=2时，解集为(-∞,1)∪(1,+∞)；
当a>2时，解集为(-∞,2a)∪(1,+∞)．
【解析】本题考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，利用函数单调性求最值，属于中档题．
(1)根据函数的单调性求出fxmax=f3=6，gxmax=g3=4，由∀x1∈0,3，∃x2∈0,3，使得fx1+m≤gx2成立，得fx1max+m≤gx2max，即可求解；
(2)当a≠0时，由题可得：ax2-a+2x+2>0，可得x-1ax-2>0，求出对应方程的根，然后分类讨论即可．
22.【答案】解：(1)由f(1)=e，f(x)是奇函数，则f(-1)=-a=-e，解得a=e，
因为f(x)是R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，f(0)=0，
当0当x≥1时，-x≤-1，则f(-x)=-ex=-f(x)，所以f(x)=ex，
故f(x)=x,0≤x<1ex,x≥1；
(2)若0≤x1从而有x1⋅f(x2)=x1⋅x2=ex12∈(0,1e)；
若0≤x1<1≤x2，则由f(x2)=ef(x1)，得ex2=ex1，而ex2≥e，ex1若1≤x1从而有x1⋅f(x2)=x1⋅ex2=x1ex1+1，
设gx=xex+1，x∈[1,+∞)，函数gx=xex+1在x∈[1,+∞)上单调递增，
所以x1⋅f(x2)=x1⋅ex2=x1ex1+1≥e2，
综上：x1⋅f(x2)的取值范围为(0,1e)∪[e2，+∞).
【解析】本题考查根据函数的奇偶性求解析式，考查分段函数值域问题，属于较难题．
(1)根据奇函数，且f1=e求解参数a，再根据对称性求解0(2)根据题意分类讨论，0≤x1
1.已知集合M=-1,1,2，N=x∈Rx2=x，则M∪N=( )
A. 1B. -1,0C. -1,0,1,2D. -1,0,2
2.若非零实数a，b满足a>b，则下列不等式中一定成立的是
( )
A. a-b>0B. a2-b2>0C. a3-b3>0D. 1a<1b
3.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3]，则函数y=f(2x+1)x+1的定义域为
( )
A. [-32,1]B. [-32,-1)∪(-1,1]
C. [-3,7]D. [-3,-1)∪(-1,7]
4.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x)=f(-x).若f(-13)=13，则f(53)=( )
A. -53B. -13C. 13D. 53
5.已知函数y=(2m-1)xm+n-2是幂函数，一次函数y=kx+b(k>0,b>0)的图像过点m,n，则4k+1b的最小值是
( )
A. 3B. 92C. 143D. 5
6.“a∈-13,3”是“函数fx=x2-a-1x+2,x≥13a+1x-5,x<1是定义在R上的增函数”的
( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除.为了做好校园防疫工作，某学校决定每天对教室进行消毒，已知消毒药物在释放过程中，室内空气中的含药量y(单位：mg/m3)与时间t(单位：小时)成正比(0
8.已知函数fx=ex+e-x+lgx，则不等式fx+1>f2x-1的解集为
( )
A. 0,2B. 0,12∪12,2C. 0,3D. 0,12∪12,3
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的有
( )
A. “∃x0∈R，2x0>x02”的否定是“∀x∈R，2x≤x2”
B. 若命题“∃x∈R，x2+4x+m=0”为假命题，则实数m的取值范围是4,+∞
C. 若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
D. “a>1”是“1a<1”的充分不必要条件
10.下列说法正确的有( )
A. 若f(x+1)=x2+x，则f(0)=2
B. 奇函数fx和偶函数gx的定义域都为R，则函数h(x)=f(x)g(x)为奇函数
C. 不等式kx2+2kx-k-2<0对∀x恒成立，则实数k的取值范围是(-1,0)
D. 若∃x∈R，使得4x+mx2-2x+3≥2成立，则实数m的取值范围是m≥-2
11.已知x>0，y>0，且x+2y=1，下列结论中正确的是( )
A. xy的最小值是18B. 2x+4y的最小值是2 2
C. 1x+2y的最小值是9D. x2+y2的最小值是25
12.函数y=fx图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是
( )
A. 函数y=fx的图象关于点Pa,b成中心对称的图形的充要条件是y=fx+a-b为奇函数
B. 函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为1,-2
C. 函数y=fx的图象关于x=a成轴对称的充要条件是函数y=fx-a是偶函数
D. 函数g(x)=|x3-3x2+2|的图象关于直线x=1对称
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.定义在R上的函数fx，当-1≤x≤1时，f(x)=x3.若函数fx+1为偶函数，则f3=_____．
14.方程x2-2-ax+5+a=0的一根大于1，一根小于1，则实数a的取值范围是_________．
15.已知函数fx=x2+2x+1+m，若ffx≥0恒成立，则实数m的最小值是_____．
16.若对任意x≥0，k 1+x≥1+ x恒成立，则实数k的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A=xa-2≤x≤2+aa∈R，B=x14<2x-1<2．
(1)当a=3时，求A∪B，A∩∁RB；
(2)若A∪∁RB=R，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)计算：(214)0.5-0.752+6-2×(827)-23；
(2)已知a12+a-12=3，求a3+a-3+3a+a-1-2的值．
19.(本小题12分)
已知函数fx=3x-a3x+1为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断fx在R上的单调性(不必证明)；
(3)解关于t的不等式ft2-2t+f2t2-1<0．
20.(本小题12分)
已知某种稀有矿石的价值(单位：元)与其重量(单位：克)的平方成正比，对该种矿石加工时，有时需要将一块较大的矿石切割成两块较小的矿石，在切割过程中的重量损耗忽略不计，但矿石的价值会损失．
(1)把一块该种矿石切割成重量比为x:1的两块矿石时，价值损失率为37.5%，求x的值;
(2)把一块该种矿石切割成两块矿石时，价值损失率最大值是多少？
(注：价值损失率=原有价值-现有价值原有价值×100%)
21.(本小题12分)
已知函数fx=x2-x，gx=2x-2．
(1)若∀x1∈0,3，∃x2∈0,3，使得fx1+m≤gx2成立，求实数m的取值范围；
(2)当a≠0时，解关于x的不等式afx>gx．
22.(本小题12分)
定义在R上的奇函数f(x)=x,-1
(1)当x≥0时，求函数fx的解析式；
(2)若存在x2>x1≥0，满足f(x2)=ef(x1)，求x1⋅f(x2)的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】解方程求得集合 N ，由并集定义可得结果．
解： ∵N=x∈Rx2=x=0,1 ， ∴M∪N=-1,0,1,2 ．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，考查利用不等式的性质判断不等关系，属于基础题．
根据不等式的性质，再举出反例即可得出答案．
【解答】
解：因为a>b，
所以a2>b2，即a2>b2，所以a2-b2>0，故B正确；
当a=-2,b=-1时，
a-b=-1<0，故A错误；
a3-b3=-7<0，故C错误；
1a=-12>-1=1b，故D错误．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求抽象函数的定义域，属基础题．
由题意可得2x+1的范围为[-2,3]，求解x的范围，再结合分母不为0即可得解．
【解答】
解：由题意得-2≤2x+1≤3，解得-32≤x≤1，
由x+1≠0，解得x≠-1，
故函数的定义域是[-32,-1)∪ (-1,1]，
故选B．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的周期性，对称性，属基础题．
根据已知可得f(x)的周期性，进而求解函数值即可．
【解答】
解：由题知f(2+x)=f(1+(1+x))=f(-1-x)=-f(1+x)=-f(-x)=f(x)，
则函数f(x)是周期为2的周期函数，
则f(53)= f(-13)=13，
故选C．
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查幂函数的概念、基本不等式的应用，属于一般题．
根据幂函数定义，求出点m,n，代入一次函数中，得到k+b=2，再利用基本不等式求4k+1b的最小值．
【解答】
解：由y=(2m-1)xm+n-2是幂函数，可得2m-1=1且n-2=0，解得m=1，n=2，
又由点1,2在一次函数y=kx+b的图像上，所以k+b=2，
因为k>0，b>0，
则4k+1b=12(4k+1b)(k+b)=12(5+4bk+kb)⩾5+42=92，
当且仅当k=2b，即k=43，b=23时取等号，
所以(4k+1b)min=92，
故选B．
6.【答案】A
【解析】【分析】求得分段函数在 R 上是增函数的充要条件，再从集合的包含关系即可判断和选择．
解：函数 fx=x2-a-1x+2,x≥13a+1x-5,x<1 是定义在 R 上的增函数的充要条件是：
a-12≤13a+1>03a-4≤4-a ，解得 a∈-13,2 ．
又 -13,2 是 -13,3 的真子集，
故“ a∈-13,3 ”是“函数 fx 是定义在 R 上的增函数”的必要不充分条件．
故选： A ．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分段函数的应用，属于中档题．
先求出函数y=ft的表达式，再令(14)t-12=12即可求解．
【解答】
解：由题意可知：y=kt,0
所以y=f(t)=2t,0
故每天进行消毒的工作人员应当提前60分钟时间进行教室消毒，
故选：B
8.【答案】B
【解析】【分析】判断出函数 fx 的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集．
解：函数 fx=ex+e-x+lgx 的定义域为 xx≠0 ，
且 f-x=e-x+ex+lg-x=ex+e-x+lgx=fx ，即 fx 是偶函数，
当 x>0 时， fx=ex+e-x+lgx ，
构造 y=ex+e-x ， x∈0,+∞ ，
令 t=ex>1 ，则 y=t+1t 在 1,+∞ 上单调递增，又 t=ex 也是增函数，
则 y=ex+e-x 在 0,+∞ 上单调递增，
又 y=lgx 是定义域内的增函数，故 fx=ex+e-x+lgx 在 0,+∞ 上单调递增，
不等式 fx+1>f2x-1 等价于 fx+1>f2x-1 ，
即 x+1>2x-1x+1≠02x-1≠0 ，平方得： x2+2x+1>4x2-4x+1x+1≠02x-1≠0 ，解得 0
故选：B．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定，充要条件及其判定，充分不必要条件的应用．
根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A；由命题为假命题可得方程x2+4x+m=0无解，则Δ<0，即可判断B；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD．
【解答】
解：对于A，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以“∃x0∈R，2x0>x02”的否定是“∀x∈R，2x≤x2”，故A正确；
对于B，若命题“∃x∈R，x2+4x+m=0”为假命题，
则方程x2+4x+m=0无解，
所以Δ=16-4m<0，解得m>4，
所以实数m的取值范围是4,+∞，故B正确；
对于C，当b=0时，ab2=cb2，则由a>c不能推出ab2>cb2，
所以“ab2>cb2”的充要条件不是“a>c”，故C错误；
对于D，若a>1，则0<1a<1，
故由a>1可以推出1a<1，
当a=-1时，1a<1，则由1a<1不可以推出a>1，
所以“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件，故D正确．
故选：ABD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】令 x+1=t ，求出 f(t) ，即可判断A；利用函数的奇偶性即可判断B；根据带参数的不等式对参数进行分类讨论即可判断C；先进行变量分离，然后根据能成立的条件即可判断D．
解：对于选项A：令 x+1=t ，则 x=t-1 ，故 f(t)=(t-1)2+t-1=t2-t ，故 f(0)=0 ，故A错误；
对于选项B：因为 h(x)=f(x)g(x) ，所以 h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x) ，所以函数 h(x)=f(x)g(x) 为奇函数，故B正确；
对于选项C：当 k=0 时， -2<0 ，故对 ∀x 恒成立；
当 k≠0 时， kx2+2kx-k-2<0 对 ∀x 恒成立可知： k<0Δ=4k2+4k(k+2)<0
解得： -1
故只要 m≥2x2-8x+6min ，当 x=2 时， 2x2-8x+6min=-2 ，则 m≥-2 ，故D正确；
故选：BD
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值，要注意其必须满足的三个条件，属于基础题．
利用基本不等式判断选项ABC，对于D可以用二次函数的配方法求解即可．
【解答】
解：对于A：∵x>0，y>0且x+2y=1，
∴1=x+2y≥2 2x⋅y，
∴xy≤18，当且仅当x=2y，即x=12，y=14时等号成立，故选项A错误；
对于B：2x+4y⩾2 2x·22y=2 2x+2y=2 2，
当且仅当x=2y，即x=12，y=14时等号成立，故选项B正确；
对于C：(1x+2y)(x+2y)=5+2yx+2xy⩾5+2 2yx·2xy=5+4=9，
当且仅当2yx=2xy，即x=y=13时等号成立，故C正确；
对于D：x2+y2=(1-2y)2+y2=5y2-4y+1=5(y-25)2+15，
当y=25时，有最小值15，故选项D错误．
故选BC．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查充要条件的判断，以及函数对称性，奇偶性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
根据对称中心和对称轴的抽象表示进行分析判断即可．
【解答】
解：对于A，函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的图形，则有f(a+x)+f(a-x)=2b．
函数y=f(x+a)-b为奇函数，则有f(-x+a)-b+f(x+a)-b=0，即有f(a+x)+f(a-x)=2b．
所以函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的图形的充要条件是为y=f(x+a)-b为奇函数，A正确；
对于B， f(x)=x3-3x2，则fx+1+2=x+13-3x+12+2=x3-3x，
因为y=x3-3x为奇函数，结合A选项可知函数f(x)=x3-3x2关于点(1,-2)对称，B正确；
对于C，函数y=f(x)的图象关于x=a成轴对称的充要条件是fa-x=fa+x，
即函数y=f(x+a)是偶函数，因此C不正确；
对于D，g(x)=|x3-3x2+2|，
则gx+1=x+13-3x+12+2=x3-3x，
则g-x+1=-x3+3x=x3-3x=gx+1，
所以g(x)=|x3-3x2+2|关于x=1对称，D正确．
13.【答案】-1
【解析】【分析】根据函数的奇偶性(对称性)求得正确答案．
解：函数 fx+1 为偶函数，图象关于 y 轴对称，
所以 fx 关于 x=1 对称，即 f1+x=f1-x ，
所以 f3=f1+2=f1-2=f-1=-13=-1 ．
故答案为： -1
14.【答案】-∞,-2
【解析】【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得．
解：∵方程 x2-2-ax+5+a=0 的一根大于1，另一根小于1，
令 f(x)=x2-2-ax+5+a ，
则 f(1)=1-2-a+5+a<0 ，
解得 a<-2 ．
故答案为： -∞,-2 ．
15.【答案】-3+ 52
【解析】【分析】对 fx 进行换元，注意新元范围，原题就转化为 ∀t≥m,f(t)min≥0 ，根据 f(t) 对称轴，只需分类讨论新元的范围和对称轴的关系，求出所对应的 f(t)min ，让 f(t)min≥0 ，求出m的取值范围即可找出最值．
解：由题知令 t=fx=x2+2x+1+m≥m ，
要想 ffx≥0 恒成立，只需 ∀t≥m,f(t)min≥0 即可，
因为 f(t) 对称轴为 t=-1 ，
(1) m<-1 时，
当 t∈(m,-1),f(t) 单调递减， t∈(-1,+∞),f(t) 单调递增，
所以 f(t)min=f(-1)=m≥0 ，与 m≤-1 矛盾，舍;
(2) m≥-1 时，
当 t∈(m,+∞),f(t) 单调递增，
所以 f(t)min=f(m)=m2+3m+1≥0 ，
解得 m≤-3- 52 (舍)或 m≥-3+ 52
故 m≥-3+ 52 ，
综上： m的最小值是 -3+ 52 ．
故答案为： -3+ 52
16.【答案】[ 2,+∞)
【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式解决恒成立问题，属于中档题．
根据条件变量分离得到k≥1+ x 1+x.令μ=1+ x 1+x，x≥0，则μ>0，再利用基本不等式求μ2的取值范围即可解答．
【解答】
解：因为x≥0，所以 1+x>0，所以不等式可化为k≥1+ x 1+x．
设μ=1+ x 1+x，x≥0，则μ>0，则μ2=1+x+2 x1+x=1+2 x1+x，
因为x≥0，所以1+x≥2 x，当且仅当x=1时取等号，所以μ2=1+2 x1+x≤1+1+x1+x=2，
即0<μ≤ 2，所以k∈[ 2,+∞)．
17.【答案】解：(1)当 a=3 时， A=x1≤x≤5 ，又因为 B=x-1
所以 a-2≤-1,2+a≥2, 解得 0≤a≤1 .所以实数 a 的取值范围为 0,1 ．
【解析】【分析】(1)先求出集合 B ，再根据集合交并补运算求解即可；
(2)由题知 a-2≤-12+a≥2 ，进而解不等式即可得答案．
18.【答案】解：(1)(214)0.5-0.752+6-2×(827)-23
=(94)12-(34)2+136×(23)3×(-23)=32-916+136×94
=1．
(2)因为a12+a-12=3，
所以a+a-1=(a12+a-12)2-2=7，
所以a2+a-2=(a+a-1)2-2=47，
所以a3+a-3+3a+a-1-2=(a+a-1)(a2+a-2-1)+3a+a-1-2=7×46+37-2=65．
【解析】本题考查指数幂的化简与求值，属中档题．
(1)根据指数幂的运算法则，进行化简计算即可．
(2)根据指数幂的运算法则，进行化简计算即可．
19.【答案】解：(1)因为 fx 定义在 R 上的奇函数，可得 ∀x∈R ，都有 f-x=-fx ，
令 x=0 ，可得 f0=30-a30+1=1-a2=0 ，解得 a=1 ，
所以 fx=3x-13x+1 ，此时满足 f-x=3-x-13-x+1=-3x-13x+1=-fx ，
所以函数 fx 是奇函数，
所以 a=1 ；
(2) fx 在 R 上单调递增；
理由如下：因为 fx=3x-13x+1=1-23x+1 ，
函数 y=3x+1 单调递增，函数 y=1-2u 在 0,+∞ 上单调递增，
所以 fx=1-23x+1 在 R 上单调递增；
(3)因为 fx 为奇函数，可得 ft2-2t<-f2t2-1=f1-2t2 ，
又 fx 在 R 上单调递增，所以 t2-2t<1-2t2 ，
解得 -13
【解析】【分析】(1)根据 f(0)=0 求出 a=1 ，再由奇函数的定义验证即得；
(2)根据指数函数的单调性即得；
(3)根据函数的奇偶性及单调性可得 t2-2t<1-2t2 ，解不等式即得．
20.【答案】解：(1)解：由题知，不妨设稀有矿石的价值为 ω ，其重量为 m ， ω=km2,(m>0) ，
由题知，两块矿石的重量为 mxx+1 和 m1x+1 ，
因为价值损失率为37.5%，
即 km2-k(mxx+1)2-k(m1x+1)2km2=37.5% ，
即 2x(x+1)2=38 ，故 x=3 或 x=13 ;
(2)由(1)知 ω=km2,(m>0) ，不妨设切割成两块矿石时，一块重量为 p ，一块重量为 q ，
根据公式价值损失率= k(p+q)2-k(p)2-k(q)2k(p+q)2=2pq(p+q)2≤2pq(2 pq)2=50% ，
当且仅当 p=q 时价值损失率取得最大值，最大值为 50% ．
【解析】【分析】(1)根据题意设出稀有矿石的价值与其重量的函数解析式，根据公式，列出关于价值损失率的等式，求出 x 的值;
(2)不妨设切割成两块矿石时，一块重量为 p ，一块重量为 q ，根据公式列出等式，求出最值．
21.【答案】解：(1)易得fx=x2-x在0,12上是减函数，在12,3上是增函数，
所以∀x∈0,3，fxmax=f3=6，
由于gx=2x-2在0,3上是增函数，所以∀x∈0,3，gxmax=g3=4，
由∀x1∈0,3，∃x2∈0,3，使得fx1+m≤gx2成立，
得fx1max+m≤gx2max，所以m+6≤4，解得m≤-2，
所以实数m的取值范围为-∞,-2．
(2)当a≠0时，由题可得：ax2-a+2x+2>0，可得x-1ax-2>0，
令x-1ax-2=0，则x=1或x=2a，
①当a<0时，2a<1，原不等式的解集为2a,1；
②当0
③当a=2时，原不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞)；
④当a>2时，0<2a<1，原不等式的解集为(-∞,2a)∪(1,+∞)．
综上所述，当a<0时，解集为2a,1；
当0
当a>2时，解集为(-∞,2a)∪(1,+∞)．
【解析】本题考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，利用函数单调性求最值，属于中档题．
(1)根据函数的单调性求出fxmax=f3=6，gxmax=g3=4，由∀x1∈0,3，∃x2∈0,3，使得fx1+m≤gx2成立，得fx1max+m≤gx2max，即可求解；
(2)当a≠0时，由题可得：ax2-a+2x+2>0，可得x-1ax-2>0，求出对应方程的根，然后分类讨论即可．
22.【答案】解：(1)由f(1)=e，f(x)是奇函数，则f(-1)=-a=-e，解得a=e，
因为f(x)是R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，f(0)=0，
当0
故f(x)=x,0≤x<1ex,x≥1；
(2)若0≤x1
若0≤x1<1≤x2，则由f(x2)=ef(x1)，得ex2=ex1，而ex2≥e，ex1
设gx=xex+1，x∈[1,+∞)，函数gx=xex+1在x∈[1,+∞)上单调递增，
所以x1⋅f(x2)=x1⋅ex2=x1ex1+1≥e2，
综上：x1⋅f(x2)的取值范围为(0,1e)∪[e2，+∞).
【解析】本题考查根据函数的奇偶性求解析式，考查分段函数值域问题，属于较难题．
(1)根据奇函数，且f1=e求解参数a，再根据对称性求解0
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2023-2024学年福建省福州市六校联考高一上学期期中联考数学试题（含解析）： 这是一份2023-2024学年福建省福州市六校联考高一上学期期中联考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
