2024年高考数学第二轮复习 专题01 集合、常用逻辑用语、不等式（新定义，高数观点，压轴题）（学生版+教师版）

专题01 集合、常用逻辑用语、不等式（新定义，高数观点，压轴题）目录TOC \o "1-2" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc27949" 一、集合的新定义（高数观点）题  PAGEREF _Toc27949 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc1414" ①乘法运算封闭  PAGEREF _Toc1414 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc19613" ②“群”运算  PAGEREF _Toc19613 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc23524" ③“”运算  PAGEREF _Toc23524 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc404" ④“”运算  PAGEREF _Toc404 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc21097" ⑤戴德金分割  PAGEREF _Toc21097 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc9458" ⑥“类”  PAGEREF _Toc9458 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc32305" ⑦差集运算  PAGEREF _Toc32305 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc24596" ⑧“势”  PAGEREF _Toc24596 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc4344" ⑨“好集”  PAGEREF _Toc4344 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc23639" 二、逻辑推理  PAGEREF _Toc23639 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc31499" ①充分性必要性  PAGEREF _Toc31499 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc2983" ②逻辑推理  PAGEREF _Toc2983 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc1559" 三、不等式  PAGEREF _Toc1559 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc31408" ①作差法  PAGEREF _Toc31408 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc30492" ②基本不等式  PAGEREF _Toc30492 \h 9一、集合的新定义（高数观点）题①乘法运算封闭1．（2023春·高一课时练习）设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(　　)A．自然数集 B．整数集C．有理数集 D．无理数集2．（2023·全国·高三专题练习）非空集合关于运算满足：① 对任意，都有；② 存在使对一切都有，则称是关于运算的融洽集，现有下列集合及运算：①是非负整数集，运算：实数的加法；②是偶数集，运算：实数的乘法；③是所有二次三项式组成的集合，运算：多项式的乘法；④，运算：实数的乘法；其中为融洽集的是 ②“群”运算1．（2022·全国·高三专题练习）“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件：①，，有②如，，，有；③在中有一个元素，对，都有，称为的单位元；④，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元．此时称（，*）为一个群．例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ）A．，则为一个群B．，则为一个群C．，则为一个群D．{平面向量}，则为一个群2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）若非空集合G和G上的二元运算“”满足：①，；②，对，：③，使，，有；④，，则称构成一个群.下列选项对应的构成一个群的是（    ）A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算C．集合(i为虚数单位)，“”为复数的乘法运算D．集合，“”为求两整数之和被7除的余数3．（2018·北京·高三开学考试）设是一个非空集合,是定义在上的一个运算,如果同时满足下述四个条件：（i）对于,都有;（ii）对于,都有;（iii）对于,使得;（iv）对于,使得（注：“”同（iii）中的“”）.则称关于运算构成一个群,现给出下列集合和运算：是整数集合,为加法;    是奇数集合,为乘法;是平面向量集合,为数量积运算;    是非零复数集合,为乘法.其中关于运算构成群的序号是 （将你认为正确的序号都填上）.③“”运算1．（2023·全国·高三专题练习）在上的定义运算，则满足的解集为（    ）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于任意集合，，，则（    ）A． B．C． D．3．（2023秋·高一课时练习）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，；（2）对任意a，，；（3）对任意a，b，，.给出下列三个结论：①；②对任意a，b，，；③存在a，b，，；其中，所有正确结论的序号是（    ）A．② B．①③ C．②③ D．①②③④“”运算1．（2023·全国·高三专题练习）对于任意的两个实数对和,规定当且仅当,；运算“”为：，运算“”为：，设，若则A． B． C． D．2．（2023·高一课时练习）定义集合运算：A⊙B＝﹛z|z=xy(x+y)，x∈A,y∈B﹜.设集合A=﹛0，1﹜，B=﹛2，3﹜，则集合A⊙B的所有元素之和为（　）A．0 B．6 C．12 D．183．（2023·高一课时练习）对于任意两个正整数，，定义运算⊕如下：①当，奇偶性相同时，；②当，奇偶性不同时，．若集合，则的元素个数为 ．4．（2023·全国·高三对口高考）非空集合G关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{非负整数}，为整数的加法；②{偶数}，为整数的乘法：③{平面向量}，为平面向量的加法；④{二次三项式}，为多项式的加法；⑤{虚数}，为复数的乘法其中G关于运算为“融洽集”的是 ．（写出所有“融洽集”的序号）⑤戴德金分割1．（多选）（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（    ）A．满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M没有最大元素，N没有最小元素D．M有一个最大元素，N有一个最小元素2．（多选）（2023春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考开学考试）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，，则称为的二划分，例如，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（    ）A．设，，则为的二划分B．设，，则为的二划分C．存在一个的二划分，使得对于，，，对于，，D．存在一个的二划分，使得对于，，，则，，，，则3．（2022秋·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．则下列关于戴德金分割的说法一定不成立的是（    ）A．中有最大元素，中有最小元素B．中没有最大元素，中有最小元素C．中有最大元素，中没有最小元素D．中没有最大元素，中没有最小元素4．（2022秋·高一课时练习）戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足Q，，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素．请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分割 ．⑥“类”1．（多选）（2023秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）整数集Z中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中．以下判断正确的是（    ）A． B．C． D．若，则整数，属同一类2．（2021秋·高一课时练习）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2 013∈[3];②-2∈[2];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④若整数a，b属于同一“类”，则a-b∈[0]．其中正确结论的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022秋·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k] ={4n + k ︱n ∈Z} ，k =0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1] ；②2025∈[1] ； ③若a∈[1]，b∈[2]，则3a+b∈[3] ；④若a∈[1]，b∈[3]，则a3b∈[0].其中正确的结论是 .⑦差集运算1．（多选）（2023秋·高一课时练习）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（    ）A．已知，，则B．如果，那么C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则D．已知或，，则或2．（多选）（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设，为两个集合，称由所有属于集合但不属于集合的元素组成的集合为集合与集合的差集，记为，即．下列表达式一定正确的是（    ）A． B．C． D．3．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）定义差集且，已知集合，，则（    ）A． B． C． D．4．（2022秋·江苏常州·高一统考期中）对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记作．若集合，集合，且，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．⑧“势”1．（2022秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）设全集，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第12位的子集是 ．2．（2022秋·高一单元测试）设全集，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第位的子集是 .⑨“好集”1．（2016秋·山西·高一阶段练习）如果集合 ，同时满足,就称有序集对为“ 好集对”.这里有序集对是指当时，和是不同的集对， 那么“好集对” 一共有个A．个 B．个C．个 D．个2．（2023秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）定义：实数a，b，c，若满足，则称a，b，c是等差的，若满足，则称a，b，c是调和的．已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，若集合P中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，称集合P为“好集”，则集合P为“好集”的个数是 ．3．（2016·浙江嘉兴·高三阶段练习）若三个非零且互不相等的实数，，满足，则称，，是调和的；若满足，则称，，是等差的，若集合中元素，，既是调和的，又是等差的，则称集合为“好集”，若集合，集合，则（1）“好集”中的元素最大值为 ；（2）“好集”的个数为 ．二、逻辑推理①充分性必要性1．（2023春·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考期末）若、为实数，则“”是“或”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023春·辽宁·高二校联考期末）“”是“方程有实数解”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·全国·高三专题练习）已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．4．（2023·全国·高一假期作业）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ）A．或 B．或C． D．5．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ．②逻辑推理1．（2023春·天津·高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期末）定义，设函数，若使得成立，则实数a的取值范围为（    ）．A． B．C． D．2．（2023春·江苏徐州·高二统考期末）已知“，”为假命题，则实数的取值范围是 ．3．（2023·全国·高三对口高考）已知命题，使得“成立”为真命题，则实数a的取值范围是 ．4．（2023·全国·高一假期作业）已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 .5．（2023·全国·高三对口高考）已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是 .三、不等式①作差法1．（多选）（2023春·河南商丘·高二统考阶段练习）已知，则（    ）A． B．C． D．2．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学统考期中）已知，，，则（    ）A． B．C． D．3．（2023秋·高一课时练习）比较大小：(1)和；(2)和，其中．②基本不等式1．（多选）（2023春·福建福州·高一福州三中校考期末）已知，，且，则（    ）A．的最大值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为162．（2023春·贵州安顺·高二统考期末）已知，，则的最小值为（    ）A．16 B．13 C．9 D．63．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）若正数满足，则的最小值是（    ）A． B． C． D．4．（2023春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为 ．5．（2023春·河北保定·高二校联考期末）若，且，则的最小值为 ．6．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知，其中，，，则的最小值为 ．7．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 .8．（2023春·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）已知，则的最小值为 .9．（2023春·江苏苏州·高二统考期末）已知，，，则的最小值为 ．10．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知，则的最小值为 .