2024年高考数学第二轮复习 专题02 函数概念与基本初等函数（新定义，高数观点，选填压轴题）（学生版+教师版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc16537" 一、函数及其表示 PAGEREF _Tc16537 \h 1
\l "_Tc17835" 二、函数的基本性质 PAGEREF _Tc17835 \h 4
\l "_Tc20616" 三、分段函数 PAGEREF _Tc20616 \h 10
\l "_Tc26731" 四、函数的图象 PAGEREF _Tc26731 \h 14
\l "_Tc9026" 五、二次函数 PAGEREF _Tc9026 \h 18
\l "_Tc10088" 六、指对幂函数 PAGEREF _Tc10088 \h 20
\l "_Tc2148" 七、函数与方程 PAGEREF _Tc2148 \h 24
\l "_Tc15068" 八、新定义题 PAGEREF _Tc15068 \h 29
一、函数及其表示
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】函数，
当时，，则，则，
函数在的值域记为，
对任意的，存在，使，则，
①当时，，则，则；
2．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数的定义域为 则的定义域为
【答案】
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为，则常数 ．
【答案】7或
5．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域.
【答案】
6．（2023·全国·高三专题练习）当时，求函数的最小值.
【答案】
7．（2023·高一课时练习）若函数满足方程且，则：
（1） ；（2） ．
【答案
8．（2023·全国·高三专题练习）若满足关系式，则 ，若，则实数m的取值范围是 ．
【答案】 ； 或．
二、函数的基本性质
1．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
2．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
3．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
4．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】的定义域满足
设，
易知：单调递减，在单调递增，在上单调递减.
根据复合函数的单调性得到：在上单调递增
故选：
5．（2023春·河北唐山·高二校联考期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
6．（2023春·广西北海·高二统考期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为当时，，
当时，对任意，因此不可能；
当时，，
同理当时，，
以此类推，当时，必有.
当时，令，则或，
因为当恒成立，
所以
故选：B
7．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，，则（ ）
A．关于直线对称B．关于点中心对称
C．D．
【答案】C
8．（2023春·新疆·高二统考期末）若奇函数的定义域为，且时，，则时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，
则，
因为函数为奇函数，所以，
即时.
故选：D
9．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
10．（2023春·安徽黄山·高二统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
11．（多选）（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A．B．是偶函数
C．的一个周期D．
【答案】AC
【详解】对于A，由，得，由，得，
又，所以，所以，因此A选项正确；
对于B，因为，所以函数为奇函数，因此B选项错误；
对于C，因为，所以，即，
所以，所以函数的周期，因此C选项正确；
对于D，将代入，得，，而，
将代入，得，将代入，得，
所以因此D选项错误.
故选：AC.
12．（2023春·河北保定·高二校联考期末）定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．是奇函数B．的最小正周期为4
C．的图象关于点对称D．
【答案】AC
【详解】由为上的奇函数，且，得，
即有，因此，即的周期为8，
对于A，显然，函数是奇函数，A正确；
对于B，当时，，则，，
显然4不是的周期，B错误；
对于C，由选项A知，，因此的图象关于点对称，C错误；
对于D，，D错误.
故选：AC
13．（2023春·辽宁沈阳·高二校考期末）已知定义在上的函数满足，且关于对称，当时，.若，则 .
【答案】
【详解】因为函数关于对称，则，即，
所以，，即函数为上的偶函数，
又因为，则，
即，所以，。则，
所以，函数是周期为的周期函数，
又因为当时，，
则，①
在等式中，令可得，即，②
联立①②可得，，故当时，，
所以，.
故答案为：.
三、分段函数
1．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）设函数，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【详解】∵，
∴.
故选：A．
2．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为函数为上的增函数，
所以，解得，所以的取值范围是.
故选：A.
3．（2023春·吉林长春·高一校考开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立，
所以函数在R上递减，
所以，
解得：
故选：D.
4．（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．2B．C．－2D．－
【答案】A
【详解】依题意，，，
函数的周期为6，
故，
在R上的奇函数,，
又，则．
故选：A．
5．（2023春·江苏苏州·高一校联考期末）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是单调递增函数B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，函数为连续函数，且当时斜率为正，当时斜率为正，A正确；
对于B，，
即，
则当时，，
当时，，
所以，
即，则，故B正确；
对于C，, 故C错误；
对于D，
所以，故D正确.
故选：C
6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数的最大值为0，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】若，即当时，∴的最大值为0，满足题意；
若，当时，，不满足题意；
若，当时，当时，当时等号成立，满足题意；
若，当时，，当时，，当时等号成立，满足题意；
若，当时，，当时，，不满足题意；
所以；
故选：A.
7．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知函数若，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【详解】当时，的值域为，
当时，的值域为；
当时，的值域为.
要使，则，所以，解得.
故选：D.
8．（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】函数在上为减函数，
函数的图像开口向下，对称轴为，
所以函数在区间上为减函数，
且.
所以函数在上为减函数.
由得.解得.
故选:A.
四、函数的图象
1．（2023春·云南保山·高二校联考期末）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为定义域为，
对于AB，，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故都不正确；
对于C，时，，所以，
所以，故C不正确；
对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故D正确.
故选：D.
2．（2023春·广东韶关·高二统考期末）部分图象大致是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，可化为
所以，
故为偶函数，图形关于y轴对称，排除B，D选项；
令可得，或，
由，解得，，
由，解得，
所以函数最小的正零点为，
当时，，，，排除A，
故选：C.
3．（2023春·云南楚雄·高二统考期末）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是偶函数，排除C，D；
当时，，排除A，
故选：B.
4．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】当时，，.排除A；
由偶函数定义可得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C；
当时，.排除D；
为奇函数，且当时，，
当时，.B均符合题给特征.
故选：B.
5．（2023春·河北沧州·高二统考期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，
当时，，所以，
所以，，所以
所以，
即在上恒成立，故B、D项错误；
，
由可得，，.
由可得，，所以在上单调递减；
由可得，，所以在上单调递增.
所以，在处取得唯一极大值，也是最大值，故A、B错误.
故选：C.
6．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】，，
则
则为偶函数，其图像关于y轴对称，排除AB；
又时，排除C,
故选：D
五、二次函数
1．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知函数与的图象上不存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数与的图象上不存在关于轴对称的点，
直线关于轴对称的直线方程为，
则方程在上无解，即在上无解，
又函数在上单调递增，在上单调递减，又时，，时，，时，，所以的值域为
故实数的取值范围是.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】.
【详解】当时，在区间上单调递减，符合题意；
当时，函数图象的对称轴为直线，
因为f（x）在区间上单调递减，所以，得，所以；
当时，函数在区间上单调递减，符合题意．
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
3．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知函数在区间上的最小值为1，则实数的值为 .
【答案】
【详解】函数图象的对称轴为，
当，即时，，解得；
当，即时，，解得（舍去）或（舍去），综上：.
故答案为：
4．（2023·江苏·高一假期作业）如果函数定义在区间上，求的值域．
【答案】答案见解析
【详解】函数，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为，图象开口向上．
如图所示，

若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有，此时，当时，函数值最小，
，当时，函数值最大，.
∴函数的值域为.
如图所示，

若顶点横坐标在区间上时，有，即.
当时，函数的最小值为，当时，最大值为，
∴函数的值域为；当时，最大值为，
所以在上的值域为.
如图所示，

若顶点横坐标在区间右侧时，有，即.
当，函数的最小值为，最大值为，
所以函数的值域为.
综上，当时，函数的值域为.
当时，函数的值域为；当时，函数的值域为；当时，函数的值域为.
六、指对幂函数
1．（多选）（2023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知，则实数，满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，所以，所以A正确；
对于C，由，得，所以，所以C错误；
对于D，因为，所以，得，所以D正确；
对于B，因为，所以，所以B错误.
故选：AD
2．（多选）（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数，设（，2，3）为实数，，且，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．不等式的解集为
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对A，，函数的图象关于点对称，故A正确；
对B，在上单调递增，且，则化为，则，解得，故不等式的解集为，故B正确；
对CD，，则可得，且关于点对称，在上单调递增，可得函数图象如下：
均在直线上方，其中直线的方程为，
则可得，，
所以，
，
，即，故C错误，D正确.
故选：ABD.
3．（2023春·浙江绍兴·高二统考期末）已知定义在上的函数满足:为奇函数，为偶函数，当时，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】定义在上的函数满足：为奇函数，为偶函数，
可得，，
则，故，
可得的最小正周期为4，
由于，则，
当时，，
所以，
则,
故选:A
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知幂函数的图象过，，（）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】设幂函数，图象过，则，即，
所以且，
为增函数，，故有.
为增函数，，故有.
所以A、B、C错，D对.
故选：D
5．（2023·吉林白山·统考二模）函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】当时，，符合题意；
当时，由，得．综上所述，．
故选：A
6．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】函数，则，即，解得，
所以的定义域为，且，
所以为奇函数，
又函数在上单调递减，
所以在上单调递减，则在上单调递减，
所以不等式，即，
等价于，解得，即实数的取值范围是.
故选：D
七、函数与方程
1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）若函数有唯一零点，则实数（ ）
A．2B．C．4D．1
【答案】A
【详解】由
，
得，即函数的图象关于对称，
要使函数有唯一的零点，
则，即，得．
故选：A．
2．（2023春·福建福州·高二校考期末）已知函数，则方程的解的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由可得，
则方程的解的个数等于函数的函数图象交点的个数，
作出函数的函数图象如下图所示：

由图可知，函数的函数图象有且只有一个交点，
即方程的解的个数为.
故选：B.
3．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考期末）已知函数，若有四个不同的解且，则可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】当时，，
当时，，当时，，
作出函数的图象如下，

则由图象可知，的图象与有4个交点，分别为，
因为有四个不同的解且，
所以，且，且，，
又因为
所以即，所以，
所以，且，
构造函数，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上单调递减，
所以，即，
所以.
故选：BC.
4．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数，若函数有五个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】当时，则，
此时，则或，
当时，则，
此时，则，
故问题转为， 共有四个零点，
画出函数图像如下可知：则，
故答案为：
5．（2023春·广东广州·高一校考期中）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设，该直线恒过点，方程有四个不同的实数根，
如图作出函数的图象，结合函数图象，则，
所以直线与曲线有两个不同的公共点，
所以在有两个不等实根，
令，
实数a满足，
解得．

故答案为：
6．（2023春·辽宁大连·高二统考期末）已知函数，若存在区间，当时，的值域为，且，其中表示不超过的最大整数，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意可知，有两个实数根，
即，设，即与有2个交点，并且满足
，，，
当，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
并且，当时，，
如图，画出函数的图象，

因为，
当时，，则，不满足，
当，，则，不满足，
当，此时，满足，
，，所以.
故答案为：
7．（2023春·河北唐山·高二校联考期末）已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】当时，则，
所以，即，
当时，则，
所以，即，
则，
当时，则，
所以，即，
画出的图象如下：

由图象可知，当时，方程在区间内有实数解，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
八、新定义题
1．（2023春·广东·高一统考期末）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），
在上的最大值为，与图象不符，A错误；
对于B，当时，，与图象不符，B错误；
对于C，，当时，；
又过点；
由得：，解得：，即函数定义域为；
又，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：与图象相符，C正确；
对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点“函数.下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，即存在使得有解，则函数为“不动点”函数，
对A，令，可得，该方程无解，
所以不是“不动点”函数，A错误.
对B，令，
即，
由可得该方程无解，所以不是“不动点”函数，B错误.
对C，令，
即，显然无解，所以不是“不动点”函数，C错误.
对D，令，可得，所以为“不动点”函数，D正确.
故选：D.
3．（2023春·云南红河·高一统考期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目．该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）．（参考数据：，）
A．8037年B．8138年C．8237年D．8337年
【答案】A
【详解】由题意，，即，
∴，∴，
故选：B.
4．（2023春·江苏南京·高一校考期中）冈珀茨模型是由冈珀茨提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种年后的种群数量近似满足冈珀茨模型：（当时，表示2020年初的种群数量），请预测从哪一年年初开始，该物种的种群数量将不足2022年初种群数量的一半（ ）
A．2031B．2020C．2029D．2028
【答案】B
【详解】，
当时，，
当时，，
年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，
，
由题可知，是大于0的常数，即，两边取对数可得，，
，
，两边取对数可得，，解得，，
故的最小值为6.
故选：D.
5．（多选）（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A．，B．，
C．，若，则有D．方程的解集为
【答案】CD
【详解】对选项A：取，则，，错误；
对选项B：取，，，错误；
对选项C：，则，，故，正确；
对选项D：，故，解得，
故或，故或，正确.
故选：CD
6．（2023春·广东汕头·高一校考阶段练习）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数有以下四个命题，其中真命题是（ ）
A．函数是奇函数B．，
C．函数是偶函数D．，，
【答案】ACD
【详解】若是有理数，则也是有理数，可得，则不是奇函数，故A错误；
当时，，，，此时，故B正确；
若是有理数，则；若是无理数，，则，又，则，因此，所以函数是偶函数，故C正确；
若是有理数，，则均是有理数，故；若是无理数，，则均是无理数，故，所以，，，故D正确．
故选：BCD.
7．（2023·全国·高三专题练习）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义为:时，.若数列，则下列结论:①的函数图象关于直线对称；②；③；④；⑤.其中正确的是 （填写序号）.
【答案】①④⑤
【详解】对于①：若 ，则 ， ，关于 对称，
若为无理数，则 也是无理数， ，也关于 对称，
若 ，并且是既约的真分数，则，并且是互质的 ，， 也是真分数，若 不是既约分数，则与必定存在公约数 ，不妨假设 ，则有，即存在大于1的公约数，与题设矛盾，故 也是既约分数， ，即关于 对称，故①正确；
对于②， 时， ，故②错误；
对于③，当 时，有 ，，，但当 时 ，故③错误；
对于④，， ，
构造函数 ， ，则 ， 单调递增，
，即当时 ， ，
，
当 时， ，， ，故④正确；
对于⑤，
，故⑤正确；
故答案为：①④⑤