2024年高考数学第二轮复习 专题03 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究切线，单调性问题）（选填压轴题）（学生版+教师版）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc23940" 一、切线问题 PAGEREF _Tc23940 \h 1
\l "_Tc16467" ①已知切线几条求参数 PAGEREF _Tc16467 \h 1
\l "_Tc10545" ②公切线问题 PAGEREF _Tc10545 \h 4
\l "_Tc19941" ③和切线有关的其它综合问题 PAGEREF _Tc19941 \h 10
\l "_Tc18510" 二、单调性问题 PAGEREF _Tc18510 \h 13
\l "_Tc19513" ①已知单调区间求参数 PAGEREF _Tc19513 \h 13
\l "_Tc8437" ②由函数存在单调区间求参数 PAGEREF _Tc8437 \h 15
\l "_Tc4981" ③已知函数在某区间上不单调求参数 PAGEREF _Tc4981 \h 18
\l "_Tc29515" ④利用函数的单调性比大小 PAGEREF _Tc29515 \h 81
一、切线问题
①已知切线几条求参数
1．（2023·全国·高二专题练习）过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】∵，∴，
设切点为，则，切线斜率,
切线方程为，
∵切线过原点，∴，
整理得：,
∵切线有两条，∴，解得或，
∴的取值范围是,
故选：D
8．（2023·陕西宝鸡·统考二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设切点为，
由函数，可得，则
所以在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以，
整理得，
设，所以，
令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得过点可作曲线的三条切线，
则满足，解得，即的取值范围是．
故选：C．
3．（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知点在直线上运动，若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，则点的轨迹长度为（ ）
A．8B．4C．6D．8
【答案】D
【详解】由题意，
设点，过点的直线与曲线相切于点，
∴，的方程为，
∴，化简得，
设，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∵若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，
，
∴满足条件的恰有三个，
∴，即，
∴点的轨迹长度为8.
故选：D.
4．（2023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知只有一条过原点的切线，则 ．
【答案】
【详解】依题意，设切点坐标为，
因为，则，
所以切线的斜率为，
故切线的方程为，
因为切线过原点，所以，整理得，
因为只有一条过原点的切线，
所以方程有且只有一个实数根，
故，即，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
5．（2023春·四川·高二统考期末）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设过点作曲线的切线的切点坐标为，
由求导得：，则切线斜率，
切线方程为，
于是，整理得，
令，求导得，
由，得或，由，得，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，
因为过点作曲线的切线有三条，则方程有3个不等实根，
即函数有3个零点，由三次函数的性质知，，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
6．（2023·全国·高二专题练习）若曲线有三条经过点的切线，则的范围为 ．
【答案】
【详解】由题意，
令，则，
令可得或.
故当和时，单调递增，图象往下凸；
当时，单调递减，图象往上凸.

又经过的切线方程为，即，
令可得，又经过的切线方程为，故当时有三条经过点的切线.
故答案为：
②公切线问题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设直线与相切于点，
与相切于点，
由，所以，
由，
则，
即点，代入直线中有：
， ①
由，
所以，
由，
，
即点，代入直线中有：
， ②
联立①②解得：，
所以，
故选：B.
8．（2023春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设公切线为是与的切点，由，得，
设是与的切点，由，得，
所以的方程为，
因为，整理得，
同理，
因为，整理得，
依题意两条直线重合，可得，
消去，得，
由题意此方程有三个不等实根，设，
即直线与曲线有三个不同的交点，
因为，令，则，
当或时，；当时，，
所以有极小值为，有极大值为，
因为，，，所以，
当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，
故的图象简单表示为下图:
所以当，即时，直线与曲线有三个交点.
故选：A.
3．（2023春·湖北·高二武汉市第四十九中学校联考期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）．
A．86B．83C．15D．11
【答案】D
【详解】解：因为，
所以，由，解得或（舍去），
所以切点为，
因为切点在切线上，解得，
所以切线方程为，
设切点为，
由题意得，解得，
所以，
故选：D
4．（2023春·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为 .
【答案】/0.5
【详解】由题意可知：，
设公切线和相切于，和相切于，
因为就没有垂直于轴的切线，故公切线斜率存在，设公切线斜率为.
于是
由可得，；
由化简整理可得，.
根据可得，，
故，
设，则，
1.当时，显然；
8.当时，则，
令，则，
故在上递增，注意到，
①当时，，；
②当时，，；
综上所述：当时，；当时，；
则在上递增，在上递减，故，
所以的最大值为.
故答案为：.
5．（2023春·安徽六安·高二六安二中校联考期中）设直线l是函数，和函数的公切线，则l的方程是 ．
【答案】
【详解】设直线l与函数的切点为A，
直线l与函数的切点为B，
，所以，
，所以，
所以，
后面等式整理得，
代入前面等式整理得，
化简得，
令，
因为，
所以，
所以，
令，
所以，
容易知道，为减函数，
，
所以恒成立，
所以单调递增，
所以最多一个零点，
容易知道，
所以只有一个解，
故，
所以A点坐标为，
切线斜率为，
所以切线方程为，
即.
故答案为：.
6．（2023春·江苏苏州·高二校联考期中）已知函数.若曲线与曲线有公切线，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【详解】∵，则，
设切点坐标，则切线斜率，
故切线方程为，整理得，
又∵，则，
设切点坐标，则切线斜率，
故切线方程为，整理得，
由题意可得，整理得，
构建，则，
∵，可得，
令，解得；令，解得；
∴在上单调递增，在上单调递减，则，
当x趋近于0时，趋近于正无穷大，当x趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，
可得的值域为，即实数m的取值范围为.
故答案为：.
③和切线有关的其它综合问题
1．（2023春·江西吉安·高二统考期末）若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，由题意知，
则在点处的切线斜率为，
当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，
由，得，则，
所以点到直线的距离.
所以动点到直线的距离的最小值为.
故选：A
8．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．8C．4D．16
【答案】B
【详解】由得，，，即，，
的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，
不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，
显然直线与直线的距离的平方即为所求，
由，得，设切点为，，
则，解得，
直线与直线的距离为，
的最小值为8．
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）若x、a、b为任意实数，若，则最小值为( )
A．B．9C．D．
【答案】C
【详解】由可得在以为圆心，1为半径的圆上，
表示点与点的距离的平方，
即表示圆上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的平方．
设为y＝lnx上一点，且在处的y＝lnx的切线与和连线垂直，可得，
即有，
由在时递增，且，可得m＝1，即切点为，
圆心与切点的距离为，
由此可得的最小值为．
故选：C．

4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，记，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】设，，．
由题意知，的最小值可转化为曲线上的点到
直线上的点的距离的平方的最小值．
易知，曲线与直线没有交点，则
当曲线在点A处的切线平行于B所在的直线，
且AB连线与直线垂直时，两点间距离最小．
由，得，直线的斜率，
令，解得，则，
所以点A到直线的距离，
故M的最小值为．
故答案为：.
5．（2023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）若，则的最小值为 .
【答案】/1.6/
【详解】，，
则表示曲线上的点与直线上的点的距离的平方，
令得，所以曲线在的切线方程为，
所以曲线上的点与直线上的点的距离的最小值即为直线与之间的距离，
即,.
故答案为：
二、单调性问题
①已知单调区间求参数
1．（2023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题可知，在上恒成立，
显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：D．
8．（2023春·吉林松原·高二长春市九台区第一中学校联考期末）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
由在上单调递增，得在上恒成立，
即在上恒成立，，
即在上恒成立，
当时，二次函数取到最大值，
故，即a的取值范围为，
故选：C
3．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，
因为函数在区间上单调递减，
所以对恒成立，即恒成立，
当时，，
所以，即实数a的取值范围是.
故答案为：.
4．（2023春·高二课时练习）已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，
令，则或，
因为是区间上的单调函数，
所以或，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
5．（2023春·高二单元测试）设函数在区间上是减函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因，
，
若，，当时，，符合题意，
当时，得
，因，
故，
由题意在上恒成立，
设，则在上单调递减，
故
故，，
综上，
故答案为：
②由函数存在单调区间求参数
1．（2023春·四川眉山·高二统考期末）若在上存在单调递增区间，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数，求导得，
因为函数在上存在单调递增区间，则不等式在上有解，
而，
当时，，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
8．（2023春·河北邯郸·高二校联考期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
若在区间内存在单调递增区间，则有解，
故，令，则在单调递增，
，故.
故选：D.
3．（2023春·山东泰安·高二统考期末）已知函数在区间上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由已知在上有解，
即在上有解，
设，则在上恒成立，因此在上是增函数，
，
所以，
故选：D．
4．（2023春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数，∴，
∵函数在上存在单调递增区间，，即有解，
令,,∴当时，，即可．
故答案为:
5．（2023春·广西·高二校联考期中）若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】，等价于在有解，即在有解，
即在有解，所以，
令，
则，即在上是增函数，
∴，所以.
故答案为：.
6．（2023·全国·高二专题练习）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】，定义域为，，
由题意可知，存在使得，即.
当时，，
所以，，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
③已知函数在某区间上不单调求参数
1．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
当时，在区间上单调递减，不符合题意.
当，时，，
在区间上单调递减，不符合题意.
当时，令，解得，
要使在区间上不单调，则，
即，解得,
此时在区间上递减；
在区间上递增.
故选：B
8．（2023春·湖南岳阳·高二湖南省岳阳县第一中学校考期末）已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由已知可得，定义域为，.
若，则恒成立，则在上单调递增，与已知不符，舍去；
当时，由可知，或（舍去）.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增.
由已知函数在上不是单调函数，
所以应有，所以.
故选：A.
3．（2023春·四川自贡·高二统考期末）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】函数的定义域为，且，
令，可得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的唯一极值点为，
因为函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，
则函数在区间上存在极值点，且，
所以，，解得.
故选：A.
4．（2023春·上海松江·高二上海市松江一中校考期末）函数在上不单调，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为，所以，
又因为函数在区间上不单调，所以在内有实数根，且无重根，
即有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间内，
①若，则，，
方程的两个实根0和4均不在区间内，所以；
②若，则，，
方程在区间内有实根，所以可以为；
③若方程有一个实根在区间内，另一个实根在区间外，
则，即，；
④若方程在区间内有两个不相等的实根，
则：，∴，
∴；
综合①②③④得的取值范围是．
故答案为：
5．（2023春·陕西西安·高二统考期末）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为函数在上不单调，
所以在上有零点，
即方程在上有根，即方程在上有根，
又函数定义域为，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
6．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是 .
【答案】
【详解】函数，则，
因为n为正整数，当时，，在上存在递增区间；
若在上存在递减区间，即有解，则，
所以，所以正整数的最小值是．
故答案为：．
④利用函数的单调性比大小
1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
，，
所以令，则，
所以当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又因为，所以，
即，所以，又因为，所以.
故选：A.
8．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
故当时，，则，所以，
因为，则，
当时，证明，令，其中，则，
所以函数在上为增函数，故当时，，
所以当时，，则，所以，
所以，因此.
故选：D.
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3．（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知实数：，，，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得，
令，则，当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，则，
即，因此，即，又，
所以．
故选：D