2023-2024学年福建省平山中学、内坑中学、磁灶中学、永春二中、永和中学高一上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省平山中学、内坑中学、磁灶中学、永春二中、永和中学高一上学期期中联考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A=0,-a，B=1,a-2,2a-2，若A⊆B，则a=．( )
A. 2B. 1C. 23D. -1
2.命题“∃x∈R，使得x2+3x+2<0”的否定是
( )
A. ∀x∈R，均有x2+3x+2≤0B. ∀x∈R，均有x2+3x+2≥0
C. ∃x∈R，有x2+3x+2>0D. ∃x∈R，有x2+3x+2≤0
3.函数fx=2x+1 3x-2+(x-1)0的定义域为
( )
A. 23,+∞B. 23,1∪1,+∞
C. 23,1∪1,+∞D. -23,+∞
4.已知集合A={0,1,2}，那么
( )
A. 0⊆AB. 0∈A
C. {1}∈AD. 集合A的真子集个数为8
5.已知a,b为实数，则“a>b>0”是“1a<1b”的
( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3在区间(-∞,4]上单调递增，则m的取值范围是
．( )
A. B. [3,+∞)C. (-∞,5]D. (-∞,-3]
7.某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中同时参加数、理、化三科竞赛的有7名，没有参加任何竞赛的学生共有10名，若该班学生共有51名，则只参与两科竞赛的同学有人( )
A. 19B. 18C. 9D. 29
8.[2020山东卷]若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是
( )
A. [-1,1]∪[3,+∞)B. [-3,-1]∪[0,1]C. [-1,0]∪[1,+∞)D. [-1,0]∪[1,3]
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知函数f(x)=x+2,x≤1-x2+3,x>1，关于函数f(x)的结论正确的是( )
A. f(x)的最大值为3B. f(0)=2
C. 若f(x)=-1，则x=2D. f(x)在定义域上是减函数
10.函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是
( )
A. f(0)=0
B. 若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1，则f(x)在(-∞,0]上有最大值1
C. 若f(x)在[1,+∞)上为增函数，则f(x)在(-∞,-1]上为减函数
D. 若x>0时，fx=x2-2x，则x<0时，fx=-x2-2x
11.下列说法正确的是( )
A. x+1x的最小值为2B. x2+1的最小值为1
C. x2-x的最大值为2D. x2+7x2+2最小值为2 7-2
12.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(-∞,0]单调递减，则
( )
A. f(f(1))C. g(f(1))三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.不等式x2+6x+8>0的解集为______．
14.已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在区间0,+∞上是减函数，则m的值为 ．
15.写出一个定义域为R，在0,+∞单调递增的偶函数fx=____________________．
16.若“x2-3x-4>0”是“x2-3ax-10a2>0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知全集U=R，集合A=x|m-1(1)当m=4时，求A∪B和A∩∁RB；
(2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知不等式a+1x2-4x-6<0的解集是x-1(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，求m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知a+10b=1a>0,b>0．
(1)求ab的最大值；
(2)求1a+1b的最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x-1x+1．
(1)求函数的定义域；
(2)试判断函数在(-1,+∞)上的单调性，并用定义证明；
(3)试判断函数在x∈[3,5]的最大值和最小值．
21.(本小题12分)
世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽(柴)油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x(百辆)，需另投入成本Cx(万元)，且Cx=10x2+100x,0(1)求出2022年的利润Lx(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，且f(1)=-2．
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1,2]时，不等式f(x2-mx)+f(x)<4恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据包含关系分 a-2=0 和 2a-2=0 两种情况讨论，运算求解即可．
解：因为 A⊆B ，则有：
若 a-2=0 ，解得 a=2 ，此时 A=0,-2 ， B=1,0,2 ，不符合题意；
若 2a-2=0 ，解得 a=1 ，此时 A=0,-1 ， B=1,-1,0 ，符合题意；
综上所述： a=1 ．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】依据命题的否定的书写即可
解：根据命题的否定的书写，存在量词变全称量词，后续结论相反可知，该命题的否定为“ ∀x∈R ，均有 x2+3x+2≥0 ”，
故选：B
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求具体函数定义域，属于基础题．
要使函数f(x)有意义，则需3x-2>0x-1≠0，求解可得答案．
【解答】
解：要使函数fx=2x+1 3x-2+(x-1)0有意义，
则需3x-2>0x-1≠0，解得x>23且x≠1，
所以函数fx=2x+1 3x-2+(x-1)0的定义域为23,1∪1,+∞，
故选B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查元素与集合、集合与集合的关系以及真子集，属于基础题．
根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断．
【解答】
解：集合A中有三个元素0，1，2，故其真子集个数为23-1=7，因此D错误；
元素与集合间是属于与不属于的关系，集合与集合之间是包含与不包含的关系，A、C错误；
故选B．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系，进行判断即可．
【解答】
解：当a>b>0时，则1a<1b成立，即充分性成立；
当1a<1b，则可能a<0，b>0，即必要性不成立，
故“a>b>0”是“1a<1b”的充分而不必要条件．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性解决参数问题，属于基础题．
先求出抛物线的对称轴x=-2(1-m)-2=1-m，而抛物线的开口向下，且在区间(-∞,4]上单调递增，所以1-m⩾4，从而可求出m的取值范围．
【解答】
解：函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3的图象的对称轴为x=-2(1-m)-2=1-m，图象开口向下，
又因为函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3在区间(-∞,4]上单调递增，
所以1-m⩾4，解得m⩽-3，
所以m的取值范围为(-∞,-3]．
故选D．
7.【答案】A
【解析】【分析】设只参加数理的有a人，只参加数化的有b人，只参加理化的有c人，由题意画出Venn图求解．
解：设只参加数理的有a人，只参加数化的有b人，只参加理化的有c人，
由题意画出Venn图，如图所示：

则只参加数学竞赛的有： 26-a+b+7 人，只参加物理竞赛的有 25-a+c+7 人，只参加化学竞赛的有： 23-b+c+7 人，
所以参加竞赛的有 26-a+b+7 +25-a+c+7 +23-b+c+7+a+b+c+7=60-a+b+c 人，
由题意得 60-a+b+c=51-10 ，
解得 a+b+c=19 ，
所以只参与两科竞赛的同学有19人，
故选：A
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，是解决本题的关键．
根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．
【解答】
解：由题意知f(x)在(-∞,0)，(0,+∞)单调递减，且f(-2)=f(2)=f(0)=0．
当x>0时，令f(x-1)≥0，得0≤x-1≤2，∴1≤x≤3；
当x<0时，令f(x-1)≤0，得-2≤x-1≤0，∴-1≤x≤1，
又x<0，∴-1≤x<0；当x=0时，显然符合题意．
综上，原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3]，
故选D．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的应用，利用函数最值和单调性的性质分别进行判断是解决本题的关键，是基础题．
根据分段函数的表达式分别进行判断即可．
【解答】
解：当x≤1时，f(x)=x+2是增函数，则此时f(x)≤f(1)=3，
当x>1，f(x)=-x2+3为减函数，则此时f(x)<-1+3=2，
综上f(x)的最大值为3，故A正确;
f(0)=0+2=2，故B正确;
当x≤1时，由f(x)=-1时，得x+2=-1，此时x=-3也成立，故C错误;
当x≤1时，f(x)=x+2是增函数，
则f(x)在定义域上不是减函数，故D错误．
故答案选 AB．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，单调性与最值，考查函数的解析式，属于基础题．
根据奇函数的定义与性质判断选项即可．
【解答】
解：由f0=-f0得f0=0，A正确；
当x⩾0时，fx⩾-1，则x⩽0时，f-x⩾-1，
fx=-f-x⩽1，最大值为1，B正确；
若fx在[1,+∞)上为增函数，则fx在(-∞,-1]上为增函数，C错；
若x>0时，fx=x2-2x，则x<0时，-x>0，
fx=-f-x=--x2-2-x=-x2-2x，D正确．
故选：ABD．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值以及求二次函数的最值，属于基础题．
根据基本不等式以及二次函数的性质逐项验证，即可求出结果．
【解答】
解：当x<0时，x+1x=-(-x+1-x)⩽-2 (-x)·(1-x)=-2，当且仅当-x=1-x，即x=-1时等号成立，故A不正确；
因为x2⩾0，所以x2+1⩾1，即x2+1的最小值为1，故B正确；
因为x2-x=-x2+2x=-x-12+1⩽1，所以x(2-x)的最大值为1，故C不正确；
因为x2+7x2+2=x2+2+7x2+2-2⩾2 (x2+2)·(7x2+2)-2=2 7-2，当且仅当x2+2=7x2+2，
即x2= 7-2时等号成立，
所以x2+7x2+2最小值为2 7-2，故D正确．
故选BD．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，属于中档题．
由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合f(1)g(1)>g(2)逐项判断即可．
【解答】
解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(-∞,0]上单调递减，
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，g(x)在[0,+∞)上单调递减，则g(x)在R上单调递减，
所以f(1)g(1)>g(2)，
所以fg1gf2，gg1所以BD正确， C错误;
若|f(1)|>|f(2)|，则f(f(1))>f(f(2))，A错误．
故选BD．
13.【答案】-∞,-4∪-2,+∞
【解析】【分析】把不等式化简为 x+2x+4>0 ，求出解集即可．
解：∵不等式 x2+6x+8>0 等价于 x+2x+4>0 ，
所以不等式的解集为 -∞,-4∪-2,+∞ ．
故答案为： -∞,-4∪-2,+∞ ．
14.【答案】-1
【解析】【分析】
本题考查幂函数的定义与性质，属于基础题．
根据幂函数的定义和性质得m2-3m-3=1m<0，解出即可．
【解答】解：因为f(x)=(m2-3m-3)xm是幂函数，
所以m2-3m-3=1，即m2-3m-4=0，
解得m=-1或m=4，
又幂函数f(x)在区间0,+∞上是减函数，
所以m<0，故m=-1．
故答案为：-1．
15.【答案】x
【解析】【分析】举例 fx=x ，再证明其符合题意即可．
解： fx=x ，此函数定义域为 R ，关于原点对称，
当 x∈0,+∞ ， fx=x ，易知其单调递增，
f-x=-x=x=fx ，则 fx 为偶函数．
故答案为： x (答案不唯一)．
16.【答案】-∞,-2∪45,+∞
【解析】【分析】设不等式 x2-3x-4>0 的解集为集合 A ，不等式 x2-3ax-10a2>0 的解集为集合 B ，根据题意可得 B⊂≠A ，根据一元二次不等式的解法分别求出集合 A,B ，从而可得出答案．
解：由 x2-3x-4>0 ，得 x>4 或 x<-1 ，即不等式的解集为 A={xx4 或 x<-1} ，
由 x2-3ax-10a2>0 ，得 x+2ax-5a>0 ，
若 a=0 ，则不等式的解为 x≠0 ，此时不等式的解集为为 B={x|x≠0} ，
若 a>0 ，则不等式的解集为 B={xx5a 或 x<-2a} ，
若 a<0 ，不等式的解集为 B={xx-2a 或 x<5a} ，
若“ x2-3x-4>0 ”是“ x2-3ax-10a2>0 ”的必要不充分条件，
则 B⊂≠A ，
则当 a=0 时，不满足条件．
当 a>0 时则满足 5a≥4-2a<-1 ，即 a≥45a>12 ，得 a≥45 ，
当 a<0 时，则满足 -2a≥45a≤-1 ，得 a≤-2a≤-15 ，得 a≤-2 ，
综上实数 a 的取值范围 -∞,-2∪45,+∞ ．
故答案为： -∞,-2∪45,+∞ ．
17.【答案】解：(1)当 m=4 时，集合 A=x|x|3因为 B=x|x<4 ，所以 ∁RB=x|x≥4 ．
所以 A∪B=x|x<5 ， A∩∁RB=x|4≤x<5
(2)因为“ x∈A ”是“ x∈B ”成立的充分不必要条件，
所以 A 是 B 的真子集，而 A 不为空集，
所以 m+1≤4 ，因此 m≤3 ．

【解析】【分析】(1)根据集合并集、交集、补集运算求解即可；
(2)根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可
18.【答案】解：(1)因为不等式 a+1x2-4x-6<0 的解集是 x-1所以-1和3是方程 a+1x2-4x-6=0 的解，
把 x=-1 代入方程解得 a=1 .经验证满足题意
(2)若关于x的不等式 ax2+mx+4≥0 的解集为R，即 x2+mx+4≥0 的解集为R，
所以 Δ=m2-16≤0 ，
解得 -4≤m≤4 ，所以m的取值范围是 -4,4 ．

【解析】【分析】(1)由题意可得-1和3是方程 a+1x2-4x-6=0 的解，将 x=-1 代入方程中可求出a的值；
(2)由 x2+mx+4≥0 的解集为R，可得 Δ≤0 ，从而可求出m的取值范围
19.【答案】解：(1)因为 a>0 ， b>0 ，所以 a+10b=1≥2 10ab ，
所以 ab≤140 ，
当且仅当 a=10b ，即 a=12,b=120 时，等号成立，
所以ab的最大值为 140 ．
(2)因为 a+10b=1a>0,b>0 ，
所以 1a+1b=a+10b1a+1b=11+10ba+ab≥11+2 10ba⋅ab=11+2 10 ，
当且仅当 10ba=ab ，即 a= 10-19,b=10- 1090 时，等号成立，
所以 1a+1b 的最小值为 11+2 10 ．

【解析】【分析】(1)直接利用基本不等式求解即可；
(2)利用“1”的代换，将原式变形后再利用基本不等式求解即可．
20.【答案】解：(1)∵f(x)= 2x-1x+1 ，∴x+1≠0，∴x≠-1，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}．
(2)∵f(x)= 2x-1x+1 =2- 3x+1 ，∴函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数．
证明如下：任取x1，x2∈(-1,+∞)，且x1∵-10，∴x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，
∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)(3)∵函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数，
∴f(x)在x∈[3,5]上单调递增，
∴函数f(x)在x∈[3,5]上的最大值为f(5)=2- 35+1 = 32 ，最小值为f(3)=2- 33+1 = 54 ．

【解析】【分析】(1)根据函数f(x)有意义，列出不等关系求解即可；
(2)先分离常数转化函数为f(x)= 2x-1x+1 =2- 3x+1 ，根据反比例函数的单调性判断函数单调性，再利用定义证明即可；
(3)结合(2)中函数单调性求解即可
21.【答案】解：(1)由题意知利润Lx=收入-总成本，
所以利润L(x)=5x×100-2000-C(x)=-10x2+400x-2000,0故2022年的利润Lx(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式为L(x)=-10x2+400x-2000,0(2)当0故当x=20时，L(x)max=2000；
当x≥40时，L(x)=-x-10000x+2500≤-2 x⋅10000x+2500=2300，
当且仅当x=10000x，即x=100时取得等号；
综上所述，当产量为100(百辆)时，取得最大利润，最大利润为2300万元．

【解析】本题主要考查利用分段函数模型解决实际问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．
(1)根据利润Lx=收入-总成本，即可求得Lx(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)分段求得函数Lx的最大值，比较大小可得答案．
22.【答案】解：(1)因为函数 fx 的定义域为R，
令 x=1,y=0 ，所以 f1=f1+f0 ，即 f0=0 ，
令 y=-x ，所以 f0=fx+f-x=0 ，即 f-x=-fx ，
所以函数 fx 为奇函数．
(2)不妨设 x10 ， fx2-fx1<0 ，即 fx2(3)由(1)可知，函数 fx 为奇函数，而 f2=f1+f1=-4 ，所以 f-2=4 ，故原不等式可等价于 fx2-mx+x-2 ，又 x∈1,2 ，所以 m
【解析】【分析】(1)根据题意赋值以及奇函数、偶函数的定义即可证出；
(2)根据单调性的定义即可判断并证明；
(3)先利用赋值法可求出 f-2=4 ，从而原不等式可化为 fx2-mx+x-2 ，然后通过分离参数求最值即可解出．