2021-2022学年天津市河西区九年级上学期数学期中试卷及答案

这是一份2021-2022学年天津市河西区九年级上学期数学期中试卷及答案，共19页。试卷主要包含了 在平面直角坐标系中，点， 在抛物线上的点为， 二次函数的图象不经过的象限为， 下列命题错误的是， 理由见解析等内容，欢迎下载使用。

1. 在平面直角坐标系中，点（5，2）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A. （-2，-5）B. （-5，2）C. （-5，-2）D. （-2，5）
【答案】C
【解析】
【分析】根据横坐标变成相反数，纵坐标也变成相反数确定即可．
【详解】∵点（5，2）关于原点对称的点的坐标为（-5，-2），
故选C．
【点睛】本题考查了坐标系中原点对称问题，熟练掌握对称时坐标的变化规律是解题的关键．
2. 以下冬奥会图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义狐疑判断即可．
【详解】∵A不是中心对称图形,
∴A不符合题意；
∵B不是中心对称图形,
∴B不符合题意；
∵C是中心对称图形,
∴C符合题意；
∵D不是中心对称图形,
∴D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形即一个图形绕某点旋转180°后与原图形重合，熟练掌握定义是解题的关键．
3. 在抛物线上的点为（ ）
A. （0，4）B. （1，-4）C. （-1，-5）D. （2，-4）
【答案】D
【解析】
【分析】把各个点的坐标代入验证即可．
【详解】A、当x=0时，y=x2-4x=0，因此(0，4)不在抛物线y=x2-4x上；
B、当x=1时，y=x2-4x=1-4×1=1-4=-3，因此(1，-4)不在抛物线y=x2-4x上；
C、当x=-1时，y=x2-4x=1-4×（-1）=5，因此(-1，-5)不在抛物线y=x2-4x上；
D、当x=2时，y=x2-4x=4-2×4=-4，因此(2，-4)在抛物线y=x2-4x上．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法．
4. 二次函数的图象不经过的象限为（ ）
A. 第一象限、第四象限B. 第二象限、第四象限
C. 第三象限、第四象限D. 第一象限、第三象限、第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，开口方向，与轴的交点，可确定抛物线的大致位置，判断其不经过的象限．
【详解】解：抛物线
顶点坐标为，在轴上，
且开口向上，
抛物线不经过第三象限，第四象限；
故选：C．
【点睛】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断．
5. 如图，在⊙中，半径于点H，若，则∠ABC的度数为（ ）
A 20°B. 25°C. 30°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直求出∠AHO=90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠AOC，根据圆周角定理得出∠ABC=∠AOC，代入求出答案即可．
详解】解：∵OC⊥AB，
∴∠AHO=90°，
∵∠OAB=40°，
∴∠AOC=90°-∠OAB=90°-40°=50°，
∴∠ABC=∠AOC=×50°=25°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，能根据圆周角定理得出∠ABC=∠AOC是解此题的关键．
6. 下列命题错误的是（ ）
A. 直径是圆中最长的弦B. 圆内接平行四边形一定是矩形
C. 圆内接四边形的对角互补D. 相等的圆心角所对的弧相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据确定圆的性质以及圆周角定理和圆内接四边形的性质分别判断进而得出答案即可．
【详解】解：A.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径．通过直径的定义可知，在一个圆中，圆内最长的线段一定是直径，故此选项正确，不符合题意；
B.因为矩形的对角互补，符合圆内接四边形的性质；故圆的内接平行四边形是矩形正确，故此选项正确，不符合题意；
C.圆内接四边形的对角互补，故此选项正确，不符合题意；
D.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故此选项错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了确定圆的性质以及圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识，熟练利用相关知识是解题关键．
7. 方程x2+x-12=0的两个根为（ ）
A. x1=-2，x2=6B. x1=-6，x2=2C. x1=-3，x2=4D. x1=-4，x2=3
【答案】D
【解析】
【分析】将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．
【详解】x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0
则x+4=0，或x﹣3=0
解得：x1=﹣4，x2=3．
故选D．
【点睛】考点：解一元二次方程-因式分解法
8. 如图，在⊙O中，点A，B在圆上，∠AOB=120°，弦AB的长度为4，则半径OA的长度为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点O作OD⊥AB，垂足为D，利用垂径定理，三角函数求解即可．
【详解】过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∵OA=OB，∠AOB=120°，AB=4，
∴AD=BD=AB=2，∠AOD=60°，
∵=sin∠AOD= sin60°=，
∴OA==4，
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形三线合一，特殊角的三角函数，灵活运用以上知识是解题的关键．
9. 将抛物线向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移规律确定解析式，后化成一般式即可．
【详解】将抛物线向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的解析式为:
，
∴化成一般式为；
故选:C．
【点睛】本题考查了二次函数平移，熟练二次函数平移规律左加右减，上加下减是解题的关键．
10. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明
，即D选项正确；
【详解】由旋转可知，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵为钝角，
∴，
∴，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴，故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
11. 如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点O逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B＇的坐标为（ ）
A. （，）B. （－1，）
C. （－，）D. （－，）
【答案】A
【解析】
【分析】如图，作点B作BH⊥OA于H，设BB′交y轴于J．求出点B的坐标，证明B，B′关于y轴对称，即可解决问题．
【详解】解：如图，故点B作BH⊥OA于H，设BB′交y轴于J．
∵A（1，0），
∴OA=1，
∵△AOB是等边三角形，BH⊥OA，
∴OH=AH=OA=，BH=OH=，
∴B（，），
∵∠AOB=∠BOB′=60°，∠JOA=90°，
∴∠BOJ=∠JOB′=30°，
∵OB=OB′，
∴BB′⊥OJ，
∴BJ=JB′，
∴B，B′关于y轴对称，
∴B′（-，），
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换，轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12. 已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①抛物线对称轴位于y轴的右侧，a，b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．
所以abc＞0．
故①正确．
②由抛物线与x轴有两个交点可得b2-4ac＞0．
故②正确．
③根据图象知道当x=1时，y=a+b+c＜0．
故③错误；
④抛物线开口方向向下，则a＞0．
由于对称轴是x=，且=1，
所以2a=-b，
当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0．
所以2a+a+c＜0，即3a+c＜0．
故④正确．
故选C
【点睛】主要考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题
13. 方程x2=2的解是_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：直接开平方得：.
故答案为：．
14. 若正方形的边长为x，面积为y，则y与x之间的关系式为_______（）．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的面积公式列出函数关系式即可;
【详解】y=x2
【点睛】本题考查列函数关系式，掌握正方形的面积公式是得出函数关系式的前提．
15. 抛物线与y轴的交点坐标为______．
【答案】（0，1）
【解析】
【分析】将代入抛物线解析式即可求得抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
故答案为：（0，1）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16. 二次函数（a，b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
则它的顶点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据表中数据的对称性即可得出．
【详解】解：根据表中：，
，
图象关于对称，
，
它的顶点坐标为，
故答案是：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，解题的关键是利用函数的对程序求解．
17. 如图，已知内接于⊙，，，点是⊙上一点．若为⊙的直径，连接，则的大小为_______．
【答案】21°
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得，根据BD是直径得，根据同弧所对的圆周角相等得，则，即可得．
【详解】解：∵AB=AC，
∴，
∵BD是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点．
18. 如图①，，，，为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是__________；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是__________．
【答案】 ①. 过与交点O的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分 ②. ，，，为所求
【解析】
【分析】利用中心对称图形进行分析即可．
【详解】解：，，如图①（提示：答案不唯一，过与交点O的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；
，O，如图②（提示：答案不唯一，如，，，等均可）．
【点睛】本题考查了图形的对称中心,可根据所给的圆的圆心组成的图形的形状进行分析．注意：过中心对称图形的中心的任意一条直线都可以把图形的面积等分．
三、解答题
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用开方法求解即可；
（2）利用配方法及直接开方法进行求解．
【详解】解：（1），
，
解得：，
（2），
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开方法及配方法．
20. 已知抛物线与轴有两个不同的交点.
(1)求的取值范围；
(2)若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明理由.
【答案】(1) 的取值范围是； (2). 理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由二次函数与x轴交点情况，可知△＞0；
（2）求出抛物线对称轴为直线x=1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；
【详解】(1).
由题意，得，
∴
∴的取值范围是.
(2). 理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线，
又∵，
∴当时，随的增大而增大.
∵，∴.
【点睛】本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．
21. 如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在的延长线上，连接．AC，DE相交于点P．
（Ⅰ）求证：△ADB是等边三角形；
（Ⅱ）直接写出∠APD的度数______．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60°
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据旋转的性质，以及等边三角形的判定方法即可证明；
（Ⅱ）根据旋转的性质，以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】（Ⅰ）证明：∵△ABC绕点B顺时针旋转得到，
∴△ABC≌△DBE，
∴ BA = BD，∠ABD=，
∴△ADB是等边三角形；
（Ⅱ）解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠BAC=∠BDE，
∵∠AFB=∠DFP，
∴∠BAF+∠ABF =∠FDP+∠APD，
∴∠APD=∠ABF=60°，
故答案为：60°．
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
22. 如图，已知BC为⊙O的直径，BC=5，AB=3，点A点B点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求，的长．
【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）=．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据直径所对的圆周角等于直角，进而根据勾股定理即可求得的长；
（Ⅱ）根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD，进而可得，，根据勾股定理即可求得，的长．
【详解】解：（Ⅰ）连接OD，
∵为直径，
∴．
在中，
．
（Ⅱ）∵ 平分，
∴ ∠CAD=∠BAD，
∴．
在中，，，
∴ ．
【点睛】本题考查了直角所对的圆周角等于直角，等弧所对的圆周角相等，等弧和弦的关系，掌握以上知识是解题的关键．
23. 如图所示，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AC +BD=10cm，菱形面积是12cm2，求菱形ABCD的周长．
【答案】这个菱形的周长为．
【解析】
【分析】设AC=a cm ，BD=b cm，其中，根据题意得，求出AC=4，BD=6，运用勾股定理求出菱形的边长即可得到结论．
【详解】解：如图，设AC=a cm ，BD=b cm，其中，，
由题意得，，
解得，，或（舍去）
∴AC=4，BD=6，
∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，
∴AO=2，OD=3，AC⊥BD
由勾股定理得AD==．
由于菱形四条边相等，则该菱形的周长为．
答：这个菱形的周长为．
【点睛】本题考查了菱形性质、勾股定理，解题的关键是根据题意列方程组与勾股定理解题．
24. 如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC<60°，AB=AC，D为BC边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．
（Ⅰ）依题意补全图形；
（Ⅱ）①当∠BAC=40°时，直接写出∠AFE的度数________；
②当∠BAC=时，求∠AFE的度数；
（Ⅲ）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系（直接写出结果即可）．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）①60°；②60°；（Ⅲ）．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据题意画出图形即可；
（Ⅱ）①根据旋转的性质，等腰三角形等边对等角，三角形外角的性质可得结果；
②根据①中计算过程得出结论；
（Ⅲ）在上取点，使，连接，即可得出，然后得出是等边三角形，即可得出结论．
【详解】解：（Ⅰ）依题意补全图形，如图，
（Ⅱ）①，为边的中点，
；
线段绕点逆时针旋转得到线段
∴，
，
故答案为：；
②解：，为边的中点，
；
线段绕点逆时针旋转得到线段
在中，
即
（Ⅲ）
证明：如图，在上取点，使，连接，
∵,
∴，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解本题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，BO=BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为．
①当时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
②矩形沿轴向右平移的过程中，求面积的最大值（直接写出结果即可）．
【答案】（Ⅰ）（2，2）；（Ⅱ）①当时，；当时，；②．
【解析】
【分析】（1）过点作，分别计算出OH，BH即可得解；
（2）①分两种情况计算即可；②当时，面积最大，列出关于t的二次函数计算即可；
【详解】解：（Ⅰ）如图，过点作，垂足为．
由点，得．
∵，，
∴．
∴．
∴点的坐标为．
（Ⅱ）①如图所示：
当时，
∵，，
∴，
∴；
当时，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，
当时面积最大，
此时，，，
∴，
∴当时，．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平移综合，二次函数最值求解，准确计算是解题的关键．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
0
﹣3
﹣4
﹣3
…