重庆市2022届高三学业质量调研抽测（第二次）数学试题(含答案)

这是一份重庆市2022届高三学业质量调研抽测（第二次）数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知复数z满足,其中i为虚数单位,则( )
A.10B.5C.D.
2、已知集合,,若有且只有2个元素,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
3、若非零实数a,b满足,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
4、《巴黎协定》是2016年4月22日签署的气候变化协定,该协定为2020年后全球应对气候变化的行动作出了统一安排,中国政府一直致力于积极推动《巴黎协定》的全面有效落实.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的数量不得超过1%.已知该工厂产生的废气在过滤过程中污染物的数量P(单位:毫克)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系式为(k,均为正常数,e为自然对数的底数).如果在前3小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么排放前至少还需要过滤的时间是( )
A.小时B.3小时C.5小时D.6小时
5、若,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则下列说法正确的是( )
A.“”是“”的充要条件
B.“”是“”的必要不充分条件
C.“”是“”的必要不充分条件
D.“”是“”的充分不必要条件
6、已知王大爷养了5只鸡和3只兔子,晚上关在同一间房子里,清晨打开房门,这些鸡和兔子随机逐一向外走,则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为( )
A.B.C.D.
7、已知,若对任意恒成立,则实数m的最大值为( )
A.2B.4C.D.
8、已知点O,A,B是同一平面内不同的三个点,且,若,的最小值为,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知直线,圆,则下列结论正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.直线l与圆C恒有两个公共点
C.直线l与圆C的相交弦长的最大值为
D.当时,圆C与圆关于直线l对称
10、设数列的前n项和为,已知,且,则下列结论正确的是( )
A.是等比数列B.是等比数列
C.D.
11、已知双曲线的左,右顶点分别为A,B,左,右焦点分别为,,点P是双曲线C的右支上一点,且三角形为正三角形(O为坐标原点),记PA,PB的斜率分别为,,设I为的内心,记,,的面积分别为,,,则下列说法正确的是( )
A.B.双曲线C的离心率为
C.D.
12、半正多面体(semiregularslid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.传统的足球,就是根据这一发现而制成,最早用于1970年的世界杯比赛.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若这个二十四等边体的棱长都为2,则下列结论正确的是( )
A.平面AEMH
B.异面直线BC和EA所成角为
C.该二十四等边体的体积为
D.该二十四等边体外接球的表面积为
三、填空题
13、若的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为________.
14、已知定义域为R的函数满足且,则函数的解析式可以是________.
15、设a,b,c分别为的内角A,B,的对边,已知,则的值为________.
16、已知函数(e为自然对数的底数),若关于x的方程有且仅有四个不同的解,则实数k的取值范围是________.
四、解答题
17、已知角,(,)的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,点,分别在角,的终边上.
（1）设函数,,求函数的值域;
（2）若点在角的终边上,且线段的长度为,求的面积.
18、设为数列的前n项和,已知,.若数列满足,,.
（1）求数列和的通项公式;
（2）设,求数列的前2n项的和.
19、如图,在几何体中,四边形ABCD为平行四边形,平面平面ABCD,,,都垂直于平面ABCD,E,F分别为,AB的中点.已知,.
（1）求证:;
（2）求二面角的正弦值.
20、2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率,对该项产品进行了科技创新和市场开发,经过一段时间的运营后,统计得到x,y之间的五组数据如下表:
其中,x(单位:百万元)是科技创新和市场开发的总投入,y(单位:百万元)是科技创新和市场开发后的收益.
（1）求相关系数r的大小(精确到0.01),并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度;
（2）该公司对该产品的满意程度进行了调研,在调研100名男女消费者中,得到的数据如下表:
是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关?
（3）对（2）中调研的45名女消费者,按照其满意程度进行分层抽样,从中抽出9名女消费者到公司进行现场考察,再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研,设这4人中选择“满意”的人数为X,求X的分布列及数学期望.
参考公式:①;
②,其中.
临界值表:
参考数据:.
21、已知椭圆的左焦点为,不过坐标原点O且不平行于坐标轴的直线l与椭圆C有两个交点A,B,线段AB的中点为Q,直线OQ的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若过点F的直线m交椭圆C于点M,N,且满足,求直线m的方程.
22、已知函数.
（1）判断函数是否存在极值,并说明理由;
（2）设函数,若存在两个不相等的正数,,使得,证明:.
参考答案
1、答案：B
解析:
所以
故选:B
2、答案：A
解析:,
有且只有2个元素,
.
故选:A.
3、答案：D
解析:对于A中,由,因为,可得,当ab不确定,所以A错误;
对于B中,只有当,,a,b不相等时,才有成立,所以B错误;
对于C中,例如,,此时满足,但,所以C错误;
对于D中,由不等式的基本性质,当时,可得成立,所以D正确.
故选:D.
4、答案：B
解析:由题意,前3个小时废气中的污染被过滤掉了90%,
因为,所以,所以,即,
因为按规定排放废气,所以,即,解得,
所以还需要过滤小时.
故选:B.
5、答案：C
解析:若,,则;若,,则无法判断m与的关系,故“”是“”的充分不必要条件,故AB错误;
若,,则无法判断与的关系;若,,则;故“”是“”必要不充分条件,故C正确,D错误.
故选:C.
6、答案：D
解析:5只鸡,3只兔子走出房门,共有种不同的方案,
其中恰有2只兔子相邻走出房子的方案为:先排5只鸡,会产生6个空隙,再从3只兔子中选2只捆绑排列,最后与剩下的兔子排列到6个空隙中共有:种方案,
故恰有2只兔子相邻走出房子的概率为:.
故选:D.
7、答案：B
解析:,
因为对任意恒成立,且,
所以,对任意恒成立
令,由基本不等式易得,当时,取得最小值,且,
故选:B
8、答案：D
解析:设,,
所以,
设,点A关于OB对称的点为,与OB交于点H,与OB交于点,
则当点M位于位置时,取得最小值,
在中,,,,
所以由余弦定理得:,解得:,
所以,
所以
故选:D
9、答案：ABD
解析:对于A选项,因为直线可变形为,所以直线l恒过定点,故A选项正确;
对于B选项,因为,所以点在圆内,故直线与圆C相交,由两个公共点,故B选项正确;
对于C选项,对于圆,圆心为,半径为,当直线线l与圆C相交,故相交弦长的最大值为圆C的直径,即为,故C选项错误;
对于D选项,当时,直线,故圆的圆心关于对称的点的坐标为,所以圆关于对称的圆的方程为,故D选项正确.
故选:ABD
10、答案：BC
解析:由题意得,故是首项为2,公比为2的等比数列,
,则.故B,C正确,A错误
,
,
两式相减得:,故D错误.
故选:BC
11、答案：ABD
解析:因为为正三角形,所以
所以,
所以
故A正确
将P点坐标代入双曲线方程可得
即
即
即
即
设(),则
解之得:或(舍)
所以,所以
故B正确
故C错误
设的内切圆半径为r,则,,
所以,即,故D正确
故选:ABD
12、答案：BCD
解析:对于A中,若平面AEMH,因为平面,所以,
又因为为等边三角形,所以,所以A不正确;
对于B中,因为,所以异面直线BC和EA所成角即为直线AD和EA所成角
设角,在正六边形ADGPNE中,可得,
所以异面直线BC和EA所成角为,所以B正确;
对于C中,补全八个角构成一个棱长为的一个正方体,
则该正方体的体积为,
其中每个小三棱锥的体积为,
所以该二十四面体的体积为,所以C正确;
对于D中,取正方形ACPM对角线的交点为O,即为该二十四面体的外接球的球心,
其半径为,
所以该二十四面体的外接球的表面积为,所以D正确.
故选:BCD.
13、答案：45
解析:因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,所以,
展开式的通项为,
令得,所以展开式中的常数项为.
故答案为:.
14、答案：(答案不唯一);
解析:由题意,函数满足且,
可得函数是定义域R上的奇函数,且周期为2,
可令函数的解析式为(答案不唯一);
故答案为:(答案不唯一);
15、答案：
解析:因为,所以
则
故答案为:
16、答案：
解析:令,可得,
所以函数为偶函数,
由题意可知当时,有两个零点,
当时,,,
即当时,,
由,可得,即方程在上有两个正数解,
函数的导函数为在上恒成立,
作出函数与直线大致图象如下图
方程在上有两个正数解,恒过点,
,
由,相切,设切点为,
由可得,故切线的斜率为,
所以切线的方程为,
由切线过,可得,
解得或(舍去),
故切线的斜率为,即,
所以当时,直线与曲线由两个交点,
综上可得实数k的取值范围是.
故答案为:.
17、答案：（1）
（2）
解析:（1）的终边过点,,.
,.
则,
,,,,
即的值域是.
（2）的终边过点,
,.
,,.
由余弦定理可得,,
,解得.
,
C为OB的中点,
则的面积
18、答案：（1）,
（2）
解析:（1）由,①,得:
当时,,解得或(负值舍去),
当时,②,
①-②得:,
所以,所以数列是以3为首项,2为公差的等差数列.
所以.
因为数列满足,,.
所以数列是等比数列,首项为2,公比为2.
所以.
（2）因为,所以,
所以
.
19、答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析:（1）在中,,,,
根据余弦定理得,
,
,,,
四边形ABCD为平行四边形,,,
又平面ABCD,,
,平面,
又平面,;
（2）平面ABCD,,
以DA,DB,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,.
,,,
设平面的法向量为,
则且,
即且,
令,则.
设平面的法向量为,
则且,即且.
令,则.
,
二面角的正弦值为.
20、答案：（1）0.84,科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性.
（2）有
（3）分布列见解析,
解析:（1）由题意可得,,
,
,
.
“科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性.
（2）由题意:
,
有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关.
（3）易知9人中满意的有5人,不满意的有4人
由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,4,
;
;
;
;
,
X的分布列为:
.
21、答案：（1）
（2）或
解析:（1）由题意,椭圆C的左焦点为,所以,
设,,由题意可得,,
则,即.
因为,所以,即,所以,,
所以椭圆C的方程为.
（2）当直线m的斜率存在时,设直线,点,,
联立方程组,整理得,
可得,,
所以,
点O到直线m的距离为,
因为,即,
所以,即,
又因为,
所以,即,
所以直线m为:.
当直线m的斜率不存在时,直线m的方程为,此时满足题目条件,
综上可得,直线m的方程为:或.
22、答案：（1）没有极值,理由见解析;
（2）证明见解析.
解析:（1）由,得,
是单调递增函数,没有极值.
（2）,,
得,
即.
由（1）知为增函数,
,是两个不相等的正数,不妨设,
,且,
即,
,
即,只需证明.
,令.
只需证明在时成立,即在时成立.
设函数,且,则.
当时,函数单调递减.
当时,函数,即.
在时成立,即成立,
,,即.
x
1
2
3
4
5
y
9
11
14
26
20
满意
不满意
总计
男
45
10
55
女
25
20
45
总计
70
30
100
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
满意
不满意
总计
男
45
10
55
女
25
20
45
总计
70
30
100
X
0
1
2
3
4
P