2022-2023学年贵州省黔南州高二下学期期末数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年贵州省黔南州高二下学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知z=1−i1+i，则z−z=( )
A. −2iB. 2iC. 0D. 1
2.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2+2x−3⩽0}，则M∩N=( )
A. −2,−1,0,1B. 0,1,2C. −2D. 2
3.抛物线y2=8x上的一点M 到焦点的距离为4，则点M的纵坐标为
( )
A. 4B. 2C. ±4D. 0
4.“天干地支纪年法”源于中国，中国自古便有十天干和十二地支，十天干为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．“天干地支纪年法”是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，一直排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是“癸卯”年，正值黔南布依族苗族自治州建州67周年，那么据此推算，黔南州的建州年份是
( )
A. 丙申年B. 癸亥年C. 庚丑年D. 庚辰年
5.已知向量a=(1,1)，b=(1,−1)，若(λa→+b→)⊥(μa→−b→)，则
( )
A. λ+μ=1B. λμ=1C. λ+μ=−1D. λμ=−1
6.已知等比数列an的前n项和为Sn.若S4S8=14，则S12S4=( )
A. 13B. 16C. 9D. 12
7.已知θ∈π4,π2，且csθ−π4=45，则tanθ=( )
A. 17B. 43C. 7D. 125
8.已知函数fx=ex−alnx在区间1,2上单调递增．则a 的最大值为
( )
A. e2B. eC. e−1D. e−2
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图，则以下说法正确的是
( )
A. 30∼41周岁人群的参保人数最多
B. 18∼29周岁人群参保的总费用最少
C. 丁险种更受参保人青睐
D. 30周岁及以上的参保人数占总参保人数的80％
10.已知P是椭圆C:x24+y2=1上的动点，Q是圆D:x+12+y2=14上的动点，则
( )
A. 椭圆C的焦距为 3B. 椭圆C的离心率为 32
C. 圆D在椭圆C的内部D. PQ的最小值为 63
11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E 为DD1的中点，F 在棱C1D1上，下列判断正确的是
( )
A. 若B1F//平面A1BE，则F 为C1D1的中点
B. 平面ADC1B1⊥平面A1BE
C. 异面直线A1B与CE 所成角的余弦值为13
D. 若AB=1，则VA1−B1BE=16
12.已知函数y=fx的定义域为R ，且对任意a，b∈R，都有fa+b=fa+fb，且当x>0时，f(x)>0恒成立，则
( )
A. 函数fx是R 上的增函数
B. 函数fx是奇函数
C. 若f2=4，则fx0的图象在区间0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲、乙两队进行比赛．甲队每场获胜的概率为14，无平局．每场比赛互不影响，
(1)若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；
(2)若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．
18.(本小题12分)
记数列an的前n项和为Sn，对任意n∈N*，有Sn=n+1an−n．
(1)证明：an为等差数列；
(2)求数列1anan+1的前n项和．
19.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c ，已知a2+c2−b2csB=4．
(1)求ac ；
(2)若a2+c2−b2=2，求△ABC的面积．
20.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的正方形，AB=1.再从条件①：BC= 5；条件②：AB⊥AA1；条件③：平面ABC⊥平面AA1C1C中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．

(1)证明：AB⊥平面AA1C1C；
(2)在第(1)问基础上，求直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知函数fx=aex+a−x，a∈R
(1)当a=1时，求fx的最值；
(2)讨论fx的单调性．
22.(本小题12分)
已知直线2x−y−1=0与抛物线C:x2=2pyp>0交于A,B两点，且AB=4 15．
(1)求p的值；
(2)设F为抛物线C的焦点，M,N为抛物线C上两点，FM⋅FN=0，求▵MFN面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的除法运算，共轭复数，属于基础题．
根据复数除法、减法运算法则和共轭复数的概念求解即可．
【解答】
解：由题意知， z=1−i1+i=1−i21+i1−i=−2i2=−i ，
所以 z=i ，所以 z−z=−i−i=−2i ．
故选：A．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查交集运算，属于基础题．
根据不等式知识化简集合，再结合交集知识求解答案．
【解答】
解：由题意得， N={x|x2+2x−3⩽0}={x|(x+3)(x−1)⩽0}={x|−3⩽x⩽1} ，
又因为 M={−2,−1,0,1,2} ，
所以 M∩N={−2,−1,0,1} ．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线的焦点、准线，属于基础题．
根据抛物线的定义可求出结果．
【解答】
解：抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=−2 ，
设 M(x0,y0) ，依题意得 x0+2=4 ，即 x0=2 ，
所以 y02=8×2=16 ， y0=±4 ．
所以点M 的纵坐标为 ±4 ．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等差数列的实际应用，属于基础题．
弄清题意，运用等差数列模型是求解即可．
【解答】
解：由题意可知，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，
由于 67=6×10+7 ，余数为7 ，又2023年是“癸卯”年，
在天干中往前数7个是“丙”
故黔南州的建州年份的天干为“丙”，
由于 67=5×12+7 ，余数为7 ，又2023年是“癸卯”年，
在地支中往前数7个是“申”，
故黔南州的建州年份的地支为“申”，
所以黔南州的建州年份是“丙申年”．
故选：A
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于中档题．
根据向量坐标运算公式直接计算求解即可．
【解答】
解：因为 a=1,1 ， b=1,−1 ，
所以 λa+b=λ,λ+1,−1=λ+1,λ−1 ，
μa−b=μ,μ−1,−1=μ−1,μ+1 ，
因为 λa+b⊥μa−b ，
所以 (λ+1)(μ−1)+(λ−1)(μ+1)=λμ+μ−λ−1+λμ−μ+λ−1=0 ，
即 2λμ−2=0 ，所以 λμ=1 ．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质，属于中档题．
根据等比数列的性质，可得 S4,S8−S4,S12−S8 仍成等比数列，得到 S8−S4S4=3 ，即可求解．
【解答】
解：设 S4=xx≠0 ，则 S8=4x ，
因为an 为等比数列，
所以S4,S8−S4,S12−S8 仍成等比数列．
因为 S8−S4S4=4x−xx=3 ，所以 S12−S8=9x ，
所以 S12=13x ，故 S12S4=13 ．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】解：因为θ∈(π4,π2)，所以θ−π4∈(0,π4)，
又因为cs(θ−π4)=45，
所以sin(θ−π4)=35，tan(θ−π4)=34，
所以tanθ−11+tanθ=34，解得tanθ=7．
故选：C．
根据同角公式和两角差的正切公式可求出结果．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了由导数的单调性求参数，属于中档题．
根据 f′x=ex−ax≥0 在 1,2 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【解答】
解：因为 fx=ex−alnx ，所以 f′x=ex−ax ，
依题意 f′x=ex−ax≥0 在 1,2 上恒成立，所以 xex≥a ，
设 gx=xex,x∈1,2 ，所以 g′x=x+1ex>0 ，
所以 gx 在 1,2 上单调递增，
所以 gx>g1=e ，故 a≤e ，即a 的最大值为e ．
故选：B．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查条形图、扇形图、折线图，属于中档题．
根据统计图逐个分析判断即可．
【解答】
解：由参保人数比例图可知， 30∼41 周岁人群的参保人数最多，故A正确；
30周岁及以上的人群约占参保人群的 39%+33%+8%=80% ，故D正确；
由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，故C正确；
由不同年龄段人均参保费用图可知， 18∼29 周岁人群人均参保费用最少，约为 4000 元，
但是这类人所占比例为 20% ，设参保总人数为a，
则 18∼29 周岁人群参保总费用约为 4000×0.2a=800a (元)，
而54周岁及以上参保人群参保总费用约为 6000×0.08a=480a (元)，
800a>480a ，故B错误．
故选：ACD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查求椭圆的离心率、焦点、焦距、点与椭圆的位置关系，属于中档题．
A和B：利用椭圆的方程求解判断；C：由椭圆方程和圆的方程联立，利用判别式法判断；D：利用圆心到点的距离判断．
【解答】
解：因为椭圆方程为： x24+y2=1 ，
所以 a2=4,b2=1,c2=a2−b2=3,e=ca= 32 ，焦距为 2 3 ，故A错误，B正确；
由 x24+y2=1x+12+y2=14 ，得 3x2+8x+7=0 ，
因为 Δ=82−4×3×7=−20x2 ，且 x1∈R ， x2∈R ，则 x1−x2>0 ，
而 fa+b=fa+fb
∴f(x1)−f(x2)=f[(x1−x2)+x2]−f(x2)
=f(x1−x2)+f(x2)−f(x2)=f(x1−x2)，
又当 x>0 时， f(x)>0 恒成立，即 fx1−x2>0 ，
∴fx1>fx2 ，
∴ 函数 y=fx 是R上的增函数，A正确；
由 fa+b=fa+fb ，
令 a=b=0 可得 f0=f0+f0 ，解得 f0=0 ，
令 a=x,b=−x 可得 fx−x=fx+f−x ，即 fx+f−x=f0 ，而 f0=0 ，
∴f−x=−fx ，而函数 y=fx 的定义域为R，
故函数 y=fx 是奇函数，B正确；
令 a=b=1 可得 f2=f1+f1=4 ，解得 f1=2 ，所以 f−1=−f1=−2，
因为函数 y=f(x) 是 R 上的增函数，
由 fx