2022-2023学年甘肃省酒泉市高二下学期期末数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省酒泉市高二下学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数fx=2x3−1在区间−1,1上的平均变化率为
( )
A. 2B. 1C. −2D. −1
2.已知空间向量m=2,1,4，n=(−1,λ,−2)，且m⊥n，则实数λ=( )
A. −10B. 10C. 14D. 4
3.某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有97.5%的把握但没有99%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则χ2的观测值可能为
( )
A. χ2=11.208B. χ2=7.869C. χ2=6.625D. χ2=3.206
4.若函数fx=2x2−lnx的图象在点1,f1处的切线与直线x+ay+1=0平行，则a=( )
A. −13B. 13C. −3D. 3
5.如图所示，在底面为正三角形的三棱柱ABC−A1B1C1中，若AA1⊥平面ABC，AB= 2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为
( )
A. 60°B. 45°C. 90°D. 120°
6.从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型y=c1ec2x(其中e为自然对数的底数)拟合，设z=lny，其变换后得到一组数据：
由上表可得经验回归方程z=0.2x+a，则当x=60时，蝗虫的产卵量y的估计值为
( )
A. e6B. 10C. 6D. e10
7.现有红、橙、黄、蓝、绿、紫6只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和紫色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为( )
A. 110B. 13C. 14D. 15
8.若方程a−2lnx=−x2−1在x∈1e2,e2上有解，则实数a的取值范围是
( )
A. 1−e2,−3−1e2B. 3−e4,−2
C. −5−1e4,+∞D. 1−e2,−2
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若函数fx在R上可导，且fx=x2−3f′1x+mm∈R，则
( )
A. f′1=12B. f′0=−32C. f0f1
10.下列说法错误的是( )
A. 在两个变量x与y的列联表中，当ad−bc越大，两个变量有关联的可能性越大
B. 若所有样本点都在回归直线方程y=bx+a上，则变量间的相关系数是−1
C. 相关系数越接近于0，变量间的线性相关程度越低
D. 独立性检验一定能给出明确的结论
11.下列结论正确的是( )
A. 若随机变量X∼N2,9，则PX≤−1=PX≥5
B. 已知随机变量X，Y满足X+2Y=8，若X∼B10,0.4，则EY=2，DY=0.6
C. 有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为X，则其数学期望EX=3
D. 离散型随机变量X服从两点分布，且PX=0=2−5PX=1=a，则a=34
12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N，P，Q分别为B1C1，C1D1，AD，A1D1的中点，则下列结论错误的是
( )
A. AA1⊥QNB. 平面AA1C1//平面PQN
C. 二面角M−AA1−Q的余弦值为 33D. 二面角M−PN−Q的余弦值为 36
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.在空间坐标系中，点A的坐标为2,−1,−1，点B的坐标为1,2,0，则A、B两点之间的距离为 ．
14.A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有5%，4%，2%的人患了流感．假设这三个地区的人口比例为4∶3∶3.现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为 ．
15.已知函数fx=ax+xex在−∞,+∞上单调递增，则a的取值范围是 ．
16.某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，12，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为38，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知函数fx=alnx+x2−12xa∈R，x=2是函数的一个极值点．
(1)求a的值；
(2)求函数fx的单调区间．
18.(本小题12分)
为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支持，现统计了45株抗倒伏玉米，55株易倒伏玉米的茎高情况，设茎高大于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．完成以下问题．
(1)完成以下的2×2列联表：
(2)根据(1)中的列联表，能否作出玉米倒伏与茎高有关的结论？
(参考公式及数据：
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d.)
19.(本小题12分)
“清明时节雨纷纷”说的是长江中下游地区在清明节前后常常是阴雨天气，若某地区清明节假期的3天中，每一天下雨的概率均为34，且每天是否下雨都是相互独立的．
(1)估计该地区这3天中恰好有1天下雨的概率；
(2)2018年到2022年该地区清明节当天降雨量(单位：mm)如下表：
研究表明，从2018年到2022年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与序号x具有线性相关关系，求回归直线方程y=bx+a；若该地区2024年清明节有降雨的话，降雨量约为多少？
参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx．
20.(本小题12分)
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF/​/AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P为棱DF上一点(不含端点)．

(1)当FP为何值时，AP⊥PC；
(2)求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
(3)若P为DF中点，求点E到平面APC的距离．
21.(本小题12分)
为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．
(1)求随机变量X的分布列及数学期望；
(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．
22.(本小题12分)
已知函数fx=x+2lnx−ex.(e=2.71828…为自然对数的底数)
(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)证明：当x∈1,+∞时，fx+e>0.(参考数据：ln2≈0.693，2e≈0.736)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的平均变化率，是较易题．
根据平均变化率的定义即可求解．
【解答】
解：根据平均变化率的定义可知， f1−f−11−−1=2×13−1−2×−13−12=2 ．
所以函数 fx=2x3−1 在区间 −1,1 上的平均变化率为2．
故选：A
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量垂直的坐标表示，是较易题．
根据向量垂直的坐标表示求解即可．
【解答】
解：因为 m⊥n, 所以 m⋅n=0,
所以 (2,1,4)⋅(−1,λ,−2)=−2+λ−8=0 ，
所以 λ=10 ，
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查独立性检验，属于基础题．
根据已知条件可得 χ2 的取值范围为 5.024,6.635 ，即可得正确选项．
【解答】
解：因为有 97.5% 的把握但没有 99% 的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，
所以 χ2 的取值范围为 5.024,6.635 ，因此 χ2 的值可能为 6.625 ．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，考查直线与直线的平行关系，属于简单题．
求出函数的导函数，即可求出 f′1=3 ，再表示出直线 x+ay+1=0 的斜率，根据两直线平行斜率相等得到方程，解得即可．
【解答】
解：因为 fx=2x2−lnx ，所以 f′x=4x−1x ，则 f′1=3 ，
直线 x+ay+1=0 的斜率 k=−1a ，依题意可得 −1a=3 ，解得 a=−13 ．
故选：A
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角，是较易题．
将正三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，连结 AD1 ， B1D1 ，则 ∠D1AB1(或其补角) 是异面直线 AB1 与 C1B 所成的角，再利用勾股定理进行求解．
【解答】
解：如图所示，将正三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，连结 AD1 ， B1D1 ，
因为 C1D1//A1B1//AB,C1D1=A1B1=AB ，
所以四边形 ABC1D1 是平行四边形，所以 BC1//AD1 ，
∴ ∠D1AB1 (或其补角)是异面直线 AB1 与 C1B 所成的角，
∵ AB= 2BB1 ，∴设 BB1=1 ， AB= 2 ，
则 B1D1=2× 2× 32= 6 ， AD1=AB1= 12+ 22= 3 ，
∵ AD12+AB12=3+3=6=B1D12 ，
∴ ∠D1AB1=90∘ ．
所以AB1与C1B所成的角的大小为90°．
故选：C．

6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查线性回归方程的应用，属于中等题．
根据线性回归方程的性质求出 a ，由此可求 y=e0.2x−2 ，直接计算即可得到答案．
【解答】
解：由表格数据知： x=15×20+23+25+27+30=25 ， z=15×2+2.4+3+3+4.6=3 ，因为数对 (x,z) 满足 z=0.2x+a ，得 a=3−0.2×25=−2 ，∴ z=0.2x−2 ，即 lny=0.2x−2 ，∴ y=e0.2x−2 ，∴x=60时， y=e10 ，
故当x=60时，蝗虫的产卵量y的估计值为 e10 ，
故选：D．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查条件概率的计算公式及排列组合中的相邻问题，属于中等题．
根据条件概率的计算公式及排列组合中相邻问题捆绑法策略即可求解．
【解答】
解：记“黄色杯子和紫色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B，
则黄色杯子和紫色杯子相邻，有 A55⋅A22=240 种；
黄色杯子和紫色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有 A44⋅A22=48 种；
所以 PBA=nABnA=A44⋅A22A55⋅A22=15 ，
故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究方程的根，是中档题．
本题的关键是利用分离参数得 a=−x2−1+2lnx ，再设新函数 hx=−x2−1+2lnx ， x∈1e2,e2 ，利用导数求出其值域，则得到 a 的范围．
【解答】
解： a−2lnx=−x2−1 ，则 a=−x2−1+2lnx ，
设 hx=−x2−1+2lnx ， x∈1e2,e2 ，
h′x=−2x+2x ，
令 h′x=−2x+2x=−2x2+2x=0 ，
解得 x=1或x=−1 (舍去)，
又因为当 x∈1e2,1 ， h′x>0 ， hx 单调递增，
当 x∈1,e2 ， h′x<0 ， hx 单调递减，
则 hxmax=h1=−2 ，且 h1e2=−1e4−5 ， he2=−e4+3 ，
则 hx∈−e4+3,−2 ，
若方程 a−2lnx=−x2−1 在 x∈1e2,e2 上有解，
则 a∈−e4+3,−2 ，
故选：B．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查导数的加、减法运算，是中档题．
求出函数导数，令x=1可求f′(1)判断A，代入函数解析式后，令x=0求出f′0判断B，计算f(0),f(1)即可判断CD．
【解答】
解：∵fx=x2−3f′1x+mm∈R，
∴f′(x)=2x−3f′(1)，
∴f′(1)=2−3f′(1)，即f′1=12，故 A正确；
∴f′(x)=2x−32，f(x)=x2−32x+m，
∴f′(0)=−32，故 B正确；
∴f(0)=m,f(1)=1−32+m=m−12，
∴f(0)>f(1)，故 C错误，D正确．
故选：ABD
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查回归分析与独立性检验的应用，是较易题．
根据线性相关的独立性检验公式判断A，再由相关系数与相关性的概念判断BC，再由独立性检验的意义判断D．
【解答】
解：根据独立性检验公式，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d，当ad−bc越大，则χ2越大，所以两个变量有关联的可能性越大，故 A正确；
若所有样本点都在回归直线方程y=bx+a上，则变量间的相关系数的绝对值是1，故B错误；
由相关系数的概念，相关系数越接近于0，变量间的线性相关程度越低，故C正确；
独立性检验不一定能给出明确的结论，故D错误．
故选：BD
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查正态分布的概率计算及期望，方差等知识点，考查离散型随机变量的期望，考查两点分布的概率等，是中档题．
根据正态分布的性质判断A，根据二项分布的期望、方差公式求出EX、DX，再根据期望与方差的性质判断B，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到数学期望判断C，根据两点分布的性质计算D．
【解答】
解：对于A：因为X∼N2,9，则正态曲线关于x=2对称，所以PX≤−1=PX≥5，故 A正确；
对于B：因为X∼B10,0.4，所以E(X)=10×0.4=4，D(X)=10×0.6×0.4=2.4，
又X+2Y=8，所以Y=4−12X，
所以E(Y)=4−12E(X)=4−12×4=2，D(Y)=14D(X)=14×2.4=0.6，故 B正确；
对于C：依题意X的可能取值为1、2、3、4，则PX=1=C51C33C84=570，
PX=2=C52C32C84=3070，PX=3=C53C31C84=3070，PX=4=C54C30C84=570，
所以EX=1×570+2×3070+3×3070+4×570=52，故 C错误；
对于D：因为PX=0=2−5PX=1=a且PX=0+PX=1=1，解得a=34，故 D正确．
故选：ABD
12.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查线面垂直的性质，面面平行的判定，利用空间向量解决二面角问题，是中档题．
利用线面垂直证明线线垂直即可判断选项A；利用面面平行的判定定理即可判断选项B；利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值即可判断选项C，D．
【解答】
解：如图，以AB,AD,AA1为x,y,z轴建立直角坐标系，
设AB=2，
则A(0,0,0),A1(0,0,2),Q(0,1,2),N(1,2,2)，
C1(2,2,2),P(0,1,0),M(2,1,2)，
对A，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，QN⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥QN， A正确；
对B，连接A1C1,AC1,PQ,QN,PN，
因为AA1//PQ,AA1⊄平面PQN，PQ⊂平面PQN，所以AA1//平面PQN，
因为A1C1//QN,A1C1⊄平面PQN，QN⊂平面PQN，所以A1C1//平面PQN，
且AA1∩A1C1=A1,AA1A1C1⊂平面AA1C1，所以平面AA1C1//平面PQN，B正确；
对C，设平面MAA1,AA1Q的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),
AA1=(0,0,2),A1M=(2,1,0),
则AA1⋅m=2z1=0,A1M⋅m=2x1+y1=0,令x1=1,则y1=−2,z1=0，所以m=(1,−2,0),
又因为AB⊥平面AA1Q，所以可取n=AB=(2,0,0),
所以csm,n=m⋅nmn=22 5= 55，
所以二面角M−AA1−Q的余弦值为 55， C错误；
对D，设平面MPN,PNQ的法向量分别为p=(a1,b1,c1),q=(a2,b2,c2),
MP=(−2,0,−2),MN=(−1,1,0),PN=(1,1,2),PQ=(0,0,2),
则MP⋅p=−2a1−2c1=0,MN⋅p=−a1+b1=0,令a1=1,则b1=1,c1=−1，所以p=(1,1,−1),
PN⋅q=a2+b2+2c2=0,PQ⋅q=2c2=0,令a2=1,则b2=−1,c2=0，所以q=(1,−1,0),
所以csp,q=p⋅qpq=0 3× 2=0，
所以二面角M−PN−Q的余弦值为0，D错误．
故选：CD．
13.【答案】 11
【解析】【分析】
本题考查了空间中两点间的距离公式，属于较易题．
直接利用空间中两点的距离公式计算可得．
【解答】
解：因为点 A 的坐标为 2,−1,−1 ，点 B 的坐标为 1,2,0 ，
所以 AB= 2−12+−1−22+−1−02= 11 ．
故答案为： 11
14.【答案】19500
【解析】【分析】
本题考查古典概型的概率计算，是较易题．
由三个地区的人数比设出三个地区的人数，求出三个地区患了流感的人数，利用古典概型的概率计算公式求解即可．
【解答】
解：因为A，B，C三个地区的人口数的比为 4:3:3 ，
所以设A，B，C三个地区的人口数分别为 4x,3x,3x ，
则这三个地区患了流感的人数分别为 4x×5%=15x ， 3x×4%=325x ， 3x×2%=350x ．
现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为：
P=15x+325x+350x4x+3x+3x=19x5010x=19500 ．
故答案为： 19500 ．
15.【答案】1e2,+∞
【解析】【分析】
本题考查利用导数由函数的单调性求参，是中档题．
由原函数单调递增可知导函数不小于0恒成立，分离参数后，利用导数求出函数的最大值即可得解．
【解答】
解： ∵ fx=ax+xex ， ∴ f′x=a+ex+xex ，
又 fx 在 −∞,+∞ 上单调递增，
所以 f′x≥0 在 −∞,+∞ 上恒成立，
即 a≥−(ex+xex) 在 −∞,+∞ 上恒成立．
令 gx=ex+xex ， g′x=exx+2 ，
由 g′x>0 得 x>−2 ， g′x<0 得 x<−2 ，
所以 gx 在 −∞,−2 上单调递减，在 −2,+∞ 上单调递增，
所以 gxmin=g−2=e−2−2e−2=−1e2 ，
所以 −(ex+xex) 有最大值 1e2 ，
所以 a≥1e2 ．
故答案为： 1e2,+∞
16.【答案】78
【解析】【分析】
本题考查了独立事件概率乘法公式，考查运算求解能力，属于中档题．
根据独立性乘法公式可得 12x+12y−12xy=38 ，再结合对立事件即可求解．
【解答】
解： ∵ 该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，
∴ 该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率
P=12xy+12x(1−y)+12y(1−x)=12x+12y−12xy=38，
该同学至少通过1所大学招生考试的概率为
1−12(1−x)(1−y)=12+12x+12y−12xy=12+38=78 ．
故答案为： 78
17.【答案】解：(1)由题意， f′x=ax+2x−12,x>0 ，
∵ x=2 是函数 fx 的一个极值点，
∴f′2=a2+2×2−12=0 ，解得 a=16 ，经检验符合题意．
(2)当 a=16 时， f′x=16x+2x−12=2x2−12x+16x=2x−2x−4x ，
由于x>0，
由f′x>0，可得04，
∴当 x∈0,2 和 x∈4,+∞ 时， fx 单调递增；
由f′x<0 ，得 2 所以fx 的单调递增区间是 0,2 和 4,+∞ ，单调递减区间为 2,4 ．

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
(1)求导后，由 x=2 是函数的一个极值点，可得 f′2=a2+2×2−12=0 ，求解检验即可；
(2)利用(1)中结论即可得解．
18.【答案】解：(1)依题意可得 2×2 列联表如下：
(2)由(1)可得 χ2=100×(15×20−30×35)250×50×45×55=10011≈9.091 ，
因为 6.635<9.091<10.828，
因此可以在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．

【解析】本题考查独立性检验的应用，是较易题．
(1)根据题干所给数据，完善列联表；
(2)计算出卡方，即可判断．
19.【答案】解：(1)依题意，该地区这3天中恰好有1天下雨的概率
P=C31×34×(1−34)2=964 ．
(2)由数表知， x=1+2+3+4+55=3 ， y=27+26+24+22+215=24 ，
i=15(xi−x)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10 ，
i=15(xi−x)(yi−y)=(−2)×3+(−1)×2+0×0+1×(−2)+2×(−3)=−16 ，
于是 b=i=15(xi−x)(yi−y)i=15(xi−x)2=−1610=−1.6 ， a=y−bx=24−(−1.6)×3=28.8 ，
因此 y=−1.6x+28.8 ，
当 x=7 时， y=−1.6×7+28.8=17.6 ，
所以回归直线方程为 y=−1.6x+28.8 ，该地区2024年清明节降雨量约为 17.6mm ．

【解析】本题考查二项分布的概率计算，回归直线方程的求法，是中档题．
(1)根据给定条件，利用独立重复事件的概率公式列式计算作答．
(2)利用给定数表，结合最小二乘法公式求出回归直线方程，再估算作答．
20.【答案】解：(1)因为直线 AF⊥ 平面 ABCD ， AD,AB⊂ 平面 ABCD ，
所以 AF⊥AB,AF⊥AD ，又 AD⊥AB ，
所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则 A0,0,0,D0,2,0,C1,2,0,F0,0,1 ，
所以 AF=0,0,1 ， FD=0,2,−1 ， DC=1,0,0 ，
令 FP=tFD ，则 PD=1−tFD ，
∴AP=AF+FP=0,2t,1−t ， PC=PD+DC=1,2−2t,t−1，
所以 AP⋅PC=0+2t2−2t+1−tt−1=−5t2+6t−1 ，
当 AP⊥PC 时， −5t2+6t−1=0 ，解得 t=1 或 t=15 ，
因为 0所以 FP=FP=15FD=15 AF2+AD2= 55 ；
(2)由(1)可知， B1,0,0,D0,2,0,E12,0,1,C1,2,0,F0,0,1 ，
所以 DE=12,−2,1 ， BC=0,2,0 ， BF=−1,0,1 ，
设平面 BCF 的法向量 n=x,y,z ，则 n⋅BC=2y=0n⋅BF=−x+z=0 ，
令 x=1 ，则 z=1,y=0 ，所以 n=1,0,1 ，
设直线 DE 与平面 BCF 所成角为θ，
所以 sinθ=csn,DE=n⋅DEn⋅DE=12+0+1 2⋅ 212= 4214 ，
所以直线 DE 与平面 BCF 所成角的正弦值为 4214 ；
(3)P0,1,12 ，连接AE，由(1)(2)可知 AC=1,2,0,AP=0,1,12,AE=12,0,1 ，
设平面 APC 的法向量为 m=x1,y1,z1 ，则 m⋅AC=x1+2y1=0m⋅AP=y1+12z1=0 ，
令 y1=−1 ，则 x1=2,z1=2 ，所以 m=2,−1,2 ，
所以平面 APC 的法向量 m=2,−1,2 ，
则点E到平面 APC 的距离 d=AE⋅mm=12×2+0×−1+1×2 22+12+22=1 ，
所以E到平面 APC 的距离为1．

【解析】本题考查利用空间向量求解线线垂直、线面角以及点面距离，是中档题．
(1)建立空间直角坐标系，令 FP=tFD ，则 PD=1−tFD ，从而可得 AP=AF+FP=0,2t,1−t ， PC=PD+DC=1,2−2t,t−1 ，再根据垂直的向量表示即可求解；
(2)由(1)写出坐标，求得平面 BCF 的法向量，根据线面角公式即可求得直线 DE 与平面 BCF 所成角的正弦值；
(3)求得平面 APC 的法向量，利用点到平面的距离公式即可求得E到平面 APC 的距离．
21.【答案】解：(1)由题意得，随机变量 X 可取的值为 1 ， 2 ， 3 ，
易知 PX=1=C41C22C63=0.2 ， PX=2=C42C21C63=0.6 ， PX=3=C43C63=0.2 ，
则随机变量 X 的分布列如下：
所以 EX=1×0.2+2×0.6+3×0.2=2 ；
(2)由(1)可知，甲每轮得 1 分， 2 分， 3 分的概率依次为 0.2 ， 0.6 ， 0.2 ，
记甲第 i 轮的得分为 Xii=1,2,3 ，则其前 n 轮的累计得分为 Y=X1+X2+⋯+Xnn=1,2,3 ，
若第一轮取球后过关，即甲获得 2 分，则 PY=2=0.6 ；
若第二轮取球后过关，即甲获得的分数之和为 4 分，
有“ 1+3 ”､“ 3+1 ”的情形，则 PY=2=2×0.2×0.2=0.08 ；
若第三轮取球后过关，即甲获得的分数之和为 6 分，
有“ 1+2+3 ”，“ 3+2+1 ”的情形，
则 PY=3=2×0.2×0.6×0.2=0.048 ；
记“甲能过关”为事件 A ，则
P(A)=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)
=0.6+0.08+0.048=0.728 ．
所以甲能够领到纪念品的概率为0.728．

【解析】本题考查随机变量的分布列及其期望，考查超几何分布的概率计算，是中档题．
(1)确定随机变量 X 的可能取值和取每个值所对应的概率，即可得到分布列，结合期望公式即可得解；
(2)分别求出该同学取球1次后，取球2次后，取球3次后过关的概率，求和即可得到答案．
22.【答案】解：(1)因为 fx=x+2lnx−ex x>0，所以 f1=1+2ln1−e=−e ，
f′x=lnx+x+2x−e ，则 f′1=ln1+1+21−e=3−e ，
所以切线方程为 y+e=3−ex−1 ，即 y=3−ex−3 ．
(2)因为 f′x=lnx+x+2x−e=xlnx+x+2−exx ，
令 hx=xlnx+x+2−ex ， x∈1,+∞ ，则 h′x=lnx+2−e ，
显然 h′x=lnx+2−e 在定义域 1,+∞ 上单调递增，
又 h′2=ln2+2−e<0 ， h′e=lne+2−e=3−e>0 ，
所以存在 x0∈2,e 使得 h′x0=0 ，即 lnx0+2−e=0 ，
所以当 1x0 时 h′x>0 ，
即 hx 在 1,x0 上单调递减，在 x0,+∞ 上单调递增，
所以 h(x)min=hx0
=x0ln x0+x0+2−ex0
=x0(e−2)+x0+2−ex0
=2−x0<0 ，
又 h1=3−e>0 ， he=2e+2−e2>2×2.71+2−2.722=0.0216>0 ，
所以存在 x1∈1,x0 使得 hx1=0 ， x2∈x0,e 使得 hx2=0 ，
即 hx2=x2lnx2+x2+2−ex2=0 ，
所以当 x∈1,x1 时 hx>0 ，当 x∈x1,x2 时 hx<0 ，当 x∈x2,+∞ 时 hx>0 ，
所以 fx 在 1,x1 上单调递增，在 x1,x2 上单调递减，在 x2,+∞ 上单调递增，
所以 fx 在 1,+∞ 上的最小值为 minf1,fx2 ，
又 f1=−e ， fx2=x2+2lnx2−ex2=2lnx2−x2−2 ，
令 mx=2lnx−x−2 ， x∈2,e ，则 m′x=2x−1=2−xx<0 ，所以 mx 在 2,e 上单调递减，
所以 mx>me=−e ，即 fx2>−e ，所以 fx2+e>0 ，
又 f1+e=0 ，所以当 x∈1,+∞ 时， fx+e>0 ．

【解析】本题考查求曲线上一点的切线方程，利用导数证明不等式，是困难题．
(1)求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；
(2)由(1)可得 f′x=xlnx+x+2−exx ，令 hx=xlnx+x+2−ex ， x∈1,+∞ ，利用导数说明函数的单调性，即可求出 fx 的单调性，求出 fx 在 1,+∞ 上的最小值，即可得证．
x
20
23
25
27
30
z
2
2.4
3
3
4.6
茎高
倒伏
合计
抗倒伏
易倒伏
矮茎
15
高茎
50
合计
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
年份
2018
2019
2020
2021
2022
序号x
1
2
3
4
5
降雨量y
27
26
24
22
21
茎高
倒伏
合计
抗倒伏
易倒伏
矮茎
15
35
50
高茎
30
20
50
合计
45
55
100
X
1
2
3
P
0.2
0.6
0.2