2024保定六校联盟高二上学期期中考试数学含解析

这是一份2024保定六校联盟高二上学期期中考试数学含解析，共29页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知椭圆C， 定义， 下列命题中，是假命题的是， 下列命题中是假命题的是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则直线与平面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
2. 过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知双曲线的右焦点为，直线过点，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为
B. 双曲线的离心率为
C. 双曲线的实轴长为
D. 双曲线的顶点坐标为
5. 加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 若为正方形，则的边长为
C. 椭圆的蒙日圆方程为
D. 长方形的面积的最大值为
6. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的内切圆半径的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（ ）
A. 3B. C. 9D. 6
8. 下列命题中，是假命题的是（ ）
①若直线与直线平行，则的值为或0；
②若为双曲线上两点，则可以是线段的中点；
③经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示；
④向量的夹角为钝角时，实数的取值范围是.
A. ①④B. ③④C. ①②④D. ②④
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 若为空间的一个基底，则不能构成空间的另一个基底
B. 若非零向量与平面内一个非零向量平行，则所在直线与平面也平行
C. 若平面的法向量分别为，则
D. 已知为直线的方向向量，为平面的法向量，则
10. 若点是圆上任意一点，则点到直线的距离可以为（ ）
A. 0B. C. 3D. 5
11. 已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A. 若过的直线与椭圆交于两点，则的周长为12
B. 椭圆上存在点，使得
C. 若为椭圆上一点，且与的夹角为，则的面积为
D. 若为椭圆上一点，为圆上一点，则点之间的最大距离是9
12. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面是线段上的一点，则以下说法正确的是（ ）
A
B.
C. 若点为线段中点，则直线平面
D. 若，则直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为__________.
14. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________.
15. 如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________.
16. 某地发生地震，呈曲线形状的公路上任意一点到村的距离比到村的距离远，村在村的正东方向处，村在村的北偏东方向处，为了救援灾民，救援队在曲线上的处收到了一批救灾药品，现要向两村转运药品，那么从处到、两村的路程之和的最小值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍.
（1）求点的轨迹方程；
（2）如果把倍改成倍，求点的轨迹.
18. 已知椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，求的最小值.
19. 如图，已知正方体的棱长为，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面和底面夹角的正弦值.
20. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切.
（1）求的“欧拉线”方程；
（2）若圆M与圆有公共点，求a的范围；
（3）若点在的“欧拉线”上，求的最小值.
21. 已知圆与直线相切，圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于不同两点，且，求直线的斜率；
（3）若点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值.
22. 已知点在曲线上，为坐标原点，若点满足，记动点轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设右焦点为，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，若与轴垂直，且是与在第一象限的交点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.
六校联盟高二年级期中联考
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则直线与平面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线与平面所成角的向量计算公式计算可得.
【详解】已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，
设直线与平面所成角为，则，
所以，
所以，故直线与平面所成角为.
故选：.
2. 过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆的圆心，直线斜率，通过点斜式求直线方程
【详解】因为圆，即，
所以圆心为，又直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，
∴所求直线的方程为，即.
故选：C
3. 已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出直线的斜率，进而可求出倾斜角.
【详解】直线的斜率，
所以该直线的倾斜角为.
故选：D.
4. 已知双曲线的右焦点为，直线过点，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为
B. 双曲线的离心率为
C. 双曲线的实轴长为
D. 双曲线的顶点坐标为
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与曲线有且只有一个公共点可知渐近线方程，再根据焦点坐标可得双曲线方程，进而判断各选项.
【详解】由直线过点，
得，，
所以，
又直线与双曲线只有一个公共点，
当直线与双曲线渐近线平行时，，
可得，双曲线方程为，
当直线与双曲线渐近线不平行时，
联立直线与双曲线，得，，即，
又，则，无解，
所以双曲线方程为，A选项正确；
离心率，B选项错误；
顶点坐标为，D选项错误；
实轴长为，C选项错误；
故选：A.
5. 加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 若为正方形，则的边长为
C. 椭圆的蒙日圆方程为
D. 长方形的面积的最大值为
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形的对角线长和基本不等式可求得BD错误.
【详解】对于A，由椭圆方程知：，，则，
椭圆的离心率，A正确；
对于BC，由A知：椭圆对应的蒙日圆方程为：，
正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径，
正方形的边长为，B错误，C正确；
对于D，设长方形的长和宽分别为，
长方形的对角线长为圆的直径，，
长方形的面积（当且仅当时取等号），
即长方形的面积的最大值为，D正确.
故选：B.
6. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的内切圆半径的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】寻找的内切圆半径与三角形面积之间的关系，根据面积的取值范围可以得到的内切圆半径的取值范围.
【详解】设的内切圆半径为r，椭圆方程为，
则，，，即，
又，
所以，
由于，
所以.
故选：D
7. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（ ）
A. 3B. C. 9D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可
【详解】由题意得向量在基底下的坐标为：，
则，
所以向量在下的坐标为：，
所以模长为，故A项正确.
故选：A.
8. 下列命题中，是假命题的是（ ）
①若直线与直线平行，则的值为或0；
②若为双曲线上两点，则可以是线段的中点；
③经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示；
④向量的夹角为钝角时，实数的取值范围是.
A. ①④B. ③④C. ①②④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】时，两直线重合，①错误，利用点差法计算直线方程，与双曲线无交点，②错误，考虑和两种情况得到③正确，时不成立，④错误，得到答案.
【详解】对①：当时，直线与直线重合，错误；
对②：若成立，设，，直线斜率存在设为，
则，，相减得到，
即，解得，
直线：，，整理得到，无解，错误；
对③：当时，直线方程为；
当时，直线方程为，
两种情况可以合并为：，正确；
对④：当时，，，夹角为，错误；
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 若为空间的一个基底，则不能构成空间的另一个基底
B. 若非零向量与平面内一个非零向量平行，则所在直线与平面也平行
C. 若平面的法向量分别为，则
D. 已知为直线的方向向量，为平面的法向量，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由可判断选项A；利用空间位置关系的向量证明判断B，C，D.
【详解】选项A. 设,即
由为空间的一个基底，即不共面，则，解得
即，所以共面，即不能构成空间另一个基底，故选项A正确.
选项B. 若非零向量与平面平行，则所在直线可能与平面平行，也可能在平面内，选项B不正确；
选项C. 显然向量不共线，因此平面不平行，选项C不正确；
选项D. 由，得直线与平面平行，也可能直线在平面内，选项D不正确；
故选：BCD
10. 若点是圆上任意一点，则点到直线的距离可以为（ ）
A. 0B. C. 3D. 5
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据圆上动点到过定点直线的距离最大为：圆心到定点的距离加上半径；当直线与圆相交时有最小距离，从而可判断求解.
【详解】由题意得：圆心，半径：，直线过定点：，
当圆心与定点的连线垂直直线时，到直线有最大的距离且为：，
当直线与圆相交时有最小距离，故到直线的距离范围为：，
故选项ABC符合题意，D项不符合题意.
故选：ABC.
11. 已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A. 若过的直线与椭圆交于两点，则的周长为12
B. 椭圆上存在点，使得
C. 若为椭圆上一点，且与的夹角为，则的面积为
D. 若为椭圆上一点，为圆上一点，则点之间的最大距离是9
【答案】BC
【解析】
【分析】根据的周长为即可判断A；设，根据求出点的坐标即可判断B；根据椭圆的定义结合余弦定理求出即可判断C；求出的最大值，再根据即可判断D.
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，所以，
对于A，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为，故A错误；
对于B，可取，设，
则，所以，
则，
所以，
解得，
所以椭圆上存在点，使得，故B正确；
对于C，由题意可得，
在中，由余弦定理得，
即，所以，
所以的面积为，故C正确；
对于D，设，
则，所以，
则，
因为，所以，所以，
所以，故D错误.
故选：BC.

12. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面是线段上的一点，则以下说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若点为线段的中点，则直线平面
D. 若，则直线与平面所成角的余弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，由线面垂直的判断定理即可判断AB，由线面平行的判定定理即可判断C，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可判断D.
【详解】连接，
因为底面是边长为2的菱形，，又为正三角形，为的中点，所以，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，故B正确；
当点为线段的中点时，取的中点，连接，则，且，又为的中点，底面是边长为的菱形，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故C正确；
因为平面平面，为正三角形，为中点，所以，平面平面，平面，所以平面，且平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，显然与平面不垂直，故当点运动到点位置时，才有，故A错误；
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
又，所以，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设直线与平面的夹角为，则，则，所以直线与平面所成角的余弦值为，故D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出在上的投影向量的模长，然后利用勾股定理求解即可
【详解】在上的投影向量的模长.
则点到直线的距离为
故答案为：
14. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到，即可求出离心率.
【详解】圆即，圆心为，半径，
双曲线的渐近线方程为，
依题意，即，又，所以，
所以离心率.
故答案为：
15. 如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】过点作，且，在利用余弦定理可得，再在中利用勾股定理求解.
【详解】
过点作，且，
则四边形平行四边形，
，
又，
，
，
即为二面角的平面角，即，
在中，，
即，
又，，平面，
平面，
平面,
，，
在中，，
即，
故答案为：.
16. 某地发生地震，呈曲线形状的公路上任意一点到村的距离比到村的距离远，村在村的正东方向处，村在村的北偏东方向处，为了救援灾民，救援队在曲线上的处收到了一批救灾药品，现要向两村转运药品，那么从处到、两村的路程之和的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意建立直角坐标系，结合双曲线定义可知曲线的轨迹为双曲线的右支，从而求得其轨迹方程，结合图像得到，由此得解.
【详解】如图，以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，
由题意得，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，
故，
所以曲线的轨迹方程为，
因为，
所以，
当且仅当共线时，等号成立，
所以从处到、两村的路程之和的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍.
（1）求点的轨迹方程；
（2）如果把倍改成倍，求点的轨迹.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设点的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简即可；
（2）设点的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简，化简过程中注意二次项系数为0的情况.
小问1详解】
设点的坐标为，由，
得，化简得，
即.
【小问2详解】
设点的坐标为，由，得，
化简得，
当时，方程为，可知点的轨迹是线段的垂直平分线；
当且时，方程可化，
点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
18. 已知椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，求的最小值.
【答案】.
【解析】
【分析】先求出椭圆方程，再利用点差法得到直线的方程，利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】由题意得，解得，
所以椭圆方程为，
因为，
所以在椭圆内，所以直线与椭圆总有两个交点，
因为，所以点为线段的中点，
设，则，
，所以，
所以，
所以，即，
所以，
所以直线为，即，
因为为直线上任意一点，
所以的最小值为点到直线的距离.
19. 如图，已知正方体的棱长为，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面和底面夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理得证；
（2）利用向量法求点面距离；
（3）利用向量法求两个平面的夹角.
【小问1详解】
以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，故，
所以，所以，
又，平面，因此平面.
【小问2详解】
平面的法向量为，
，则
取，可得，
又，则点到平面的距离为.
【小问3详解】
设平面和底面夹角为，
因为平面的一个法向量为，
所以，
故，
所以平面和底面夹角的正弦值为.
20. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切.
（1）求的“欧拉线”方程；
（2）若圆M与圆有公共点，求a的范围；
（3）若点在的“欧拉线”上，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得出等腰三角形欧拉线为底边上的垂直平分线，利用点斜式求出直线方程；
（2）因两圆有公共点，利用两圆的圆心距与半径的关系求出的范围
（3）依题意，转化为直线上的动点到两定点的距离之和的最小值，根据点关于直线对称求出对称点即可得结果.
【小问1详解】
因为，所以是等腰三角形，
由三线合一得：的外心、重心、垂心均在边的垂直平分线上，
设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直，
由可得：的中点，即，所以，
故的方程为.
【小问2详解】
因为与圆相切，故，
圆的圆心坐标为，半径，
则要想圆与圆有公共点，
只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，
故，所以.
【小问3详解】
因为，
所以该式子是表示点到点、点的距离之和，
又，
所以上述式子表示直线上的点到点、点的距离之和的最小值.
设点关于直线的对称点为，
则有解得，即.
所以，所以直线上的点到点、点的距离之和的最小值为.
21. 已知圆与直线相切，圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的斜率；
（3）若点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件可知圆心坐标为，结合圆与直线相切得到 半径，再利用弦长公式求解即可；
（2）由（1）可知点P即为原点，根据条件得到原点O到直线l的距离，利用点到直线距离公式求解即可；
（3）根据当时，最小，此时四边形的面积最小进行求解.
【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，
因为圆与直线相切，所以.
又直线被圆截得的弦长为，
所以，解得
即圆心坐标为，所以圆方程为.
（2）依题意，即为坐标原点，且，则点到的距离为1，于是，
解得，所以直线的斜率为.
（3）由切线长定理可得，又因为，
所以，
所以四边形的面积，
因为，当时，取最小值，且，
所以四边形的面积的最小值为.
22. 已知点在曲线上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设的右焦点为，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，若与轴垂直，且是与在第一象限的交点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，根据，把点的坐标用点的坐标表示，再代入曲线即可得解；
（2）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再结合可求出，即可得直线的方程，进而可求出三角形的面积.
【小问1详解】
设，因为点在曲线上，
所以，
因为，所以，
代入可得，
即，即的方程为；
【小问2详解】
由（1）知，的右焦点为，
令，则，解得，所以，
据题意设直线的方程为，
则，
于是由得，
化简得，
由，消去整理，得，
，
由根与系数的关系得，
代入式得：，解得，
所以直线的方程为，
方法一：，
所以，
点到直线的距离，
所以.
方法二：由题意可知，
代入消去，
得，
所以，
所以.
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.