(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义第01课 平面向量的概念（2份打包，原卷版+教师版）

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知识精讲
知识点01 向量的概念及表示
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．
2．向量的表示
(1)有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．
以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(2)向量的表示
①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小称为向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
【即学即练1】下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
知识点02 相等向量与共线向量
1.向量的相关概念
【即学即练2】[多选]给出下列命题：其中假命题的是（ ）
A．若空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0
B．空间任意两个单位向量必相等
C．若空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．向量 SKIPIF 1 < 0 的模为 SKIPIF 1 < 0
知识点03 向量的表示及应用
【即学即练3】某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
能力拓展
考法01 向量的概念及表示
【典例1】有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是共线向量；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
④若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中，错误的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
考法02 相等向量与共线向量
【典例2】下列五个命题：
①向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0 必在同一条直线上；
②如果向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 方向相同或相反；
③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 ；
④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.
其中正确的命题有______个.
【典例3】给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若 SKIPIF 1 < 0 是不共线的四点，则 SKIPIF 1 < 0 是四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形的充要条件；
③若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 ；
④λ，μ为实数，若λ SKIPIF 1 < 0 ＝μ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线．
其中假命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
分层提分
题组A 基础过关练
1．设点 SKIPIF 1 < 0 是正三角形 SKIPIF 1 < 0 的中心，则向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．相同的向量B．模相等的向量C．共起点的向量D．共线向量
2．如图，在四棱柱的上底面ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，则下列向量相等的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．关于向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列命题中，正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
4．下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．相等向量一定是共线向量
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．任意向量的模都是正数
5．下列物理量中哪个是向量（ ）
A．质量B．功C．温度D．力
6．如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是等腰梯形，则下列关系中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小没有方向B． SKIPIF 1 < 0
C．对任一向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 总是成立的D． SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 的长度不相等
8．下列命题中正确的个数是（ ）
①起点相同的单位向量，终点必相同；
②已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 四点必在一直线上；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
A．0B．1C．2D．3
9．(多选)给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
B．若向量 SKIPIF 1 < 0 是向量 SKIPIF 1 < 0 的相反向量，则 SKIPIF 1 < 0
C．在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
D．若空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
10．(多选)下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是非零向量，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件
B． SKIPIF 1 < 0 是互不重合的三点，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0 三点在同一条直线上
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是非零向量，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向
D．设 SKIPIF 1 < 0 为实数，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线
11．已知点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为______．
12．下列各量中，是向量的是___________.（填序号）
①密度；②体积；③重力；④质量.
题组B 能力提升练
1．已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则一定共线的三点是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．设 SKIPIF 1 < 0 是单位向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
3．下列说法正确的个数为（ ）
①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④非零向量的单位向量是唯一的
A．0B．1C．2D．3
4．（多选）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则 SKIPIF 1 < 0
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且 SKIPIF 1 < 0 ” SKIPIF 1 < 0 “四边形ABCD是平行四边形”
5．（多选）以下选项中，能使 SKIPIF 1 < 0 成立的条件有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都是单位向量
6．已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的________心．
7．给出下列命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
8． SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的反向延长线上（不包括端点），且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
9．若 SKIPIF 1 < 0 为任一非零向量， SKIPIF 1 < 0 为单位向量，给出下列说法：
① SKIPIF 1 < 0 ； ② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ； ④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤若 SKIPIF 1 < 0 是与 SKIPIF 1 < 0 同向的单位向量，则 SKIPIF 1 < 0 .
其中正确的说法有______个.
10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与 SKIPIF 1 < 0 相等的向量共有几个；
（2）与 SKIPIF 1 < 0 方向相同且模为 SKIPIF 1 < 0 的向量共有几个；
题组C 培优拔尖练
1．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是共线向量；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
④若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中，错误的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（多选）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则 SKIPIF 1 < 0
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且 SKIPIF 1 < 0 ” SKIPIF 1 < 0 “四边形ABCD是平行四边形”
4．如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．
（1）单位向量共有______个；（2）模为 SKIPIF 1 < 0 的向量有______；
（3）与 SKIPIF 1 < 0 相等的向量有______；
5．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到 SKIPIF 1 < 0 处，也可跳到 SKIPIF 1 < 0 处，用向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有__________个.
6．如图， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设 SKIPIF 1 < 0 的边长为a，写出图中给出的长度为 SKIPIF 1 < 0 的所有向量中，
（1）与向量 SKIPIF 1 < 0 相等的向量；（2）与向量 SKIPIF 1 < 0 共线的向量；（3）与向量 SKIPIF 1 < 0 平行的向量.
7．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与 SKIPIF 1 < 0 相等的向量共有几个；（2）与 SKIPIF 1 < 0 方向相同且模为 SKIPIF 1 < 0 的向量共有几个；
8．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1) SKIPIF 1 < 0 ，点A在点O北偏西45°方向；(2) SKIPIF 1 < 0 ，点B在点O正南方向．课程标准
课标解读
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
1、通过阅读课本，查阅资料，并能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别与联系.
2、认真阅读课本，在读书过程中学会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.
3、.在认真学习的基础上，理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．学会向量的表示方法.
向量名称
定义
零向量
长度为0的向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量；向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b