(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义第08讲 平面向量数量积的坐标表示（2份打包，原卷版+教师版）

第8讲 平面向量数量积的坐标表示目标导航知识精讲知识点01 平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)) \r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【即学即练1】　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　)A．10 B．－10 C．3 D．－3答案　B解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.能力拓展考法01 数量积的坐标运算【典例1】　已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，eq \o(AF,\s\up6(→))＝2eq \o(FD,\s\up6(→))，则eq \o(BE,\s\up6(→))·eq \o(CF,\s\up6(→))＝________.答案　eq \f(2,3)解析　建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)，因为eq \o(AF,\s\up6(→))＝2eq \o(FD,\s\up6(→))，所以Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)).所以eq \o(BE,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \o(CF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))－(2,0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，2))，所以eq \o(BE,\s\up6(→))·eq \o(CF,\s\up6(→))＝(2,1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，2))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋1×2＝eq \f(2,3).反思感悟　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系(1)|a|2＝a·a.(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.【变式训练】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于(　　)A．6 B．5 C．4 D．3答案　C解析　由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.考法02 平面向量的模【典例2】已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq \r(2)，则|b|等于(　　)A.eq \r(5) B.eq \r(10) C．5 D．25答案　C解析　∵a＝(2,1)，∴a2＝5，又|a＋b|＝5eq \r(2)，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.反思感悟 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．【变式训练】已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(eq \r(3)，0)，则|2a－b|的最大值为________．答案　2＋eq \r(3)解析　2a－b＝(2cos θ－eq \r(3)，2sin θ)，|2a－b|＝ eq \r(2cos θ－\r(3)2＋2sin θ2)＝eq \r(4cos2 θ－4\r(3)cos θ＋3＋4sin2θ)＝eq \r( 7－4\r(3)cos θ)，当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋eq \r(3).考法03 平面向量的夹角、垂直问题【典例3】已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，则实数m等于(　　)A．2eq \r(3) B.eq \r(3) C．0 D．－eq \r(3)答案　B解析　因为a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．所以|a|＝2，|b|＝eq \r(9＋m2)，a·b＝3＋eq \r(3)m，又a，b的夹角为eq \f(π,6)，所以eq \f(a·b,|a||b|)＝cos eq \f(π,6)，即eq \f(3＋\r(3)m,2\r(9＋m2))＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \r(3)＋m＝eq \r(9＋m2)，解得m＝eq \r(3).反思感悟解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cos θ.(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)判断θ的值时，要注意cos θ0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.【变式训练】已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．解　(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝eq \r(42＋32)＝5，|b|＝eq \r(－12＋22)＝eq \r(5)，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2,5\r(5))＝eq \f(2\r(5),25).(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝eq \f(52,9).分层提分题组A 基础过关练1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，如果向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C．2 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：D2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【详解】因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：D3．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的值是（    ）A．3或 SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 或1 C．3或1 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 【答案】C【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或3.故选：C.4．若向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则实数 SKIPIF 1 < 0 _______．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的数量投影为_______．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的数量投影为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .6．将函数 SKIPIF 1 < 0 的图像和直线 SKIPIF 1 < 0 的所有交点从左到右依次记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，若点P坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．【答案】18【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，其图像和直线 SKIPIF 1 < 0 的所有交点从左到右依次记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，在同一平面直角坐标系中分别作出 SKIPIF 1 < 0 与直线l的图象，共得9个交点，其中点 SKIPIF 1 < 0 ，根据余弦函数的中心对称性可知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 8．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．【答案】5【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 9．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为______.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标得到 SKIPIF 1 < 0 的坐标，然后根据坐标求模长即可.【详解】由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．11．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求x的值；(2)若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为负实数），求x， SKIPIF 1 < 0 的值.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；（2）因为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为负实数），所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，舍去，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .12．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ．(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 （2）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 题组B 能力提升练1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A．0 B． SKIPIF 1 < 0  C．2 D．8【答案】C【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】C【详解】依题意，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.3．（多选）下列说法中正确的有（    ）A．已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；B．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；C．若非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是 SKIPIF 1 < 0 .D．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为锐角；【答案】AC【详解】设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；因为 SKIPIF 1 < 0 ，两边同时平方得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，又因为向量夹角的范围是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 为钝角，故D错误，故选：AC.4．（多选）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在弧 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在弧 SKIPIF 1 < 0 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（    ）A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0  B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 【答案】ABD【详解】对于A选项，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，A对；对于B选项，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，B对；对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，C错；对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，D对.故选：ABD.5．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 外接圆上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.【答案】48【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，建立平面直角坐标系，如图所示：则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 外接圆 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号．所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是48．故答案为：48．6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .7．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______【答案】2【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量平行的坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：28．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的坐标为__________.【答案】      SKIPIF 1 < 0       SKIPIF 1 < 0 【详解】①已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；②由①知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求x的值；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .【答案】(1)1(2)答案见解析【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .10．平面内向量 SKIPIF 1 < 0 （其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的坐标．(2)已知BC中点为D，当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，若AD与CP相交于点M，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题意，可设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 .（2）由题意 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，此时 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角就是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .题组C 培优拔尖练1．已知圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上四点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】C【详解】知圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上四点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，为O为原点，OA为x轴建立如图所示的直角坐标系：则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大 值6.故选：C2．（多选）有下列说法，其中正确的说法为（    ）A． SKIPIF 1 < 0 为实数，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 C．两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直D．若 SKIPIF 1 < 0 分别表示 SKIPIF 1 < 0 的面积，则 SKIPIF 1 < 0 【答案】BCD【详解】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时，很显然 SKIPIF 1 < 0 ，但是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，故A错误；对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 故B正确；对于C，因为向量 SKIPIF 1 < 0 为非零向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，即C正确；对于D，如图所示取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.故选:BCD.3．（多选）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点F在弧 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点E在弧 SKIPIF 1 < 0 上运动.则下列结论正确的有（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 的最小值是-3【答案】BCD【详解】以O为坐标原点，OB为x轴建立如图平面直角坐标系，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对于A项， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，对于B项， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，对于C项，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确，对于D项， SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大为-1，故D正确.故选：BCD.4．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为___________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列四个命题中，所有正确命题的序号是___________.①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 ，则存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .【答案】①②③④【详解】(1)若 SKIPIF 1 < 0  ， SKIPIF 1 < 0  ， SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0  ，当 SKIPIF 1 < 0  时取得最小值，所以 ①正确；(2)若 SKIPIF 1 < 0  ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  ，解得 SKIPIF 1 < 0  ，故②正确；(3)  SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  ，令 SKIPIF 1 < 0  ， SKIPIF 1 < 0  ， SKIPIF 1 < 0  ，所以③正确；(4) SKIPIF 1 < 0  ， 若 SKIPIF 1 < 0  ， SKIPIF 1 < 0  时，由(3)知④正确.故答案为：①②③④6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，求：(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）解：向量 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 .7．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）.(1)求 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式，并求 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期；(2)若当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；(3)若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为7，求 SKIPIF 1 < 0 的值.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(3) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ,（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .（3）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为7，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 .课程标准课标解读掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．1、通过阅读课本，和前面平面向量坐标表示的基础上，掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算2、截止当前，我们已经学习了两个数量积的公式，在学习过程中能根据实际情况，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．