(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义阶段性检测卷二（2份打包，教师版+原卷版，A3版）

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1．若单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
2．下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【答案】B
【详解】A： SKIPIF 1 < 0 仅表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小相等，但是方向不确定，故 SKIPIF 1 < 0 未必成立，所以A错误；
B：根据零向量的定义可判断B正确；
C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；
D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.故选：B.
3．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【详解】解：因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A
4．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B．-2C．6D．-6
【答案】C
【详解】由题意，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
6．设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A，B，C成等差数列，且直线ax+cy﹣12＝0平分圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0的周长，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】在△ABC中，A+B+C＝π，∵角A，B，C成等差数列，∴2B＝A+C，∴2B＝π﹣B，
∴B SKIPIF 1 < 0 ．∵直线ax+cy﹣12＝0平分圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0的周长，
∴圆心（2，3）在直线ax+cy＝12上，则2a+3c＝12，
∵a＞0，c＞0，∴12＝2a+3c SKIPIF 1 < 0 ，即ac≤6．当且仅当2a＝3c，即a＝3，c＝2时取等号．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴△ABC的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B.
8．如果平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么下列结论中不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为180° D．向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为180°，故C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：D.
二、多选题
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．b＝10，A＝45°，C＝70°B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝7，b＝5，A＝80°
【答案】BC
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，只有一解；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以有两解；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以有两解；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，所以有一解；
故选：BC.
10．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁 SKIPIF 1 < 0 若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,故A错误
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确,
SKIPIF 1 < 0 ,故C正确
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误,
故选：BC
11．已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中错误的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行
【答案】BCD
【详解】对于A，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，故A正确；
对于B，∵向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故B错误；
对于C，∵向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故C错误；
对于D，∵向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，∴不存在实数λ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，故D错误．
故选：BCD．
12．在 SKIPIF 1 < 0 中，角A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列叙述正确的是( )
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
【答案】AC
【详解】对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则根据正弦定理得：
SKIPIF 1 < 0 ，
∵sinA+sinB≠0，∴sinA=sinB，则a=b，即△ABC为等腰三角形，故A正确；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则根据正弦定理得：
SKIPIF 1 < 0 ，
∵A、B∈(0，π)，A+B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0，2π)且2A+2B∈(0，2π)，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B= SKIPIF 1 < 0 ，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 ，则根据正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵A、B∈(0，π)，A+B∈(0，π)，∴A=B，即△ABC为等腰三角形，故C正确；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ，则根据正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
则由B选项可知，此时△ABC为等腰或直角三角形，故D错误．故选：AC．
三、填空题
13．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则x=________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 又因为 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 边上中线长度为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的中线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 边上的中线长为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
16．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是AC中点， SKIPIF 1 < 0 ，试用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 为___________，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为____________
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】方法一：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时， SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题
17．如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 与矩形 SKIPIF 1 < 0 全等，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)用向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)用向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
解析 (1) SKIPIF 1 < 0 .
(2)以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为矩形 SKIPIF 1 < 0 与矩形 SKIPIF 1 < 0 全等，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
18．已知△ SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求△ SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）由正弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由余弦定理知： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
19．已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角大小为120°，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】13
【分析】根据题意，结合数量积的运算律，即可求解.
【详解】根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
20．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）5.
【详解】（1）由已知条件可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， 根据正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .顶点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
21．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
可得： SKIPIF 1 < 0 ，故： SKIPIF 1 < 0 .
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
22．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 对边的边长分别是 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 是等边三角形；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析(3) SKIPIF 1 < 0 ；
解析 （1） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则有 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形；
（3） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ．