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北师大版九年级数学上册 专题2.2 一元二次方程的解法【八大题型】（举一反三）（学生版）
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这是一份北师大版九年级数学上册 专题2.2 一元二次方程的解法【八大题型】（举一反三）（学生版），文件包含北师大版九年级数学上册专题22一元二次方程的解法八大题型举一反三教师版docx、北师大版九年级数学上册专题22一元二次方程的解法八大题型举一反三学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc21946" 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc21946 \h 1
\l "_Tc31454" 【题型2 用配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc31454 \h 2
\l "_Tc3019" 【题型3 用公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc3019 \h 3
\l "_Tc31779" 【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc31779 \h 3
\l "_Tc5424" 【题型5 用指定方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc5424 \h 4
\l "_Tc20857" 【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc20857 \h 5
\l "_Tc30017" 【题型7 用换元法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc30017 \h 5
\l "_Tc29487" 【题型8 配方法的应用】 PAGEREF _Tc29487 \h 7
【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为或的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】
【例1】（2023•建华区二模）解方程：（x﹣2）20（开平方法）．
【变式1-1】（2023•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）．
【变式1-2】（2023秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．
【变式1-3】（2023春•黄浦区校级期中）解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（开平方法）．
【知识点2 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型2 用配方法解一元二次方程】
【例2】（2023春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；
（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．
【变式2-1】（2023秋•松江区期末）用配方法解方程：．
【变式2-2】（2023秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0．
【变式2-3】（2023秋•潢川县期末）解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法）
【知识点3 公式法解一元二次方程】
当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个
式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【题型3 用公式法解一元二次方程】
【例3】（2023春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a．
【变式3-1】（2023秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．
【变式3-2】（2023秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【变式3-3】（2023•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．
【知识点4 因式分解法概念】
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程
转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【题型4 用因式分解法解一元二次方程】
【例4】（2023秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
【变式4-1】（2023秋•徐汇区校级月考）解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．
【变式4-2】（2023秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．
【变式4-3】（2023秋•简阳市 月考）用因式分解法解方程：x20
【题型5 用指定方法解一元二次方程】
【例5】（2023秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程：
（1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；
（2）x2＝8x+9（配方法）；
（3）2y2+7y+3＝0（公式法）；
（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）．
【变式5-1】（2023秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程：
（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）
（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解）
（3）x2+5x+1＝0（用公式法解）
（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法）
【变式5-2】（2023秋•简阳市月考）解下列方程
（1）（2x﹣1）2＝7（直接开平方法）
（2）2x2﹣7x﹣4＝0（用配方法）
（3）2x2﹣10x＝3（公式法）
（4）（3x﹣4）2＝（3﹣4x）2（因式分解法）
（5）（用换元法解）
（6）（2x2+1）2﹣2x2﹣3＝0（用换元法解）
【变式5-3】（2023秋•恩阳区月考）解方程：
①x2+（）x0（因式分解法）
②5x2+2x﹣1＝0（公式法）
③y2+6y+2＝0（配方法）
④9（x﹣2）2＝121（x+1）2（直接开平方法）
⑤1（换元法）
⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0（适当方法）
【题型6 用适当的方法解一元二次方程】
【例6】（2023春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；
（2）x2﹣2x﹣15＝0．
【变式6-1】（2023春•大观区校级期中）用适当的方法解方程
（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．
【变式6-2】（2023春•萧山区期中）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣x﹣6＝0；
（2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2．
【变式6-3】（2023春•柯桥区期中）选用适当的方法解下列方程．
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2+2x﹣5＝0．
【题型7 用换元法解一元二次方程】
【例7】（2023秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．
所以原方程的根为，，，．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
【变式7-1】（2023春•龙口市月考）阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根x1，x2，x3＝2，x4＝﹣2．
以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0；
（2）已知实数a满足（a2）2﹣3a2＝10+3，请直接写出a2的值．
【变式7-2】（2023秋•邵东市期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值．
解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0
∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1
已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值．
【变式7-3】（2023秋•甘井子区月考）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．
解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0．
解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；
当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5．
所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．
上述解法称为“整体换元法”．
（1）请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0；
（2）已知x2﹣xy﹣y2＝0，求的值．
【题型8 配方法的应用】
【例8】（2023秋•饶平县期末）已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b﹣c的值为（ ）
A．1B．﹣5C．﹣6D．﹣7
【变式8-1】（2023•武汉模拟）若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（ ）
A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．﹣8
【变式8-2】（2023春•仪陇县校级月考）已知a+b+c+3＝242，则a+b+c的值是 ．
【变式8-3】（2023春•临湘市期中）阅读材料
例：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据上面的方法解决下列问题：
（1）m2﹣4m﹣5最小值是 ．
（2）多项式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 ．
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\l "_Tc21946" 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc21946 \h 1
\l "_Tc31454" 【题型2 用配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc31454 \h 2
\l "_Tc3019" 【题型3 用公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc3019 \h 3
\l "_Tc31779" 【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc31779 \h 3
\l "_Tc5424" 【题型5 用指定方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc5424 \h 4
\l "_Tc20857" 【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc20857 \h 5
\l "_Tc30017" 【题型7 用换元法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc30017 \h 5
\l "_Tc29487" 【题型8 配方法的应用】 PAGEREF _Tc29487 \h 7
【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为或的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】
【例1】（2023•建华区二模）解方程：（x﹣2）20（开平方法）．
【变式1-1】（2023•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）．
【变式1-2】（2023秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．
【变式1-3】（2023春•黄浦区校级期中）解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（开平方法）．
【知识点2 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型2 用配方法解一元二次方程】
【例2】（2023春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；
（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．
【变式2-1】（2023秋•松江区期末）用配方法解方程：．
【变式2-2】（2023秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0．
【变式2-3】（2023秋•潢川县期末）解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法）
【知识点3 公式法解一元二次方程】
当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个
式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【题型3 用公式法解一元二次方程】
【例3】（2023春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a．
【变式3-1】（2023秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．
【变式3-2】（2023秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【变式3-3】（2023•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．
【知识点4 因式分解法概念】
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程
转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【题型4 用因式分解法解一元二次方程】
【例4】（2023秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
【变式4-1】（2023秋•徐汇区校级月考）解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．
【变式4-2】（2023秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．
【变式4-3】（2023秋•简阳市 月考）用因式分解法解方程：x20
【题型5 用指定方法解一元二次方程】
【例5】（2023秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程：
（1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；
（2）x2＝8x+9（配方法）；
（3）2y2+7y+3＝0（公式法）；
（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）．
【变式5-1】（2023秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程：
（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）
（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解）
（3）x2+5x+1＝0（用公式法解）
（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法）
【变式5-2】（2023秋•简阳市月考）解下列方程
（1）（2x﹣1）2＝7（直接开平方法）
（2）2x2﹣7x﹣4＝0（用配方法）
（3）2x2﹣10x＝3（公式法）
（4）（3x﹣4）2＝（3﹣4x）2（因式分解法）
（5）（用换元法解）
（6）（2x2+1）2﹣2x2﹣3＝0（用换元法解）
【变式5-3】（2023秋•恩阳区月考）解方程：
①x2+（）x0（因式分解法）
②5x2+2x﹣1＝0（公式法）
③y2+6y+2＝0（配方法）
④9（x﹣2）2＝121（x+1）2（直接开平方法）
⑤1（换元法）
⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0（适当方法）
【题型6 用适当的方法解一元二次方程】
【例6】（2023春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；
（2）x2﹣2x﹣15＝0．
【变式6-1】（2023春•大观区校级期中）用适当的方法解方程
（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．
【变式6-2】（2023春•萧山区期中）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣x﹣6＝0；
（2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2．
【变式6-3】（2023春•柯桥区期中）选用适当的方法解下列方程．
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2+2x﹣5＝0．
【题型7 用换元法解一元二次方程】
【例7】（2023秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．
所以原方程的根为，，，．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
【变式7-1】（2023春•龙口市月考）阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根x1，x2，x3＝2，x4＝﹣2．
以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0；
（2）已知实数a满足（a2）2﹣3a2＝10+3，请直接写出a2的值．
【变式7-2】（2023秋•邵东市期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值．
解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0
∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1
已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值．
【变式7-3】（2023秋•甘井子区月考）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．
解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0．
解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；
当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5．
所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．
上述解法称为“整体换元法”．
（1）请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0；
（2）已知x2﹣xy﹣y2＝0，求的值．
【题型8 配方法的应用】
【例8】（2023秋•饶平县期末）已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b﹣c的值为（ ）
A．1B．﹣5C．﹣6D．﹣7
【变式8-1】（2023•武汉模拟）若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（ ）
A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．﹣8
【变式8-2】（2023春•仪陇县校级月考）已知a+b+c+3＝242，则a+b+c的值是 ．
【变式8-3】（2023春•临湘市期中）阅读材料
例：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据上面的方法解决下列问题：
（1）m2﹣4m﹣5最小值是 ．
（2）多项式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 ．
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