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北师大版九年级数学上册 专题2.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】（举一反三）（学生版）
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这是一份北师大版九年级数学上册 专题2.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】（举一反三）（学生版），文件包含北师大版九年级数学上册专题23一元二次方程根的判别式八大题型举一反三教师版docx、北师大版九年级数学上册专题23一元二次方程根的判别式八大题型举一反三学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc22294" 【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】 PAGEREF _Tc22294 \h 1
\l "_Tc20400" 【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】 PAGEREF _Tc20400 \h 2
\l "_Tc4833" 【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】 PAGEREF _Tc4833 \h 2
\l "_Tc9602" 【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】 PAGEREF _Tc9602 \h 3
\l "_Tc28532" 【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】 PAGEREF _Tc28532 \h 4
\l "_Tc2248" 【题型6 根的判别式与新定义的综合】 PAGEREF _Tc2248 \h 4
\l "_Tc8511" 【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】 PAGEREF _Tc8511 \h 5
\l "_Tc3250" 【题型8 根的判别式与三角形的综合】 PAGEREF _Tc3250 \h 5
【知识点 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】
【例1】（2023•滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．无实数根B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根D．不能判定
【变式1-1】（2023•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【变式1-2】（2023春•长沙期末）关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．不能确定
【变式1-3】（2023•保定一模）方程（x+3）（x﹣1）＝x﹣4的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】
【例2】（2023春•钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
【变式2-1】（2023•南召县模拟）已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）
A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
【变式2-2】（2023•环翠区一模）对于任意的实数k，关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判定
【变式2-3】（2023春•平潭县期末）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+5）x+2k2+4k+50＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．无实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法判定
【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】
【例3】（2023•桥西区校级模拟）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确B．只有甲不正确
C．甲，乙，丙都不正确D．只有乙正确
【变式3-1】（2023•肥西县模拟）已知三个实数a，b，c满足a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，则关于x的方程ax2﹣cx+b＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有且只有一个实数根
C．两个实数根D．无数个实数根
【变式3-2】（2023春•德阳月考）函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
【变式3-3】（2023•咸安区模拟）已知不等式组有3个整数解，则关于x的方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0根的情况为（ ）
A．无法判断B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无实数根
【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】
【例4】（2023春•长丰县期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1B．m＞0C．m＜1且m≠0D．m＞0且m≠1
【变式4-1】（2023•西平县模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2023•滑县模拟）若关于x的一元二次方程2kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣9B．k＞﹣9且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
【变式4-3】（2023•定海区一模）直线y＝x﹣a不经过第二象限，且关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤1B．≤a＜1C．0＜a≤1D．0＜a＜1
【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】
【例5】（2023•合肥模拟）若关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝2mx有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．﹣1或0D．4或1
【变式5-1】（2023•高新区校级二模）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则a，b的值可能是（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣4B．a＝0，b＝0C．a＝1，b＝2D．a＝1，b＝4
【变式5-2】（2023•江夏区模拟）已知关于x的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax0有两个相等的实数根，则代数式a2﹣2a+1的值（ ）
A．.﹣3B．.3C．2D．﹣2
【变式5-3】（2023春•余杭区月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，且满足4a﹣2b+c＝0，则（ ）
A．b＝aB．c＝2aC．a（x+2）2＝0D．﹣a（x﹣2）2＝0
【题型6 根的判别式与新定义的综合】
【例6】（2023•烟台一模）定义新运算a⋆b，对于任意实数a，b满足a⋆b﹣（a+b）（a﹣b）﹣2．例如3⋆2＝（3+2）（3﹣2）﹣2＝5﹣2＝1，若x⋆（2x﹣1）＝﹣3是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【变式6-1】（2023•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（ ）
A．﹣1≤a≤0B．﹣1≤a＜0C．a≥0或a≤﹣1D．a＞0或a≤﹣1
【变式6-2】（2023•宁远县模拟）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x的方程（x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k且k≠0B．kC．k且k≠0D．k
【变式6-3】（2023•郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】
【例7】（2023秋•瓦房店市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．
【变式7-1】（2023秋•惠来县月考）已知一元二次方程x2+px+q+1＝0的一个根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根．
【变式7-2】（2023秋•方城县期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝p2，其中p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）试写出三个p的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由．
【变式7-3】（2023•东城区校级模拟）已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．
（1）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
【题型8 根的判别式与三角形的综合】
【例8】（2023•莲池区二模）若等腰三角形三边的长分别是a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个根，则满足上述条件的m的值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．3个以上
【变式8-1】（2023春•温州期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 ．
【变式8-2】（2023春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．
【变式8-3】（2023秋•揭西县期末）等腰三角形的三边长分别为a、b、c，若a＝6，b与c是方程x2﹣（3m+1）x+2m2+2m＝0的两根，求此三角形的周长．
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc22294" 【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】 PAGEREF _Tc22294 \h 1
\l "_Tc20400" 【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】 PAGEREF _Tc20400 \h 2
\l "_Tc4833" 【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】 PAGEREF _Tc4833 \h 2
\l "_Tc9602" 【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】 PAGEREF _Tc9602 \h 3
\l "_Tc28532" 【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】 PAGEREF _Tc28532 \h 4
\l "_Tc2248" 【题型6 根的判别式与新定义的综合】 PAGEREF _Tc2248 \h 4
\l "_Tc8511" 【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】 PAGEREF _Tc8511 \h 5
\l "_Tc3250" 【题型8 根的判别式与三角形的综合】 PAGEREF _Tc3250 \h 5
【知识点 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】
【例1】（2023•滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．无实数根B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根D．不能判定
【变式1-1】（2023•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【变式1-2】（2023春•长沙期末）关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．不能确定
【变式1-3】（2023•保定一模）方程（x+3）（x﹣1）＝x﹣4的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】
【例2】（2023春•钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
【变式2-1】（2023•南召县模拟）已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）
A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
【变式2-2】（2023•环翠区一模）对于任意的实数k，关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判定
【变式2-3】（2023春•平潭县期末）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+5）x+2k2+4k+50＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．无实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法判定
【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】
【例3】（2023•桥西区校级模拟）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确B．只有甲不正确
C．甲，乙，丙都不正确D．只有乙正确
【变式3-1】（2023•肥西县模拟）已知三个实数a，b，c满足a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，则关于x的方程ax2﹣cx+b＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有且只有一个实数根
C．两个实数根D．无数个实数根
【变式3-2】（2023春•德阳月考）函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
【变式3-3】（2023•咸安区模拟）已知不等式组有3个整数解，则关于x的方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0根的情况为（ ）
A．无法判断B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无实数根
【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】
【例4】（2023春•长丰县期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1B．m＞0C．m＜1且m≠0D．m＞0且m≠1
【变式4-1】（2023•西平县模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2023•滑县模拟）若关于x的一元二次方程2kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣9B．k＞﹣9且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
【变式4-3】（2023•定海区一模）直线y＝x﹣a不经过第二象限，且关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤1B．≤a＜1C．0＜a≤1D．0＜a＜1
【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】
【例5】（2023•合肥模拟）若关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝2mx有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．﹣1或0D．4或1
【变式5-1】（2023•高新区校级二模）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则a，b的值可能是（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣4B．a＝0，b＝0C．a＝1，b＝2D．a＝1，b＝4
【变式5-2】（2023•江夏区模拟）已知关于x的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax0有两个相等的实数根，则代数式a2﹣2a+1的值（ ）
A．.﹣3B．.3C．2D．﹣2
【变式5-3】（2023春•余杭区月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，且满足4a﹣2b+c＝0，则（ ）
A．b＝aB．c＝2aC．a（x+2）2＝0D．﹣a（x﹣2）2＝0
【题型6 根的判别式与新定义的综合】
【例6】（2023•烟台一模）定义新运算a⋆b，对于任意实数a，b满足a⋆b﹣（a+b）（a﹣b）﹣2．例如3⋆2＝（3+2）（3﹣2）﹣2＝5﹣2＝1，若x⋆（2x﹣1）＝﹣3是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【变式6-1】（2023•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（ ）
A．﹣1≤a≤0B．﹣1≤a＜0C．a≥0或a≤﹣1D．a＞0或a≤﹣1
【变式6-2】（2023•宁远县模拟）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x的方程（x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k且k≠0B．kC．k且k≠0D．k
【变式6-3】（2023•郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】
【例7】（2023秋•瓦房店市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．
【变式7-1】（2023秋•惠来县月考）已知一元二次方程x2+px+q+1＝0的一个根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根．
【变式7-2】（2023秋•方城县期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝p2，其中p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）试写出三个p的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由．
【变式7-3】（2023•东城区校级模拟）已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．
（1）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
【题型8 根的判别式与三角形的综合】
【例8】（2023•莲池区二模）若等腰三角形三边的长分别是a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个根，则满足上述条件的m的值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．3个以上
【变式8-1】（2023春•温州期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 ．
【变式8-2】（2023春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．
【变式8-3】（2023秋•揭西县期末）等腰三角形的三边长分别为a、b、c，若a＝6，b与c是方程x2﹣（3m+1）x+2m2+2m＝0的两根，求此三角形的周长．
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