北师大版九年级数学上册 专题4.1 成比例线段【七大题型】（举一反三）（学生版）

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\l "_Tc674" 【题型1 成比例线段的概念】 PAGEREF _Tc674 \h 1
\l "_Tc7506" 【题型2 成比例线段的应用】 PAGEREF _Tc7506 \h 2
\l "_Tc2742" 【题型3 比例的证明】 PAGEREF _Tc2742 \h 3
\l "_Tc26402" 【题型4 利用比例的性质求比值】 PAGEREF _Tc26402 \h 4
\l "_Tc3397" 【题型5 利用比例的性质求参】 PAGEREF _Tc3397 \h 4
\l "_Tc11543" 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Tc11543 \h 5
\l "_Tc2459" 【题型7 黄金分割】 PAGEREF _Tc2459 \h 6
【知识点1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 成比例线段的概念】
【例1】（2023秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（ ）
A．B．3C．8D．12
【变式1-1】（2023秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 2 ．
【变式1-2】（2023秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ）
A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：4
【变式1-3】（2023秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？
【题型2 成比例线段的应用】
【例2】（2023秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．
【变式2-1】（2023秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ）
A．0.8cmB．8cmC．80cmD．800cm．
【变式2-2】（2023秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（ ）
A．3：2B．1：3C．4：5D．3：1
【变式2-3】（2023•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）
A．舞蹈社不变，溜冰社减少
B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少
D．舞蹈社增加，溜冰社不变
【知识点2 比例的性质】
【题型3 比例的证明】
【例3】（2023秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果，求证：．
【变式3-1】（2023春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：．
【变式3-2】（2023秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．
证明：（1）；（2）．
【变式3-3】（2023秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且，求证．
【题型4 利用比例的性质求比值】
【例4】（2023秋•炎陵县期末）已知，则 ．
【变式4-1】（2023春•霍邱县期末）若，那么的值等于（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2023春•沙坪坝区校级期末）若且b﹣2d+3f≠0，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2023春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若（b﹣d≠0），则
D．若，则a＝3，b＝4
【题型5 利用比例的性质求参】
【例5】（2023秋•蜀山区校级期中）已知：k，则k＝ ．
【变式5-1】（2023秋•灌云县期末）已知，且x+y＝24．则x的值是（ ）
A．15B．9C．5D．3
【变式5-2】（2023秋•高州市期中）已知，且3y＝2z+6，求x，y的值．
【变式5-3】（2023•雨城区校级开学）我们知道：若，且b+d≠0，那么．
（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？
（2）若，求t2﹣t﹣2的值．
【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】
【例6】（2023秋•渝中区期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：．
证明：∵，
∴11．
∴．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，且a≠b，c≠d，证明．
【变式6-1】阅读材料：
已知0，求的值．
解：设k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）
∴．（第二步）
（1）回答下列问题：
①第一步运用了 的基本性质，
②第二步的解题过程运用了 的方法，
由得利用了 的基本性质．
（2）模仿材料解题：
已知x：y：z＝2：3：4，求的值．
【变式6-2】（2023秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当时，求的值．
【变式6-3】（2023春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，
依照上述方法解答下列问题：已知：（x+y+z≠0），求的值．
【知识点3 黄金分割】
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型7 黄金分割】
【例7】（2023•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为 ．
【变式7-1】（2023秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2023秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．
（1）若AB＝10cm，则AD＝ ；
（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；
（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．
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【变式7-3】（2023春•兖州区期末）再读教材：
宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中AB＝ （保留根号）；
（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．舞蹈社
溜冰社
魔术社
上学期
3
4
5
下学期
4
3
2
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.