北师大版九年级数学上册 专题4.4 相似三角形的性质【九大题型】（举一反三）（学生版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc29527" 【题型1 利用相似三角形的性质求角度】 PAGEREF _Tc29527 \h 2
\l "_Tc24587" 【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc24587 \h 4
\l "_Tc7499" 【题型3 利用相似三角形的性质求面积】 PAGEREF _Tc7499 \h 6
\l "_Tc21347" 【题型4 利用相似三角形的性质求周长】 PAGEREF _Tc21347 \h 8
\l "_Tc16322" 【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】 PAGEREF _Tc16322 \h 10
\l "_Tc1567" 【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】 PAGEREF _Tc1567 \h 14
\l "_Tc10825" 【题型7 尺规作图作相似三角形】 PAGEREF _Tc10825 \h 19
\l "_Tc19194" 【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 PAGEREF _Tc19194 \h 23
\l "_Tc10377" 【题型9 新定义中的相似三角形】 PAGEREF _Tc10377 \h 29
【知识点1 相似三角形的性质】
【题型1 利用相似三角形的性质求角度】
【例1】（2023·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．80°
【答案】B
【分析】根据相似三角形的对应角相等求出∠A＝∠D＝50°，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵△ABC~△DEF，
∴∠A＝∠D＝50°，
∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－50°－70°＝60°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，对应边成比例．
【变式1-1】（2023·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，ABC∽DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD的度数是（ ）
A．32°B．48°C．64°D．86°
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质得到∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵△ABC∽△DAC，∠B=31°，∠D=117°，
∴∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，
∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=2(180°-31°-117°)=64°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
【变式1-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（ ）
A．135°B．90°C．60°D．45°
【答案】D
【分析】根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°，即可得出．
【详解】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF，
又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系．
【变式1-3】（2023·云南楚雄·九年级期末）如图，点、、、四点共线，是等边三角形，当时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据得出，根据是等边三角形得出，根据外角的性质得出，可推出，从而即可得到答案.
【详解】

是等边三角形



故选A.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】
【例2】（2023·全国·九年级课时练习）如图，在中，，，是的中点，在上取一点，使∽，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】是的中点可求得，根据三角形相似的性质可得，可得的长即可求解．
【详解】解：∵是的中点，，
∴，
又∵∽，
，即，
解得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键．
【变式2-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据已知条件得到＝，即可得到EF＝2BC＝2，问题得解．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，
∴＝，
∴EF＝2BC＝2．
故选：B
【点睛】本题考查了相似的性质，熟知相似三角形的性质是解题关键．
【变式2-2】（2023·全国·九年级专题练习）已知，△ ABC的三边长分别为，，3，△ DEF的其中的两边长分别为1和，则第三边长为______．
【答案】
【分析】先求得相似比，再列式计算求得
【详解】设△ DEF的第三边长为x，
且△ ABC的三边长分别为，，3，
△ DEF的其中的两边长分别为1和，
∴，
∴ x＝，
∴ △ DEF的第三边长为
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键．
【变式2-3】（2023·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中___．
【答案】
【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，由相似三角形的判定定理可判断出，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答．
【详解】解：中，，，
，
，，
，
，
即，
．
故答案为：．
【点睛】本题涉及到三角形内角和定理、相似三角形的判定及性质，比较简单．
【题型3 利用相似三角形的性质求面积】
【例3】（2023·陕西渭南·九年级阶段练习）若，与的面积比为，则与的对应边的比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF的相似比即可．
【详解】解：∵且与的面积比为
∴它们的相似比为5：6．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答本题的关键．
【变式3-1】（2023·河南新乡·九年级期末）与的位似比是，已知的面积是3，则的面积是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】D
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的相似比，根据题意计算即可．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1：4，
∵△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是12，
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
【变式3-2】（2023·河北石家庄·九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大为原来的__________倍．
【答案】9
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出即可．
【详解】解：∵把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，
∴面积扩大为原来的9倍，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，能正确运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比．
【变式3-3】（2023·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积等于______．
【答案】
【分析】根据勾股定理得到AC＝4，当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，根据三角形的面积 公式得到AD＝，根据相似三角形的性质得到AE＝，由此三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝4，
∵△ADE∽△ABC，
∴，即
∴，
∴，
∴当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，
∴此时有
∴AD＝，
∴△ADE的最小面积；
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，正确的理解题意是解题的关键．
【题型4 利用相似三角形的性质求周长】
【例4】（2023·湖南株洲·九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（ ）
A．B．C．21D．28
【答案】D
【分析】根据题意求出三角形的周长，根据相似三角形的周长比等于相似比列式计算即可．
【详解】解：设另一个直角三角形的周长为x，
∵三角形的边长分别为3，4，5，
∴周长为：3＋4＋5＝12，
∵两个三角形相似，
∴，
解得：x＝28，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
【变式4-1】（2023·重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．2：3D．4：9
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，，
∴△ABC与△A1B1C1的周长之比．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【变式4-2】（2023·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知，其中，，，，那么的周长是______．
【答案】
【分析】根据两个三角形相似，相似三角形的周长比等于相似比，即可解出的周长．
【详解】∵
∴相似三角形的周长比等于相似比
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的周长比等于相似比．
【变式4-3】（2023·辽宁鞍山·二模）已知，且．若的周长是，那么的周长是________cm．
【答案】9
【分析】利用相似三角形的周长的比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵，
∴的周长：的周长＝＝2：1，
∵的周长是18cm，
∴的周长是9cm．
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，用到的知识点为：相似三角形周长的比等于相似比．
【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】
【例5】（2023·北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知平分∠，．
(1)求证：∠E=∠C；
(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，结合已知条件得出，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）根据列出比例式，代入数据计算即可求解．
（1）
证明：∵平分∠，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
，
,
解得．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式5-1】（2023·上海·测试·编辑教研五八年级期末）如图，在中，点、点分别在、上，点是上的一点，联结并延长交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明和相似，即可证明．
（2）先证明∽，再证明∽，得到，即可证明．
（1）
证明：，，
∽，
∴
．
（2）
证明：，，
∽，
，
，
又∵，
，
，
，
∽，
，
，
．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式．
【变式5-2】（2023·山东·东平县江河国际实验学校二模）如图，点D，E分别在△ABC的边BC，AC上，连接AD，DE．
（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；
（2）若点E是AC的中点，AD=AE， 求证：∠1=∠C．
【答案】（1）25；（2）见解析
【分析】（1）由∠C=∠BAD、∠ABD=∠CBA可得出△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质可得出 ，进而即可得到结论；
（2）由点E是AC的中点、AD= ，可得出 ，结合∠DAE=∠CAD可证出△DAE∽△CAD，再根据相似三角形的性质可证出∠1=∠C．
【详解】解：（1）∵∠C=∠BAD，∠B=∠B,
∴
∴,
∵AB=5
∴
（2）∵点E是AC的中点，
∴AC=2AE.
∵AD=AE.
∴，
，,
∴.，
又∠DAE=∠CAD(公共角).，
∴△DAE∽△CAD，
∴∠1=∠C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是：（1）根据相似三角形的性质找出等积式；（2）由边与边之间的关系找出 两边对应成比例，结合夹角相等证明三角形相似
【变式5-3】（2023·湖北恩施·二模）如图，在△ABC中，D、E、F分别是边AC，AB，BC上的点，DEBC，DFAB．
(1)求证：∠B=∠EDF．
(2)若CF＝BC，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明四边形为平行四边形，从而得到；
（2）证明，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解．
(1)
证明： ，，
四边形是平行四边形，
．
(2)
解： ，
．
四边形是平行四边形，
．
，，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解决本题的关键是将相似三角形的面积之比转化为相似比的平方．
【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】
【例6】（2023·全国·九年级课时练习）如图，已知的顶点E在的边BC上，DE与AB相交于点F，，．
(1)若，求AE；
(2)求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）根据，，证明，然后根据相似三角形对应边成比例得到，即可得到结论；
（2）首先由，得到，然后进一步证明，根据相似三角形对应边成比例和对应角相等得到，，然后根据两角对应相等证明，得到，然后根据线段之间的转化即可证明出．
（1）
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相似．
【变式6-1】（2023·江苏·九年级专题练习）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：；
（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）10
【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据相似三角形的判定定理证明，进而解答即可；
（2）根据相似三角形的相似比得出，再利用勾股定理求解．
【详解】证明：（1）由折叠的性质可知，，
，又，
，又，
，
；
（2）OP与PA的比为1：2，
，
设，则，，，
在中，，即，
解得，，即．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等．
【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，是边的延长线上一点，是边上一点，且．
求证：；
【答案】见解析
【分析】由可知，结合，判定即可得证．
【详解】证明：，
，
即，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形的相似性质和判定，等相关知识点，牢记知识点是解题关键．
【变式6-3】（2023·湖南益阳·九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
(1)求证：；
(2)FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
【答案】(1)见解析
(2)FD与DG垂直，证明见解析
【分析】（1）由比例线段可知，我们需要证明由两个角对应相等即可证得．
（1）由矩形的判定定理可知，四边形AFEG为矩形，根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到从而不难得到结论．
(1)
在△ADC和△EGC中，
∵∠ADC＝∠EGC，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△EGC．
∴．
(2)
FD与DG垂直．
证明如下：
在四边形AFEG中，
∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，
∴四边形AFEG为矩形．
∴AF＝EG．
∵，
∴．
又∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD＝∠C＝90°﹣∠DAC，
∴△AFD∽△CGD．
∴∠ADF＝∠CDG．
∵∠CDG+∠ADG＝90°，
∴∠ADF+∠ADG＝90°．即∠FDG＝90°．
∴FD⊥DG．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，①如果两个三角形的两组对应角相等，那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似.
【题型7 尺规作图作相似三角形】
【例7】（2023·山东烟台·八年级期末）尺规作图：如图，已知，且．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
(1)在边上求作点D，使；
(2)在边上求作点E，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意作出垂直平分线交于点，即可求解；
（2）作即可求解．
（1）
如图所示，作出垂直平分线交于点，点即为所求；
（2）
如图所示，作交于点，点E即为所求．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，作一个角等于已知角，掌握垂直平分线的性质，相似三角形的性质以及基本作图是解题的关键．
【变式7-1】（2023·山东济宁·二模）如图，在中，平分．
(1)求作使点E在上，且；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，求长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为
【分析】（1）根据作一个角等于已知角进行作图即可；
（2）先求出∠C=30°，∠ABD=∠CBD=30°，再求出CD与BC的长，再由列出比例式，再求解即可
(1)
作图如下：
(2)
∵，，
∴∠C=30°，
∵BD平分．
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵在Rt△ABC中，，∠C=30°，
∴，
∵在Rt△ABD中，，∠ABD=30°，
∴，
∴CD=2，
∵，
∴，
∴，
解得：CE=．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
【变式7-2】（2023·陕西宝鸡·一模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一定点．请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】由△ABC∽△PCD和AB＝AC，可以推导出△PCD为等腰三角形，即可知点P在线段CD的中垂线上．
【详解】解：∵△ABC∽△PCD，
∴,
∴△PCD是以P为顶点的等腰三角形，及P在线段CD的中垂线上，
如图，点P即为所求.
【点睛】本题考查相似三角形的应用、尺规作图，通过相似找到线段关系，准确画出图像是解题的关键．
【变式7-3】（2023·江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B．
(1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
① 过点D作AB的平行线交BC于点F；
② P为AB边上的一点，且△DAP∽△PBC，请找出所有满足条件的点；
(2)在（1）的条件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，则AP＝ ．
【答案】(1)见解析；
(2)或
【分析】（1）延长AD，作∠EDF=∠A，则此时；先作DC的垂直平分线，过点D作AB的垂线交AB于点M，以C为顶点，CD为角的一条边，作∠DCO=ADM，交CD的垂直平分线于一点O，以O为圆心，以OC为半径作圆，与AB的交点即为所求作的点P；
（2）根据相似三角形对应边相等，列出关于AP的关系式，求解即可．
(1)
如图所示：
DF即为所求作的平行线；
如图所示，
符合条件的点P共有两个；
(2)
∵△DAP∽△PBC，
∴，
设AP=x，则BP=6-x，
∴，
即，
，
解得：，，
即或．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，三角形相似的性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，线段的垂直平分线，是解决本题的关键．
【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】
【例8】（2023·安徽合肥·二模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点O．
(1)请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符号写出这对相似三角形：
(2)线段AO的长为______．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）如图，连接BD，AC即可，可得．
（2）利用相似三角形的性质求解即可．
(1)
如图，连接AC，BD，
由格点图可得BD∥AC，
∴，
(2)
∵，
∴，
∵DB=，AC=，AB=，
∴，
∴AO=3OB，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的三边关系，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式8-1】（2023·河南南阳·九年级期末）（1）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上．在方格纸内画，使，相似比为，且顶点都在格点上．
（2）的面积是______．
【答案】（1）答案见解析；（2）12
【分析】（1）根据相似比为先确定对应点的位置，再连接即可得到答案；
（2）先求出根据△ABC的面积，然后根据相似三角形的性质得到的面积．
【详解】（1）如图，为所求作图形；（答案不唯一）
（2）由题意得，
，相似比为
故答案为：12．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理及性质定理，涉及作图，熟练掌握知识是解题关键．
【变式8-2】（2023·浙江温州·九年级专题练习）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）
(1)在图1中画出线段的中垂线
(2)如图2，在线段上找出点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点，，作直线即可；
（2）将点沿网格向下移动个小格到点，将点沿网格向上移动个小格到点，连接交于点，则点即为所求．
（1）
如图所示，利用网格线确定中点，然后使二者垂直即可；
（2）
将点沿网格向下移动个小格到点，将点沿网格向上移动个小格到点，连接交于点，
，
，
，
点即为所求，如图所示：
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，相似三角形的应用，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
【变式8-3】（2023·浙江温州·九年级期中）如图，在8×8的方格中，ABC的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
(1)请在图1中画一个三角形，使它与ABC相似，且相似比为2：1
(2)请在图2中画一个三角形，使它与ABC相似，且面积比为2：1
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）已知△ABC的三边长分别为AB＝，AC＝，BC＝3，则△的三边长分别为＝，＝，＝6，在图中画出△即可；
（2）已知△ABC的三边长分别为AB＝，AC＝，BC＝3，则△的三边长分别为＝，＝，＝3，在图中画出△即可．
（1）
解：如图1所示：△A1B1C1即为所求；
（2）
如图2所示：△A2B2C2即为所求．
【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出相似三角形的边长是解题关键．
【题型9 新定义中的相似三角形】
【例9】（2023·陕西渭南·九年级期末）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．
(1)如图1，在四边形中，，，，当时．求证：对角线是四边形的“理想对角线”；
(2)如图2，四边形中，平分，，，对角线是四边形的“理想对角线”，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用两角对应相等证明，可得结论；
（2）利用“理想对角线”的定义可得与相似，先找到对应角（分两种情况），再利用相似三角形的性质即可求解．
（1）
证明：如图1中，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴对角线是四边形的“理想对角线”．
（2）
解：如图2中，
∵平分，
∴，
∵对角线是四边形的“理想对角线”，
∴与相似，
①若，则，
∴，即，
∵，，
∴，
解得：，（不合题意，舍去）
②若，
∵，，
∴，与四边形的“理想对角线”的定义矛盾，
∴与不相等，即第二种情况不存在．
综上所述，的长为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四边形的“理想对角线”的定义，等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质等知识．解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．
【变式9-1】（2023·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．
（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之间的等量关系；
②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．
【答案】（1）见解析（2）①a=b+1②见解析
【分析】（1）作AD的垂直平分线，交AC于F点即可；
（2）①根据题意得到a=2c，联立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；
②证明△ABE∽△CBA，得到，故可求解．
【详解】（1）如图，点F为所求；
（2）①∵△ABC是“和谐三角形”
∴a=2c
又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
联立化简得到a=b+1；
②∵E点是BD中点
∴BE=
由①得到AB=
∴
又∠ABE=∠CBA
∴△ABE∽△CBA
∴
故△ACE是“和谐三角形”．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的做法．
【变式9-2】（2023·江苏常州·九年级期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．
(1)在△ABC中，∠A=30．
①如图1，若∠B=100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；
②如图2，若∠B =90°，BC=1，则△ABC的“形似线段”的长是 ．
(2)如图3，在DEF中，，，，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．
【答案】(1)①见解析；②或
(2)3
【分析】（1）①使即可，②利用三角形相似求解，分论讨论，当时，当时，结合勾股定理求解；
（2）进行分类讨论，若，若，结合，，进行求解．
(1)
①如图所示，
②分论讨论如下：
当时，如下图：
，
，
，
，
当时，如下图：
设，则，
，
解得：，
，
则△ABC的“形似线段”的长是或，
故答案为：或．
(2)
解：①若，
则．
，，，
．
②若，
则．
，，，
．
综上，．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，勾股定理，解题的关键是掌握三角形相似的判定及性质，及利用分论讨论的思想进行求解．
【变式9-3】（2023·安徽合肥·二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题：
(1)如图1，△ABC中，AD是角平分线，且，求证：△ABC是倍角三角形；
(2)如图2，已知△ABC是倍角三角形，且，，，求AC的长；
(3)如图3，已知△ABC中，，，，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据相似三角形的判定可证△ABD∽△CBA，进而由相似三角形的性质可得∠BAD=∠C，角平分线的性质可得∠BAC=2∠BAD，等量代换即可求证结论；
（2）作△ABC的角平分线AD，根据角平分线的性质易得∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，进而可证△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质可得，进而可得BD、CD，由等角对等边可得AD=CD=3.6，根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求解；
（3）过点A作∠BAC的三等分角，AD，AE，分别交BC于点D，E，根据三等分线的性质可知：，进而可证，由相似三角形的性质可得：，进而可得BD、CD，根据外角的性质和等量代换可得,进而由等角对等边可得，进而可得，由相似三角形的性质可得：，代入数据求得：，由相似三角形的性质可得，代入数据即可求解．
(1)
∵，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BAD=∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAD，
∴∠BAC=2∠C，
∴△ABC是倍角三角形：
(2)
如图2，作△ABC的角平分线AD，则∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，
∵∠BAC=2∠C，
∴∠BAD=∠C，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
∴，
∵∠CAD=∠C，
∴AD=CD=3.6，
∵，
∴，
∴
(3)
如图3，过点A作∠BAC的三等分角，AD，AE分别交BC于点D，E，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、角平分线的性质、等角对等边等知识，正确做辅助线构造相似三角形，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其性质．①相似三角形的对应角相等．
如图，，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．
如图，，则有
（为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．
如图，∽，则有
．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图，∽，则有