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数学九年级下册第一章 直角三角形的边角关系4 解直角三角形优秀达标测试
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这是一份数学九年级下册第一章 直角三角形的边角关系4 解直角三角形优秀达标测试，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在△ABC中，AC=18，∠C=∠BAD=30°，AD⊥BC，垂足为D，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为
( )
A. 3B. 3C. 2 3D. 6
2.在△ABC中，AB=10，tanB=34，如果△ABC的形状和大小都被确定，那么线段AC的长度不可能为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
3.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=( )
A. 4B. 8 33C. 2 3D. 5
4.如图，已知△ABC，tanB= 3，ABBC=32，BC=2 3，AC的长为( )
A. 23
B. 19
C. 21
D. 3 3
5.如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA=( )
A. 105
B. 35
C. 45
D. 无法求得
6.如图，在△ABC中，BC= 6+ 2，∠C=45°，AB= 2AC，则AC的长为( )
A. 2+1B. 2C. 6D. 2+ 3
7.下列说法正确的是( )
A. 在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大2倍，那么csA的值也扩大2倍
B. 若a,b均为非零向量，且|a|=2|b|，则有a=2b或a=−2b
C. 若∠A=30°，则它的邻边和对边的比值为 3
D. a//b，则a=kb(k为实数)
8.如图，若将△AOB绕点O按顺时针方向旋转50°后，得到△A′OB′，且AA′=6，则OA的长为( )
A. 3sin25°
B. 3cs25°
C. 3sin25∘
D. 3cs25∘
9.已知线段AB，按如下步骤作图：
①取线段AB中点C；
②过点C作直线l，使l⊥AB；
③以点C为圆心，AB长为半径作弧，交l于点D；
④作∠DAC的平分线，交l于点E.则tan∠DAE的值为( )
A. 12
B. 2 55
C. 5+12
D. 5−12
10.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为( )
A. 13
B. 12
C. 55
D. 33
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0,1)，B(4,1)，C(5,6)，则sin∠BAC=( )
A. 12B. 135C. 22D. 32
12.如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点B在x轴负半轴上，反比例函数y=kx(k<0,x<0)的图象经过点A、C，若AB=AO=CO，tan∠BAO=34，且2∠COB=∠BAO，S△ACD=85时，k的值为( )
A. −6
B. −3
C. −34
D. −43
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，EF⊥AC于点F.若tan∠BAC=2，EF=1，则AE的长为 ．
14.由4个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C，D都在格点上，∠A=60°，则cs∠CDB的值为___________．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB=2BD，tan∠BCD=23，则ACBC的值为 ．
16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB=2BD，tan∠BCD=23，则ACBC的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=12，AC=3，点D、E分别在边AB、BC上，且AD：DB=1：2，DE⊥BC．
(1)求∠DCE的正切值；
(2)如果设AB=a，CD=b，试用a、b的线性组合表示AC；
(3)求作CE在AB、CD方向上的分向量．
18.(本小题8分)
如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∠ABC=35，点D在边BC上，BD=4连接AD，tan∠DAC=23．
(1)求边AC的长；
(2)求tan∠BAD的值．
19.(本小题8分)
如图，∠ACB=90∘，AB=13，AC=12，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC的值和点B到直线MC的距离．
20.(本小题8分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，CE=CB，CD=5，sin∠ABC=35．
求：(1)BC的长．
(2)tanE的值．
21.(本小题8分)
在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，求sin∠BOD的值．
22.(本小题8分)
如图，在5×7的网格中，有A、B、C三点，仅用无刻度的直尺作出下列图形，并保留作图痕迹．
(1)在网格中画出格点D，使四边形ABCD为菱形，并画出菱形ABCD；
(2)作BC边上的高AE；
(3)连接DE，过点C作CF//ED，交AD的延长线于点F；
(4)在菱形ABCD外部画出格点P，使tan∠DPF=12(画出一个点即可)
23.(本小题8分)
如图，在8×8的网格中，已知△ABC的三个顶点均为格点，请按下列要求画图，
(1)如图1，作格点△ABD，使△ABD为等腰三角形，且△ABD的面积等于△ABC的面积；
(2)如图2，作格点△ABE，使tan∠AEB=2，且△ABE的面积与△ABC的面积相等．
24.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD=CA，BE⊥CD，垂足为点E．
(1)求∠EBD的正弦值；
(2)求AD的长．
25.(本小题8分)
已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED=45°．
(1)如图1，若AE=DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求ADDB的值；
(2)如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形、特殊角的三角函数，通过解直角三角形求出AD、DE的长度是解题的关键．在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度．
【解答】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°．
在Rt△ADC中，AC=18，∠C=30°，
∴AD=12AC=9，
在Rt△ADB中，AD=9，∠BAD=30°，
∴BD= 33AD=3 3，∠ABD=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD=30°．
在Rt△EBD中，BD=3 3，∠EBD=30°，
∴DE= 33BD=3．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：如图，当∠C=90°时，
∵tanB=ACBC=34，
∴设AC=3x，BC=4x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴9x2+16x2=100，
∴x=2或x=−2舍去，
∴AC=6，BC=8，
∵△ABC的形状和大小都被确定，
∴AC=6或AC≥10，
∴线段AC的长度不可能为8．
故选：B．
当∠C=90°时，根据tanB=ACBC=34，可设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得x=2，所以AC=6，根据△ABC的形状和大小都被确定，可得AC=6或AC≥10，即可解决问题．
本题考查解直角三角形，解题的关键是理解题意，判断出三角形唯一确定的AC的范围，属于中考常考题型．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理及含30度角的直角三角形的性质，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
分析题意构造一个直角三角形，然后利用勾股定理解答即可．
【解答】
解：如图，延长AD，BC交于点E，
则∠E=30°．
在△CED中，CE=2CD=6(30°锐角所对直角边等于斜边一半)，
∴BE=BC+CE=8，
在△AEB中，AE=2AB(30°锐角所对直角边等于斜边一半)，
∴AB2+BE2=AE2，即AB2+64=(2AB)2，3AB2=64，
解得：AB=8 33．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：作CD⊥AB交AB于D，
∵tanB=CDBD= 3，BC=2 3，
∴BD= 3，CD=3，
∵ABBC=32，
∴AB=3 3，
∴AD=AB−BD=3 3− 3=2 3，
在Rt△ACD中，AC= AD2+CD2= (2 3)2+32= 21．
故答案为：C．
作CD⊥AB交AB于D，根据tanB=CDBD= 3，BC=2 3，得出BD= 3，CD=3，进而得出AD=AB−BD=2 3，再根据勾股定理即可得出答案．
本题考查三角函数，勾股定理，正确计算是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：设每个小正方形的边长为a，作CD⊥AB于点D，由图可得：CD=4a，AD=3a，
∴AC= AD2+CD2= (3a)2+(4a)2=5a，
∴sinA=CDAC=4a5a=45，
故选：C．
先作CD⊥AB于点D，即可求出答案．
本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，构造出合适的直角三角形．
6.【答案】B
【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴AD=DC，AC= 2AD，
∵AB= 2AC，
∴AB=2AD，
在Rt△ABD中，AB=2AD，
∴∠B=30°，
∴BD= 3AD，
∵BC= 6+ 2，
∴BD+CD= 6+ 2，
∴ 3AD+AD= 6+ 2，
∴AD= 2，
∴AC= 2AD=2，
故选：B．
根据∠C=45°，想到构造直角三角形，所以过点A作AD⊥BC，垂足为D，可得AC= 2AD，因为AB= 2AC，所以得出AB=2AC，从而求出∠B=30°，可得BD= 3AD，再根据BC= 6+ 2，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A.在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大2倍，但是锐角A的度数不变，故csA的值不变，原说法错误；
B.若a,b均为非零向量，且|a|=2|b|，不一定有a=2b或a=−2b，原说法错误；
C.在直角三角形中，若∠A=30°，则它的邻边和对边的比值为 3，原说法错误；
D.a//b时，则a=kb(k为实数)，说法正确；
故选：D．
根据三角函数的定义判断A，C，根据向量的有关性质判断B，D．
本题考查了三角函数，向量，正确理解相关概念是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由旋转可得：OA=OA′，∠AOA′=50°，
过O作OE⊥AA′于E，而AA′=6，
∴∠AOE=∠A′OE=25°，AE=A′E=3，
∴sin∠AOE=sin25°=AEOA，
∴OA=3sin25∘，
故选：C．
过O作OE⊥AA′于E，利用等腰三角形与旋转的性质可得∠AOE=∠A′OE=25°，AE=A′E=3，再利用锐角三角函数的含义解答即可．
本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：过点E作EH⊥AD于点H.设AB=CD=2m，则AC=CB=m，
∵∠ACD=90°，
∴AD= AC2+CD2= m2+(2m)2= 5m，
∵AE平分∠DAC，EH⊥AD，EC⊥AB，
∴EH=EC，
∵S△ACD=12×m×2m=12× 5m×EH+12×m×EC，
∴EC=EH= 5−12m，
∴tan∠DAE=tan∠EAC=ECAC= 5−12．
故选：D．
过点E作EH⊥AD于点H.设AB=CD=2m，则AC=CB=m，利用面积法求出EC，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】A
【解析】解：如图，取网格点D，连接BD，
由网格图，可得：AD= 32+32=3 2，BD= 12+12= 2，AB= 22+42=2 5，
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴tanA=BDAD= 23 2=13，
故选：A．
根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D，
∵A(0,1)，B(4,1)，C(5,6)，
∴D(5,1)，
∴CD=6−1=5，AD=5，
∴AC=5 2，
∴sin∠BAC=CDAC= 22，
故选：C．
过C作CD⊥AB交AB延长线于D，计算出CD、AC的长，根据正弦计算方法计算即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．
12.【答案】B
【解析】解：如图，设∠BOC=α，则∠BAO=2∠COB=2α
∵AB=AO，
∴∠ABO=∠AOB=90°−α，
∴∠ABO+∠BOD=90°，
∴∠BDO=90°，即AB⊥OD，
在Rt△AOD中，tan∠BAO=ODAD=34，
设OD=3m，则AD=4m，
∴AO= (3m)2+(4m)2=5m，
∴AB=OC=5m，
∴BD=m，CD=2m，
∵S△ACD=85，
∴S△ACD=12⋅AD⋅CD=85，即12⋅4m⋅2m=85，
∴m2=25，
∴S△ABO=12⋅AB⋅OB=12⋅5m⋅3m=152m2=152×25=3，
∴|k|=S△ABO=3，
∴k=−3．
故选：B．
设∠BOC=α，则∠BAO=2∠COB=2α，可得AB⊥OD，由S△ACD=85，可得出S△ABO=3，即可得出k的值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图形上点的坐标特征，三角形的面积，知道|k|=S△ABO是解题的关键．
13.【答案】 5
【解析】解：∵在矩形ABCD中，∠B=90°，tan∠BAC=2，
∴BCAB=2，
∵AD=BC，CD=AB，
∴CDAD=12，
∴tan∠EAF=12，
∵EF=1，
∴AF=2，
∴AE= AF2+EF2= 22+12= 5，
故答案为： 5．
根据矩形的性质和解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
14.【答案】 32
【解析】解：∵四边形ABCF、CFDE都是菱形，∠A=60°，
∴△ECD、△FCD都是等边三角形，
∴∠FCD=∠BCF=60°，CD=CF，
∴∠BCD=120°，BC=CF=CD，
∴∠CDB=12(180°−∠BCD)=30°，
∴cs∠CDB=cs30°= 32，
故答案为： 32．
根据菱形的性质证明△ECD、△FCD都是等边三角形，求得∠BCD=120°，利用等边对等角求得∠CDB=30°，据此即可求解．
本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、锐角三角函数，熟练掌握相关理论是解答关键．
15.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法．
通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出BDAB=BMBC=DMAC=12，再根据tan∠BCD=23，设参数表示AC、BC即可求出答案．
【解答】
解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB=∠DMB=90°，∠ABC=∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴BDAB=BMBC=DMAC，
∵AB=2BD，
∴BDAB=BMBC=DMAC=12，
在RtCDM中，
由于tan∠BCD=23=DMCM，
设DM=2k，则CM=3k，
又∵BMBC=12=DMAC，
∴BC=2k，AC=4k，
∴ACBC=4k2k=2，
故答案为：2．
16.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法．通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出BDAB=BMBC=DMAC=12，再根据tan∠BCD=23，设参数表示AC、BC即可求出答案．
【解答】
解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB=∠DMB=90°，∠ABC=∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴BDAB=BMBC=DMAC，
∵AB=2BD，
∴BDAB=BMBC=DMAC=12，
在RtCDM中，
由于tan∠BCD=23=DMCM，
设DM=2k，则CM=3k，
又∵BMBC=12=DMAC，
∴BC=2k，AC=4k，
∴ACBC=4k2k=2，
故答案为2．
17.【答案】解：(1)Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=12，AC=3，
∴ACBC=12，
∴BC=6，AB= AC2+BC2= 32+62=3 5，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠ACB=90°，
∴DE//AC，
∴BDBA=DEAC=BEBC=23，
∴DE=2，BE=4，
∴EC=BC−BE=6−4=2，
∴tan∠DCE=DEEC=1；
(2)∵AD：DB=1：2，
∴AD=13AB=13a，
∴AC=AD+DC=13a−b−；
(3)如图，CE在AB、CD方向上的分向量分别为CM，CN．
【解析】(1)解直角三角形求出BC，AB，再利用平行线分线段成比例定理求出DE=2，EC=2，可得结论；
(2)根据AC=AD+DC，求解即可；
(3)利用平行四边形法则求解即可．
本题考查作图−复杂作图，解直角三角形，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则解决问题．
18.【答案】解：(1)设AC=3m，
∵BD=4，BC=CD+BD，
∵∠C=90°，sin∠ABC=35，tan∠DAC=23，
∴CD=2m，AB=5m，
∴BC=4m，
∴4m=2m+4，
解得m=2，
∴AC=3m=6；
(2)作DE⊥AB于点E，
由(1)知，AB=5m=10，AC=6，BD=4，
∵AB⋅DE2=BD⋅AC2，
∴10×DE2=4×62，
解得DE=125，
∵AC=6，CD=2m=4，∠C=90°，
∴AD= 62+42=2 13，
∴AE= AD2−DE2= (2 13)2−(125)2=345，
∴tan∠BAD=DEAE=125345=617，
即tan∠BAD的值是617．
【解析】(1)根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；
(2)根据(1)中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到tan∠BAD的值．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：∵AB=13，AC=12，∠ACB=90∘，
∴BC= AB2−AC2= 169−144= 25=5．
∴sin∠BAC=BCAB=513．
过点B作BD⊥MC于点D．
∵∠BCM=∠BAC，
∴sin∠BCM=sin∠BAC．
∴sin∠BCM=BDBC=513，即BD5=513．
∴BD=2513，
即点B到直线MC的距离为2513．
【解析】见答案
20.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，D是边AB的中点；
∴CD=12AB，
∵CD=5，
∴AB=10，
∵sin∠ABC=ACAB=35，
∴AC=6
∴BC= AB2−AC2= 102−62=8；
(2)作EH⊥BC，垂足为H，
∴∠EHC=∠EHB=90°
∵D是边AB的中点，
∴BD=CD=12AB，
∴∠DCB=∠ABC，
∵∠ACB=90°，
∴∠EHC=∠ACB，
∴△EHC∽△ACB，
∴EHAC=CHBC=ECAB，
∵BC=8，CE=CB，
∴CE=8，∠CBE=∠CEB，
∴EH6=CH8=810
解得EH=245，CH=325，BH=8−325=85
∴tan∠CBE=EHBH=3，即tanE=3．
【解析】本题考查了解直角三角形，熟练运用直角三角函以及三角形相似是解题的关键．
(1)先由直角三角形的中线定理求出CD的长度，然后根据勾股定理求出长度；
(2)作EH⊥BC，垂足为H，所以∠EHC=∠EHB=90°，由D是边AB的中点，可得BD=CD=12AB，∠DCB=∠ABC，∠EHC=∠ACB，得到△EHC∽△ACB，然后根据相似比求出EH=245，CH=325，BH=8−325=85，因此tan∠CBE=EHBH=3，即tanE=3．
21.【答案】解：连接AE，EF，如图所示，
则 AE//CD，
∴∠FAE=∠BOD．
设每个小正方形的边长为 a，
则 AE= 2a，AF=2 5a，EF=3 2a．
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°．
∴sin∠FAE=EFAF=3 1010．
∴sin∠BOD=3 1010．
【解析】构造AE//CD及直角三角形△FAE，根据平行的性质转化角并利用正弦的定义解题即可．
本题主要考查三角函数函数值的求法，能够熟练构造直角三角形是解题关键．
22.【答案】解：(1)如图，菱形ABCD即为所求作．
(2)如图，线段AE即为所求作．
(3)如图，点F即为所求作．
(4)如图，点P，点P′，点P″即为所求作．
【解析】(1)根据平行四边形的判定解决问题即可．
(2)取格点Q，连接AQ交BC于点E，线段AE即为所求作．
(3)利用平行四边形的性质解决问题．
(4)通过计算可知AE=2CE，可得P′满足条件，再利用四点共圆的性质，可知P，P″也满足条件．
本题考查作图−应用与设计作图，菱形的判定和性质，三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：(1)在AB的垂直平分线上取点D，使D到AB的距离等于C到AB的距离，连接AD，BD，如图：
△ABD即为所求；
(2)取A上方的格点K，连接BK，以BK为直径作⊙O交AB上方第三条格线于E，连接BE，AE，如图：
△ABE即为所求；
理由：
∵∠BAK=90°，BK是⊙直径，
∴⊙O过点A，
∵AB=AB，
∴∠AEB=∠AKB，
∵AB=2AK，∠BAK=90°，
∴tan∠AKB=ABAK=2，
∴tan∠AEB=2，
又E到AB的距离等于C到AB的距离，
∴△ABC满足条件的点．
【解析】(1)在AB的垂直平分线上取点D，使D到AB的距离等于C到AB的距离，连接AD，BD，则△ABD即为所求；
(2)取A上方的格点K，连接BK，以BK为直径作⊙O交AB上方第三条格线于E，连接BE，AE，则△ABE即为所求；
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是利用同弧所对的圆周角相等确定E的位置．
24.【答案】解：(1)∵AD=CD，
∴∠CAD=∠ADC=∠EDB，
又∵在Rt△EDB中，∠EDB+∠EBD=90°，在Rt△ABC中，∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠EBD=∠ABC，
∴sin∠EBD=sin∠ABC=13；
(2)过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：
在Rt△ACB中，cs∠CAB=ACAB=39=13，
∴在Rt△AFC中，cs∠CAF=13=AFAC=AF3，
∴AF=1，
又∴△CAD为等腰三角形，CF⊥AD，
∴AD=2AF=2．
【解析】(1)通过已知条件推出∠EBD=∠ABC，即可通过求∠ABC的正弦值求出∠EBD的正弦值；
(2)过点C作CF⊥AB于点F，利用cs∠CAF=cs∠CAB求出AF的长，结合等腰三角形性质即可求出AD的长．
本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用是解题关键．
25.【答案】(1)①证明：∵AE=DE，
∴∠ADE=∠DAE，
∵∠CAD=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，∠DAE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠ACD，
∴EA=EC，
∵∠AED=45°=∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD=22.5°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACD=22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA=DT，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，
∴BD= 2DT= 2AD，
∴ADDB= 22．
(2)解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．
∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB=∠T=∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠ABE=∠CAT，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△CAT(AAS)，
∴AE=CT，BE=AT，
∵∠AED=∠CET=45°，∠T=90°，
∴ET=CT=AE，
∴BE=2AE，
∴tan∠ABE=AEBE=12
【解析】(1)①想办法证明∠ACD=∠CAE=22.5°即可解决问题．
②如图1中，过点D作DT⊥BC于T.证明DA=DT，BD= 2DT即可解决问题．
(2)如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T.证明△ABE≌△CAT(AAS)可得结论．
本题考查解直角三角形，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在△ABC中，AC=18，∠C=∠BAD=30°，AD⊥BC，垂足为D，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为
( )
A. 3B. 3C. 2 3D. 6
2.在△ABC中，AB=10，tanB=34，如果△ABC的形状和大小都被确定，那么线段AC的长度不可能为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
3.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=( )
A. 4B. 8 33C. 2 3D. 5
4.如图，已知△ABC，tanB= 3，ABBC=32，BC=2 3，AC的长为( )
A. 23
B. 19
C. 21
D. 3 3
5.如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA=( )
A. 105
B. 35
C. 45
D. 无法求得
6.如图，在△ABC中，BC= 6+ 2，∠C=45°，AB= 2AC，则AC的长为( )
A. 2+1B. 2C. 6D. 2+ 3
7.下列说法正确的是( )
A. 在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大2倍，那么csA的值也扩大2倍
B. 若a,b均为非零向量，且|a|=2|b|，则有a=2b或a=−2b
C. 若∠A=30°，则它的邻边和对边的比值为 3
D. a//b，则a=kb(k为实数)
8.如图，若将△AOB绕点O按顺时针方向旋转50°后，得到△A′OB′，且AA′=6，则OA的长为( )
A. 3sin25°
B. 3cs25°
C. 3sin25∘
D. 3cs25∘
9.已知线段AB，按如下步骤作图：
①取线段AB中点C；
②过点C作直线l，使l⊥AB；
③以点C为圆心，AB长为半径作弧，交l于点D；
④作∠DAC的平分线，交l于点E.则tan∠DAE的值为( )
A. 12
B. 2 55
C. 5+12
D. 5−12
10.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为( )
A. 13
B. 12
C. 55
D. 33
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0,1)，B(4,1)，C(5,6)，则sin∠BAC=( )
A. 12B. 135C. 22D. 32
12.如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点B在x轴负半轴上，反比例函数y=kx(k<0,x<0)的图象经过点A、C，若AB=AO=CO，tan∠BAO=34，且2∠COB=∠BAO，S△ACD=85时，k的值为( )
A. −6
B. −3
C. −34
D. −43
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，EF⊥AC于点F.若tan∠BAC=2，EF=1，则AE的长为 ．
14.由4个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C，D都在格点上，∠A=60°，则cs∠CDB的值为___________．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB=2BD，tan∠BCD=23，则ACBC的值为 ．
16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB=2BD，tan∠BCD=23，则ACBC的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=12，AC=3，点D、E分别在边AB、BC上，且AD：DB=1：2，DE⊥BC．
(1)求∠DCE的正切值；
(2)如果设AB=a，CD=b，试用a、b的线性组合表示AC；
(3)求作CE在AB、CD方向上的分向量．
18.(本小题8分)
如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∠ABC=35，点D在边BC上，BD=4连接AD，tan∠DAC=23．
(1)求边AC的长；
(2)求tan∠BAD的值．
19.(本小题8分)
如图，∠ACB=90∘，AB=13，AC=12，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC的值和点B到直线MC的距离．
20.(本小题8分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，CE=CB，CD=5，sin∠ABC=35．
求：(1)BC的长．
(2)tanE的值．
21.(本小题8分)
在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，求sin∠BOD的值．
22.(本小题8分)
如图，在5×7的网格中，有A、B、C三点，仅用无刻度的直尺作出下列图形，并保留作图痕迹．
(1)在网格中画出格点D，使四边形ABCD为菱形，并画出菱形ABCD；
(2)作BC边上的高AE；
(3)连接DE，过点C作CF//ED，交AD的延长线于点F；
(4)在菱形ABCD外部画出格点P，使tan∠DPF=12(画出一个点即可)
23.(本小题8分)
如图，在8×8的网格中，已知△ABC的三个顶点均为格点，请按下列要求画图，
(1)如图1，作格点△ABD，使△ABD为等腰三角形，且△ABD的面积等于△ABC的面积；
(2)如图2，作格点△ABE，使tan∠AEB=2，且△ABE的面积与△ABC的面积相等．
24.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD=CA，BE⊥CD，垂足为点E．
(1)求∠EBD的正弦值；
(2)求AD的长．
25.(本小题8分)
已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED=45°．
(1)如图1，若AE=DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求ADDB的值；
(2)如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形、特殊角的三角函数，通过解直角三角形求出AD、DE的长度是解题的关键．在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度．
【解答】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°．
在Rt△ADC中，AC=18，∠C=30°，
∴AD=12AC=9，
在Rt△ADB中，AD=9，∠BAD=30°，
∴BD= 33AD=3 3，∠ABD=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD=30°．
在Rt△EBD中，BD=3 3，∠EBD=30°，
∴DE= 33BD=3．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：如图，当∠C=90°时，
∵tanB=ACBC=34，
∴设AC=3x，BC=4x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴9x2+16x2=100，
∴x=2或x=−2舍去，
∴AC=6，BC=8，
∵△ABC的形状和大小都被确定，
∴AC=6或AC≥10，
∴线段AC的长度不可能为8．
故选：B．
当∠C=90°时，根据tanB=ACBC=34，可设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得x=2，所以AC=6，根据△ABC的形状和大小都被确定，可得AC=6或AC≥10，即可解决问题．
本题考查解直角三角形，解题的关键是理解题意，判断出三角形唯一确定的AC的范围，属于中考常考题型．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理及含30度角的直角三角形的性质，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
分析题意构造一个直角三角形，然后利用勾股定理解答即可．
【解答】
解：如图，延长AD，BC交于点E，
则∠E=30°．
在△CED中，CE=2CD=6(30°锐角所对直角边等于斜边一半)，
∴BE=BC+CE=8，
在△AEB中，AE=2AB(30°锐角所对直角边等于斜边一半)，
∴AB2+BE2=AE2，即AB2+64=(2AB)2，3AB2=64，
解得：AB=8 33．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：作CD⊥AB交AB于D，
∵tanB=CDBD= 3，BC=2 3，
∴BD= 3，CD=3，
∵ABBC=32，
∴AB=3 3，
∴AD=AB−BD=3 3− 3=2 3，
在Rt△ACD中，AC= AD2+CD2= (2 3)2+32= 21．
故答案为：C．
作CD⊥AB交AB于D，根据tanB=CDBD= 3，BC=2 3，得出BD= 3，CD=3，进而得出AD=AB−BD=2 3，再根据勾股定理即可得出答案．
本题考查三角函数，勾股定理，正确计算是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：设每个小正方形的边长为a，作CD⊥AB于点D，由图可得：CD=4a，AD=3a，
∴AC= AD2+CD2= (3a)2+(4a)2=5a，
∴sinA=CDAC=4a5a=45，
故选：C．
先作CD⊥AB于点D，即可求出答案．
本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，构造出合适的直角三角形．
6.【答案】B
【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴AD=DC，AC= 2AD，
∵AB= 2AC，
∴AB=2AD，
在Rt△ABD中，AB=2AD，
∴∠B=30°，
∴BD= 3AD，
∵BC= 6+ 2，
∴BD+CD= 6+ 2，
∴ 3AD+AD= 6+ 2，
∴AD= 2，
∴AC= 2AD=2，
故选：B．
根据∠C=45°，想到构造直角三角形，所以过点A作AD⊥BC，垂足为D，可得AC= 2AD，因为AB= 2AC，所以得出AB=2AC，从而求出∠B=30°，可得BD= 3AD，再根据BC= 6+ 2，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A.在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大2倍，但是锐角A的度数不变，故csA的值不变，原说法错误；
B.若a,b均为非零向量，且|a|=2|b|，不一定有a=2b或a=−2b，原说法错误；
C.在直角三角形中，若∠A=30°，则它的邻边和对边的比值为 3，原说法错误；
D.a//b时，则a=kb(k为实数)，说法正确；
故选：D．
根据三角函数的定义判断A，C，根据向量的有关性质判断B，D．
本题考查了三角函数，向量，正确理解相关概念是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由旋转可得：OA=OA′，∠AOA′=50°，
过O作OE⊥AA′于E，而AA′=6，
∴∠AOE=∠A′OE=25°，AE=A′E=3，
∴sin∠AOE=sin25°=AEOA，
∴OA=3sin25∘，
故选：C．
过O作OE⊥AA′于E，利用等腰三角形与旋转的性质可得∠AOE=∠A′OE=25°，AE=A′E=3，再利用锐角三角函数的含义解答即可．
本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：过点E作EH⊥AD于点H.设AB=CD=2m，则AC=CB=m，
∵∠ACD=90°，
∴AD= AC2+CD2= m2+(2m)2= 5m，
∵AE平分∠DAC，EH⊥AD，EC⊥AB，
∴EH=EC，
∵S△ACD=12×m×2m=12× 5m×EH+12×m×EC，
∴EC=EH= 5−12m，
∴tan∠DAE=tan∠EAC=ECAC= 5−12．
故选：D．
过点E作EH⊥AD于点H.设AB=CD=2m，则AC=CB=m，利用面积法求出EC，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】A
【解析】解：如图，取网格点D，连接BD，
由网格图，可得：AD= 32+32=3 2，BD= 12+12= 2，AB= 22+42=2 5，
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴tanA=BDAD= 23 2=13，
故选：A．
根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D，
∵A(0,1)，B(4,1)，C(5,6)，
∴D(5,1)，
∴CD=6−1=5，AD=5，
∴AC=5 2，
∴sin∠BAC=CDAC= 22，
故选：C．
过C作CD⊥AB交AB延长线于D，计算出CD、AC的长，根据正弦计算方法计算即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．
12.【答案】B
【解析】解：如图，设∠BOC=α，则∠BAO=2∠COB=2α
∵AB=AO，
∴∠ABO=∠AOB=90°−α，
∴∠ABO+∠BOD=90°，
∴∠BDO=90°，即AB⊥OD，
在Rt△AOD中，tan∠BAO=ODAD=34，
设OD=3m，则AD=4m，
∴AO= (3m)2+(4m)2=5m，
∴AB=OC=5m，
∴BD=m，CD=2m，
∵S△ACD=85，
∴S△ACD=12⋅AD⋅CD=85，即12⋅4m⋅2m=85，
∴m2=25，
∴S△ABO=12⋅AB⋅OB=12⋅5m⋅3m=152m2=152×25=3，
∴|k|=S△ABO=3，
∴k=−3．
故选：B．
设∠BOC=α，则∠BAO=2∠COB=2α，可得AB⊥OD，由S△ACD=85，可得出S△ABO=3，即可得出k的值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图形上点的坐标特征，三角形的面积，知道|k|=S△ABO是解题的关键．
13.【答案】 5
【解析】解：∵在矩形ABCD中，∠B=90°，tan∠BAC=2，
∴BCAB=2，
∵AD=BC，CD=AB，
∴CDAD=12，
∴tan∠EAF=12，
∵EF=1，
∴AF=2，
∴AE= AF2+EF2= 22+12= 5，
故答案为： 5．
根据矩形的性质和解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
14.【答案】 32
【解析】解：∵四边形ABCF、CFDE都是菱形，∠A=60°，
∴△ECD、△FCD都是等边三角形，
∴∠FCD=∠BCF=60°，CD=CF，
∴∠BCD=120°，BC=CF=CD，
∴∠CDB=12(180°−∠BCD)=30°，
∴cs∠CDB=cs30°= 32，
故答案为： 32．
根据菱形的性质证明△ECD、△FCD都是等边三角形，求得∠BCD=120°，利用等边对等角求得∠CDB=30°，据此即可求解．
本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、锐角三角函数，熟练掌握相关理论是解答关键．
15.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法．
通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出BDAB=BMBC=DMAC=12，再根据tan∠BCD=23，设参数表示AC、BC即可求出答案．
【解答】
解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB=∠DMB=90°，∠ABC=∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴BDAB=BMBC=DMAC，
∵AB=2BD，
∴BDAB=BMBC=DMAC=12，
在RtCDM中，
由于tan∠BCD=23=DMCM，
设DM=2k，则CM=3k，
又∵BMBC=12=DMAC，
∴BC=2k，AC=4k，
∴ACBC=4k2k=2，
故答案为：2．
16.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法．通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出BDAB=BMBC=DMAC=12，再根据tan∠BCD=23，设参数表示AC、BC即可求出答案．
【解答】
解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB=∠DMB=90°，∠ABC=∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴BDAB=BMBC=DMAC，
∵AB=2BD，
∴BDAB=BMBC=DMAC=12，
在RtCDM中，
由于tan∠BCD=23=DMCM，
设DM=2k，则CM=3k，
又∵BMBC=12=DMAC，
∴BC=2k，AC=4k，
∴ACBC=4k2k=2，
故答案为2．
17.【答案】解：(1)Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=12，AC=3，
∴ACBC=12，
∴BC=6，AB= AC2+BC2= 32+62=3 5，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠ACB=90°，
∴DE//AC，
∴BDBA=DEAC=BEBC=23，
∴DE=2，BE=4，
∴EC=BC−BE=6−4=2，
∴tan∠DCE=DEEC=1；
(2)∵AD：DB=1：2，
∴AD=13AB=13a，
∴AC=AD+DC=13a−b−；
(3)如图，CE在AB、CD方向上的分向量分别为CM，CN．
【解析】(1)解直角三角形求出BC，AB，再利用平行线分线段成比例定理求出DE=2，EC=2，可得结论；
(2)根据AC=AD+DC，求解即可；
(3)利用平行四边形法则求解即可．
本题考查作图−复杂作图，解直角三角形，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则解决问题．
18.【答案】解：(1)设AC=3m，
∵BD=4，BC=CD+BD，
∵∠C=90°，sin∠ABC=35，tan∠DAC=23，
∴CD=2m，AB=5m，
∴BC=4m，
∴4m=2m+4，
解得m=2，
∴AC=3m=6；
(2)作DE⊥AB于点E，
由(1)知，AB=5m=10，AC=6，BD=4，
∵AB⋅DE2=BD⋅AC2，
∴10×DE2=4×62，
解得DE=125，
∵AC=6，CD=2m=4，∠C=90°，
∴AD= 62+42=2 13，
∴AE= AD2−DE2= (2 13)2−(125)2=345，
∴tan∠BAD=DEAE=125345=617，
即tan∠BAD的值是617．
【解析】(1)根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；
(2)根据(1)中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到tan∠BAD的值．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：∵AB=13，AC=12，∠ACB=90∘，
∴BC= AB2−AC2= 169−144= 25=5．
∴sin∠BAC=BCAB=513．
过点B作BD⊥MC于点D．
∵∠BCM=∠BAC，
∴sin∠BCM=sin∠BAC．
∴sin∠BCM=BDBC=513，即BD5=513．
∴BD=2513，
即点B到直线MC的距离为2513．
【解析】见答案
20.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，D是边AB的中点；
∴CD=12AB，
∵CD=5，
∴AB=10，
∵sin∠ABC=ACAB=35，
∴AC=6
∴BC= AB2−AC2= 102−62=8；
(2)作EH⊥BC，垂足为H，
∴∠EHC=∠EHB=90°
∵D是边AB的中点，
∴BD=CD=12AB，
∴∠DCB=∠ABC，
∵∠ACB=90°，
∴∠EHC=∠ACB，
∴△EHC∽△ACB，
∴EHAC=CHBC=ECAB，
∵BC=8，CE=CB，
∴CE=8，∠CBE=∠CEB，
∴EH6=CH8=810
解得EH=245，CH=325，BH=8−325=85
∴tan∠CBE=EHBH=3，即tanE=3．
【解析】本题考查了解直角三角形，熟练运用直角三角函以及三角形相似是解题的关键．
(1)先由直角三角形的中线定理求出CD的长度，然后根据勾股定理求出长度；
(2)作EH⊥BC，垂足为H，所以∠EHC=∠EHB=90°，由D是边AB的中点，可得BD=CD=12AB，∠DCB=∠ABC，∠EHC=∠ACB，得到△EHC∽△ACB，然后根据相似比求出EH=245，CH=325，BH=8−325=85，因此tan∠CBE=EHBH=3，即tanE=3．
21.【答案】解：连接AE，EF，如图所示，
则 AE//CD，
∴∠FAE=∠BOD．
设每个小正方形的边长为 a，
则 AE= 2a，AF=2 5a，EF=3 2a．
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°．
∴sin∠FAE=EFAF=3 1010．
∴sin∠BOD=3 1010．
【解析】构造AE//CD及直角三角形△FAE，根据平行的性质转化角并利用正弦的定义解题即可．
本题主要考查三角函数函数值的求法，能够熟练构造直角三角形是解题关键．
22.【答案】解：(1)如图，菱形ABCD即为所求作．
(2)如图，线段AE即为所求作．
(3)如图，点F即为所求作．
(4)如图，点P，点P′，点P″即为所求作．
【解析】(1)根据平行四边形的判定解决问题即可．
(2)取格点Q，连接AQ交BC于点E，线段AE即为所求作．
(3)利用平行四边形的性质解决问题．
(4)通过计算可知AE=2CE，可得P′满足条件，再利用四点共圆的性质，可知P，P″也满足条件．
本题考查作图−应用与设计作图，菱形的判定和性质，三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：(1)在AB的垂直平分线上取点D，使D到AB的距离等于C到AB的距离，连接AD，BD，如图：
△ABD即为所求；
(2)取A上方的格点K，连接BK，以BK为直径作⊙O交AB上方第三条格线于E，连接BE，AE，如图：
△ABE即为所求；
理由：
∵∠BAK=90°，BK是⊙直径，
∴⊙O过点A，
∵AB=AB，
∴∠AEB=∠AKB，
∵AB=2AK，∠BAK=90°，
∴tan∠AKB=ABAK=2，
∴tan∠AEB=2，
又E到AB的距离等于C到AB的距离，
∴△ABC满足条件的点．
【解析】(1)在AB的垂直平分线上取点D，使D到AB的距离等于C到AB的距离，连接AD，BD，则△ABD即为所求；
(2)取A上方的格点K，连接BK，以BK为直径作⊙O交AB上方第三条格线于E，连接BE，AE，则△ABE即为所求；
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是利用同弧所对的圆周角相等确定E的位置．
24.【答案】解：(1)∵AD=CD，
∴∠CAD=∠ADC=∠EDB，
又∵在Rt△EDB中，∠EDB+∠EBD=90°，在Rt△ABC中，∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠EBD=∠ABC，
∴sin∠EBD=sin∠ABC=13；
(2)过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：
在Rt△ACB中，cs∠CAB=ACAB=39=13，
∴在Rt△AFC中，cs∠CAF=13=AFAC=AF3，
∴AF=1，
又∴△CAD为等腰三角形，CF⊥AD，
∴AD=2AF=2．
【解析】(1)通过已知条件推出∠EBD=∠ABC，即可通过求∠ABC的正弦值求出∠EBD的正弦值；
(2)过点C作CF⊥AB于点F，利用cs∠CAF=cs∠CAB求出AF的长，结合等腰三角形性质即可求出AD的长．
本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用是解题关键．
25.【答案】(1)①证明：∵AE=DE，
∴∠ADE=∠DAE，
∵∠CAD=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，∠DAE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠ACD，
∴EA=EC，
∵∠AED=45°=∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD=22.5°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACD=22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA=DT，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，
∴BD= 2DT= 2AD，
∴ADDB= 22．
(2)解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．
∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB=∠T=∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠ABE=∠CAT，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△CAT(AAS)，
∴AE=CT，BE=AT，
∵∠AED=∠CET=45°，∠T=90°，
∴ET=CT=AE，
∴BE=2AE，
∴tan∠ABE=AEBE=12
【解析】(1)①想办法证明∠ACD=∠CAE=22.5°即可解决问题．
②如图1中，过点D作DT⊥BC于T.证明DA=DT，BD= 2DT即可解决问题．
(2)如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T.证明△ABE≌△CAT(AAS)可得结论．
本题考查解直角三角形，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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