初中数学北师大版九年级下册5 二次函数与一元二次方程优秀一课一练

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这是一份初中数学北师大版九年级下册5 二次函数与一元二次方程优秀一课一练，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当x=−12时，与其对应的函数值y>0.有下列结论：
①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③0A. 0B. 1C. 2D. 3
2.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于A(−1,0)，B两点，与y轴的交点C在(0,3)，(0,4)之间(包含端点)，抛物线的对称轴为直线x=1.有以下结论：
①abc>0；
②3a+c=1；
③−43≤a≤−1；
④a+b≤am2+bm2(m为实数)；
⑤若M(x1，m)，N(x2，m)是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c.其中结论正确的是 ( )
A. ①②④B. ②③④C. ②③⑤D. ③④⑤
3.若二次函数y=x2−4x−m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是
( )
A. m≥−4B. m>−4C. m≤4D. m<4
4.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A，B，交y轴于点C.若点A坐标为(−4,0)，对称轴为直线x=−1，则下列结论错误的是( )
A. 二次函数的最大值为a−b+cB. a+b+c>0
C. b2−4ac>0D. 2a+b=0
5.已知二次函数y=kx2−3x−1的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
A. k>−94B. k≥−94C. k≥−94且k≠0D. k>−94且k≠0
6.如图，抛物线对称轴为直线x=1，与x轴交于点A(−1,0)，则另一交点的坐标是( )
A. (3,0)B. (−3,0)C. (1,0)D. (2,0)
7.二次函数y= kx2−6 x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A. k<3B. k<3且k≠0C. k≤3D. k≤3且k≠0
8.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是
( )
A. −15C. x< -1且x>5D. x< -1或x>5
9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+4x+m的顶点为A，它与x轴分别交于B，C两点，与y轴的交点为D，过点D作DE平行于x轴交抛物线于点E，BF//CE交DE于点F，若3S△ABC=4S△FEC，则m的值为( )
A. −127
B. −712
C. −12
D. 12
10.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表：
利用二次函数的图象可知.当函数值y<0时，x的取值范围是( )
A. −13D. x<0或x>2
11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中不正确的是( )
A. 图象开口向下
B. x=−1时，函数有最大值
C. 方程ax2+bx+c=0的解是x1=−2，x2=1
D. x>1时，函数y随x的增大而减小
12.在平面直角坐标系中，已知函数y1=x2+ax+1，y2=x2+bx+2，y3=x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2=ac.设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，下列选项正确的是( )
A. 若M1=2，M2=2，则M3=0B. 若M1=1，M2=0，则M3=0
C. 若M1=0，M2=2，则M3=0D. 若M1=0，M2=0，则M3=0
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.若函数y=(a+1)x2−4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．
14.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则有下列结论：

①abc>0；②9a+3b+c<0；③c>−1；④关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为−1a．
其中正确的结论个数有_______.(填序号)
15.已知二次函数y=x2−4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是．
16.如图，抛物线y=px2−q与直线y=ax−b交于A(−2,m)，B(4,n)两点，则不等式px2−b>ax−q的解集是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点A坐标为(1,−1)，与直线y=12x相交于O、B两点，点O是原点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)求点B的坐标．
(3)直接写出不等式ax2+bx+c<12x的解．
18.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)根据图象，写出不等式−x2+bx+c>x+2的解集．
19.(本小题8分)
已知二次函数y=−x2+2mx+1．
(1)求证：无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点；
(2)若此函数图象的顶点为D点，与y轴的交点于点C，直线CD与x轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，求证：BC⊥AD．
20.(本小题8分)
如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=−112x2+23x+53．
求：
(1)铅球在行进中的最大高度；
(2)该男生将铅球推出的距离是多少m？
21.(本小题8分)
如图，抛物线y=−(x−1)2+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C．
(1)求点A、B、C坐标；
(2)若直线y=kx+b经过B、C两点，直接写出不等式−(x−1)2+4>kx+b的解集．
22.(本小题8分)
如图，抛物线y=−13x2+13x+4交x 轴于A，B两点(点B在A的右边)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．
(1)求A、B两点坐标；
(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
23.(本小题8分)
二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(0,3)，B(−5,8)两点，将y=x2+bx+c图象中，−5≤x≤0的部分称为函数G的图象，将平行于x轴的直线y=m平行移动．
(1)求二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的交点坐标；
(2)求直线y=m平移与函数G的图象只有一个公共点时，m的取值范围．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点1,0,3,0．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当x>3时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值小于二次函数y=x2+bx+c的值，直接写出n的取值范围．
25.(本小题8分)
如图，已知二次函数y1=−x2+2x+c的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．
(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
(2)由图象写出满足y1(3)坐标原点为O，在抛物线上是否存在一点P，使得△AOP的面积为6？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．依据二次函数图象及其性质，逐项判断即可．
【解答】
解：当x=0时，c=−2，
当x=1时，a+b−2=−2，
∴a+b=0，
∴y=ax2−ax−2，
∴abc>0，
①正确；
x=12是对称轴，
x=−2时y=t，则x=3时，y=t，
∴−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；
②正确；
m=a+a−2，n=4a−2a−2，
∴m=n=2a−2，
∴m+n=4a−4，
∵当x=−12时，y>0，
∴a>83，
∴m+n>203，
③错误，
正确的结论有2个，
故选：C．
2.【答案】C
【解析】本题考查了二次函数的图象及性质．∵抛物线开口向下，∴a<0.∵对称轴为直线x=1，∴ −b2a=1 ，∴b=−2a，∴b>0.∵c>0，∴abc<0，①错误．∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，∴a−b+c=0，∴a−(−2a)+c=0，∴3a+c=0，②正确．∵3a+c=0，∴c=−3a.∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点C在(0,3)，(0,4)之间(包含端点)，∴3≤c≤4，∴3≤−3a≤4，∴ −43≤a≤−1 ，③正确．∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∴当x=1时，y最大=a+b+c.当x=m(m为实数)时，y=am2+bm+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，④错误．∵点M(x1,m)，N(x2,m)是抛物线上的两点，∴点M(x1,m)，N(x2,m)关于对称轴x=1对称，∴ x1+x22=1 ，∴x1+x2=2.当x=2时，y=4a+2b+c=4a+2×(−2a)+c=c，⑤正确．∴结论正确的是②③⑤．
3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程 x2−4x−m=0 有两个实数根，即 Δ≥0 ，求出不等式的解集即可．
【详解】 ∵ 函数 y=x2−4x−m 的图象与x轴有公共点，
∴ 方程 x2−4x−m=0 有两个实数根，即 Δ=42−4×1×−m≥0 ，
解得： m≥−4 ．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：抛物线y=ax2+bx+c过点A(−4,0)，对称轴为直线x=−1，
因此有：x=−1=−b2a，即2a−b=0，因此选项D错误，符合题意；
当x=−1时，y=a−b+c的值最大，选项A正确，不符合题意；
抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)，
当x=1时，y=a+b+c>0，因此选项B正确，不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2−4ac>0，故选项C正确，不符合题意；
故选：D．
本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数的性质及相应一元二次方程的根的判别式逐个判断即可．
5.【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=kx2−3x−1的图象和x轴有交点，
∴(−3)2−4⋅k⋅(−1)≥0，且k≠0，
∴k≥−94且k≠0，
故选：C．
根据抛物线与x轴的交点则b2−4ac⩾0且k≠0，可得答案．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，明确b2−4ac的符号决定了抛物线与x轴的交点个数是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．根据抛物线对称性及对称轴为直线x=1求解．
【解答】
解：抛物线对称轴为直线x=1，点A坐标为(−1,0)，
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为(3,0)，
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2−6x+3=0(k≠0)有实数根，
即Δ=36−12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，
则k的取值范围是k≤3且k≠0．
故选：D．
分析：利用kx2−6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．
本题考查二次函数与一元二次方程的关系．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后根据函数图象写出x轴下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，对称轴为直线x=2，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
又∵抛物线开口向下，
∴不等式ax2+bx+c<0的解集是x< -1且x>5．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，二次函数的性质，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=−x2+4x+m=−(x−2)2+4+m，
∴顶点A的坐标为(2,4+m)，与y轴的交点D的坐标为(0,m)，
∵BF//CE，DE平行于x轴，
∴BC//FE，
∴四边形BFEC是平行四边形，
∴BC=FE，
∴3S△ABC=4S△FEC，
∴3(4+m)=4⋅(−m)，
解得m=−127，
故选：A．
根据题意和抛物线解析式，可以得到点A和点D的坐标，再根据题意可知四边形BFEC是平行四边形，即可得到BC=FE，然后根据3S△ABC=4S△FEC，即可得到m的值．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
10.【答案】A
【解析】解：根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x=−1+32=1，
∴顶点坐标为(1,−4)，
∵当x<1时，y的值随x的值增大而减小；当x>1时，y的值随x的值增大而增大，
∴a>0，开口向上，
∴根据抛物线的对称性知：与x轴交于(−1,0)、(3,0)两点，
则当函数值y<0时，x的取值范围是−1故选：A．
根据表格得到图象经过点(−1,0)和点(3,0)，抛物线开口向上，根据二次函数的性质解答．
本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握抛物线的对称性、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵图象的开口向下，对称轴是直线x=−1，
∴x=−1时，函数有最大值，当x>−1时，y随x的增大而增大，
故A，B，D正确；
∵对称轴是直线x=−1，抛物线与x轴的交点为(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一交点为(−3,0)，
方程ax2+bx+c=0的解是x1=−3，x2=1，
故C错误．
故选：C．
分析：根据函数的图象得出图象的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x=−1，并利用抛物线的对称性逐个判断即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，能根据图象得出正确信息是解此题的关键，用了数形结合思想．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
选项B正确，利用根的判别式的性质证明即可．
【解答】
解：选项B正确．
理由：∵M1=1，M2=0，
∴a2−4=0，b2−8<0，
∵a，b，c是正实数，
∴a=2，
∵b2=ac，
∴c=12b2，
对于y3=x2+cx+4，
则有△=c2−16=14b4−16=14(b4−64)<0，
∴M3=0，
∴选项B正确，
故选：B．
13.【答案】−1或−2或1
【解析】【分析】
分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2−4ac=0，据此求解可得．
本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
【解答】
解：当a+1=0，即a=−1时，函数解析式为y=−4x−2，与x轴只有一个交点；
当a+1≠0，即a≠−1时，根据题意知，(−4)2−4×(a+1)×2a=0，
整理，得：a2+a−2=0，
解得：a=1或a=−2；
综上，a的值为−1或−2或1．
故答案为：−1或−2或1．
14.【答案】①③④
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．本题属于中等题型．根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】
解：由抛物线的开口可知：a<0，
由抛物线与y轴的交点可知：c<0，
由抛物线的对称轴可知：−
>0，
∴b>0，
∴abc>0，故①正确；
令x=3，y>0，
∴9a+3b+c>0，故②正确；
∵OA=OC<1，
∴c>−1，故③正确；
∵对称轴为直线x=2，
∴−
=2，
∴b=−4a
∵OA=OC=−c，
∴当x=−c时，y=0，
∴ac2−bc+c=0，
∴ac−b+1=0，
∴ac+4a+1=0，
∴c=−
，
∴设关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为x，
∴x−c=4，
∴x=c+4=−
，故④正确．
故答案为①③④．
15.【答案】k<4
【解析】【分析】
先根据函数解析式得出抛物线的开口向上，根据顶点在x轴的下方得出△>0，求出即可．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点，能根据题意得出(−4)2−4×1×k>0是解此题的关键．
【解答】
解：∵二次函数y=x2−4x+k中a=1>0，图象的开口向上，
又∵二次函数y=x2−4x+k的图象的顶点在x轴下方，
∴△=(−4)2−4×1×k>0，
解得：k<4，
故答案为：k<4．
16.【答案】−2【解析】解：观察图象可知当x=4，x=−2时，px2−b=ax−q．
在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即px2−b>ax−q，
所以不等式px2−b>ax−q的解集是−2故答案为：−2首先确定两个图象的交点横坐标，再判断图象的位置，当直线在抛物线下方时，一次函数值小于二次函数值，即可求出不等式的解集．
本题考查了不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象点的坐标特征和数形结合思想是解题关键．
17.【答案】解：(1)设抛物线顶点式为y=a(x−1)2−1，
将(0,0)代入y=a(x−1)2−1得0=a−1，
解得a=1，
∴y=(x−1)2−1=x2−2x．
(2)令x2−2x=12x，
解得x1=0，x2=52，
将x=52代入y=12x=54，
∴点B坐标为(52,54).
(3)由图象可得0∴不等式ax2+bx+c<12x的解为0【解析】(1)设抛物线为顶点式，将原点坐标代入解析式求解．
(2)联立抛物线方程与直线方程求解．
(3)由图象中O，B交点的横坐标求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数一般式与顶点式的转化．
18.【答案】解：(1)当x=0时，y=0+2=2，
当y=0时，x+2=0，
解得x=−2，
∴A(−2,0)，B(0,2)，
把(−2,0)，(0,2)代入y=−x2+bx+c得：c=2−4−2b+c=0，
解得b=−1c=2，
∴抛物线的解析式是y=−x2−x+2．
(2)观察函数图象可知当−2∴不等式−x2+bx+c>x+2的解集为：−2【解析】(1)根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；
(2)根据图象判断即可．
本题主要考查二次函数与不等式，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵Δ=(2m)2−4×(−1)×1=4m2+4>0，
∴方程−x2+2mx+1=0有两个不相等的实数解，
即无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点．
(2)证明：∵二次函数y=−x2+2mx+1，
∴对称轴的直线为x=−2m−2=m，顶点D点的坐标为(m,m2+1)，点C(0,1)，
∵对称轴的直线x=m与x轴相交于点B，
∴B(m,0)，
∴BC2=m2+12=m2+1，BD2=(m2+1)2=m4+2m2+1，CD2=m2+(m2+1−1)2=m4+m2，
∵BC2+CD2=m2+1+m4+m2=m4+2m2+1，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD=90°，
∴BC⊥AD．
【解析】(1)根据根的判别式得出Δ=(2m)2−4×(−1)×1=4m2+4>0，即可证明结论；
(2)用m表示出B、D两点的坐标，求出点C的坐标，用m表示出BC2，BD2，CD2，根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，得出∠BCD=90°，即可得出答案．
本题主要考查了根的判别式，勾股定理及逆定理的应用，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理，准确进行计算．
20.【答案】解：(1)y=−112x2+23x+53=−112(x−4)2+3，
∵−112<0，
∴y的最大值为3，即铅球行进的最大高度是3m；
(2)由y=0得，−112x2+23x+53=0，
解这个方程得，x1=10，x2=−2(负值舍去)，
∴该男生把铅球推出的水平距离是10m．
【解析】此题主要考查了二次函数的应用，结合题意理解铅球落地时离地的高度y=0是解题的关键．
(1)将函数的解析式配方得到y=−112(x−4)2+3，求出最大值即可；
(2)根据题意可得：y=0，进而解方程得出x的值，即可得出答案．
21.【答案】解：(1)令y=0，则0=−(x−1)2+4，
解得x=3或x=−1，
∴点A坐标为(−1,0)，点B坐标为(3,0)，
令x=0，y=−1+4=3，
∴点C坐标为(0,3)．
(2)由图象可得，当0∴−(x−1)2+4>kx+b的解集为0【解析】(1)令y=0可得点A，B坐标，令x=0可得点C坐标．
(2)通过观察图象，BC之间的部分抛物线在直线上方，从而求解．
本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
22.【答案】解：(1)当y=0，−13x2+13x+4=0，解得x1=−3，x2=4，
∴A(−3,0)，B(4,0)，
(2)∵B(4,0)，C(0,4)
∴BC的解析式为：y=−x+4，
设点P(m,−13m2+13m+4)，则点Q(m,−m+4)，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN，
∵PN2+QN2=PQ2，
PN=PQ⋅ 22= 22(−13m2+13m+4+m−4)=− 26(m−2)2+2 23，
∵− 26<0，
∴PN有最大值，
当m=2时，PN的最大值为2 23．
(3)存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为(−3,0)、(4,0)、(0,4)，
则AC=5，AB=7，BC=4 2，∠OBC=∠OCB=45°，
①当AC=AQ时，如图，
则AC=AQ=5，
设：QM=MB=n，则AM=7−n，
由勾股定理得：(7−n)2+n2=25，解得：n=3或4(舍去4)，
故点Q(1,3)．
②当AC=CQ时，如图，
CQ=5，则BQ=BC−CQ=4 2−5，
则QM=MB=8−5 22，
故点Q(5 22,8−5 22).
③当CQ=AQ时，
设Q点的横坐标为m，
CQ=BC−BQ=4 2− 2(4−m)= 2m，
AQ= AM2+QM2= (3+m)2+(4−m)2= 2m2−2m+25= 2m，
即2m2−2m+25=2m2，
解得m=252．
∵0∴m=252(舍去)．
综上所述点Q的坐标为：Q(1,3)或Q(5 22,8−5 22).
【解析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，最后一问分类讨论是解本题的关键．
(1)由二次函数交点式表达式，即可求解．
(2)由PN= 22(−13m2+13m+4+m−4)即可求解．
(3)分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三种情况，当AC=AQ时，构造直角三角形AMQ利用勾股定理可求坐标；AC=CQ时，先求BQ再求MB，即可得到坐标；CQ=AQ时，求出CQ和AQ的表达式，解之即可．
23.【答案】解：由题意可知，函数G的图象如图所示．
(1)将A(0,3)与B(−5,8)分别代入抛物线y=x2+bx+c，
解得，b=4，c=3，即y=x2+4x+3，
令y=0，即 x2+4x+3=0，解得x1=−1，x2=−3，
∴图象与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)．
(2)由题意可知图象G中：当x=0时，y=3；当x=−5时，y=8；顶点坐标为(−2,−1)．
当直线y=m平移与函数G图象只有一个交点时，m=−1或3
【解析】本题考查求函数图象与x轴交点坐标的求法，数形结合的分析、解决平行移动的直线与函数图象交点的个数问题．
24.【答案】解：(1)解：把1,0,3,0代入y=x2+bx+c中得：1+b+c=09+3b+c=0，解得b=−4c=3,
∴二次函数解析式为y=x2−4x+3；
(2)当x>3时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值小于二次函数y=x2+bx+c的值，
即当x>3时，x+n即x2−5x+3>n，
令S=x2−5x+3，
∵函数S=x2−5x+3开口向上，对称轴为直线x=−−52=52，
∴当x>52时，S随x增大而增大，
∴当x>3时，S的最小值为当x=3时S的值，
当x=3时，x2−5x+3=32−5×3+3=−3，即当x>3时，S的最小值为−3，
∴n≤−3．

【解析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
(1)利用待定系数法求解即可；
(2)根据题意可知当x>3时，x2−5x+3>n恒成立，令S=x2−5x+3 ，即可求出当x>3时，S的最小值为−3，从而可得n的取值范围．
25.【答案】解：(1)把A(3,0)代入y1=−x2+2x+c得：0=−9+6+c，解得：c=3，
∴y1=−x2+2x+3，
令x=0，y1=3，
∴点B(0,3)，
综上：二次函数y1的解析式为y1=−x2+2x+3，点B(0,3)．
(2)由图可知：
∵A(3,0)，B(0,3)，
∴当x<0或x>3时，y1(3)∵A(3,0)，
∴OA=3，
∵△AOP的面积为6
∴12OA⋅h=6，即12×3⋅h=6，
解得：h=4，
∴设点到x轴的距离为4，即点P的纵坐标为4或−4，
当y=4时，4=−x2+2x+3，
解得：x=1，
∴P(1,4)，
当y=−4时，−4=−x2+2x+3，解得：x1=1+2 2,x2=1−2 2，
∴P(1+2 2,−4)，或P(1−2 2,−4)．
综上：存在，P(1,4)或(1+2 2,−4)或(1−2 2,−4)．
【解析】(1)把A(3,0)代入y1=−x2+2x+c即可求出y1的解析式，令x=0即可求出点B的坐标；
(2)根据图象即可进行解答；
(3)根据三角形的面积求出三角形的高，再进行分类讨论即可．
本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，会根据图象求解自变量的取值范围．x
…
−2
−1
0
1
2
…
y=ax2+bx+c
…
t
m
−2
−2
n
…
x
−2
−1
0
1
2
3
4
y
5
0
−3
−4
−3
0
5
b
2a
b
2a
4a+1
a
1
a