山东省威海市荣成市2023-2024学年七年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份山东省威海市荣成市2023-2024学年七年级上学期期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（30分）
1．在，，0，，，,3.1415，2.010101…(相邻两个数之间有一个0)中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．如图，，则的值可能是（ ）

A．8B．10C．11D．12
3．如果直角三角形的三边长分别是6、8、，则满足（ ）
A．B．C．或 D．
4．根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC 的是（ ）
A．AB=6，BC=5，∠A=50°B．AB=5，BC=6，AC=13
C．∠A=50°，∠B=80°，AB=8D．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
5．如图所示，在Rt△ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=1：7，则∠BAC的度数为( )
A．70°B．48°C．45°D．60°
6．如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，作法用得的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
7．下列说法中正确的有（ ）
A．=±3B．22的算术平方根是±2
C．64的立方根是±4D．是5的一个平方根
8．若∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点，连接O，O，则O，O的关系是( )
A．O⊥OB．O=O
C．O≠OD．O⊥O且O＝O
9．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
二、填空题（18分）
11．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是 ．

12．如图，是一个的正方形网格，则 ．

13．三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如图所示∠1＝30°，则∠2＝ ．
14．如图，OA=OB，点C在数轴上表示的数为2，且有BC垂直于数轴，若BC=1，则数轴上点A表示的数是 ．
15．如图，中，，将折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ．
16．已知，在中，，且边上的高为12，边BC的长为 ．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）已知的立方根是4，的算术平方根是3，求 的平方根．
18．如图，中，，，是边上的垂直平分线， 的周长为，求的面积．
19．如图，在所给的方格图中，完成下列各题
(1)画出格点关于直线对称的；
(2)求的面积；
(3)在上画出点P，使最小．
20．如图，和都是等边三角形．
(1)求证：；
(2)求边，所在直线相交所成的锐角大小．
21．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．

22．如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过 秒后，△BPE≌△CQP；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？
23．已知：如图，，垂足为点E，点F为的中点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，试判断与的位置关系，并证明．
24．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAE的度数；
(3)求证：CD＝2BF+DE．
含答案与解析
1．B
【分析】无理数是指无限不循环小数，常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数.③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，
【详解】因为=1，不是无理数；=2，不是无理数；0也不是无理数；中，根号下的数字开方开不尽，是无理数；含π，是无理数；中，根号下的数字开方开不尽，是无理数；3.1415是有限小数，是有理数；2.010101…循环小数，是有理数；故答案为B选项
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，遇到含有根号但是可以化简的需要先化简在判断，熟练掌握无理数类别便可．
2．B
【分析】本题考查了三角形三边的关系，根据三角形三边关系确定的取值范围，逐一判断即可．
【详解】解：，
，即，
，即，
，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查的是勾股定理，分直角边边长是8和斜边边长是8两种情况，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：当直角边边长是8时，则，则；
当斜边边长是8时，则，则；
综上所述：x的满足或 ，
故选：C．
4．C
【分析】根据全等三角形的判定方法依次判断各项后即可解答．
【详解】选项A，已知 AB、BC 和 BC 的对角，不能画出唯一三角形；
选项B，∵AB+BC=5+6=11＜AC，∴不能画出△ABC；
选项C，已知两角和夹边，能画出唯一△ABC；
选项D，根据∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°不能画出唯一三角形.
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，一般三角形全等的判定方法有 SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．B
【详解】试题分析：根据线段中垂线的性质可得：AD=BD，即∠DAB=∠DBA，设∠CAD=x，则∠BAD=∠DBA=7x，根据三角形内角和定理可知：x+7x+7x=90°，解得：x=6°，则∠BAC=8x=48°，故选择B．
6．B
【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【详解】由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，
∴△COM≌△CON（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC即是∠AOB的平分线．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
7．D
【分析】根据平方根、算术平方根及立方根的定义解答即可.
【详解】选项A，=3，选项A错误；选项B，22的算术平方根是2，选项B错误；选项C，64的立方根是4，选项C错误；选项D，是5的一个平方根，选项D正确.
故选D.
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根及立方根的定义，熟练运用平方根、算术平方根及立方根的定义是解决问题的关键.
8．D
【分析】根据轴对称的性质求出OP1=OP2=OP，∠P1OP2=90°，即可得解．
【详解】∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，
∴OP1=OP2=OP，
∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，
∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，
=2（∠AOP+∠BOP），
=2∠AOB，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=90°，
∴OP1⊥OP2成立．
故选D．
【点睛】本题考查轴对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键，利用图形更形象直观．
9．B
【分析】利用勾股定理求出AC2的值，再由勾股定理的逆定理判定△ACD也为直角三角形，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD．
【详解】解：如图，连接AC．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=2，
∵AC2+CD2=AD2，
∴△CDA也为直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AC×CD=．
故四边形ABCD的面积是．故选B.
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，求出AC的长．
10．B
【分析】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可．
【详解】解：如图，过D作于F，
∵是中的角平分线，于点E，，
，
∵，
，
，
，
解得：．
故选：B．
11．52cm
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为，则易拉罐底面周长是12，高是20
∴
解得：
∴彩带最短是52cm
故答案为：52cm．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高．
12．##度
【分析】根据三角形全等求出和的数量关系以及和的数量关系，即可求出四个角之和．
【详解】解：如图所示，
在中和中，，
．
，
，
．
同理可证：．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的性质以及观察图形分析出相等的边长和角度．
13．50°
【分析】根据题意，已知∠A＝60°，∠B＝80°，可根据三角形内角和定理求出∠C，可得∠CDE＋∠CED的值，再利用四边形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，∵∠A＝60°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°−（60°＋80°）＝40°，
∴∠CDE＋∠CED＝180°−∠C＝140°，
∴∠2＝360°−（∠A＋∠B＋∠1＋∠CED＋∠CDE）＝360°−310°＝50°．
故答案是：50°．
【点睛】本题通过折叠变换考查三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后对应角相等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360°．
14．
【分析】根据勾股定理，可得OB的长，根据等量代换，可得答案．
【详解】解：OB== ，
OA=OB= ，
A点表示的数是- ，
故答案为-
【点睛】本题考查实数与数轴，利用勾股定理得出OB的长是解题关键．
15．4
【分析】设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设，由折叠的性质可得，
是的中点，
，
在中，，
解得．
故线段的长为4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合运用以上知识是解题的关键．
16．4或14##14或4
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=BD-CD．
【详解】①如图，当△ABC是锐角三角形，
锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=152-122=81，
则BD=9，
在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=132-122=25，
则CD=5，
故BC的长为BD+DC=9+5=14；
②如图，当△ABC是钝角三角形时，
钝角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=152-122=81，
则BD=9，
在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=132-122=25，
则CD=5，
故BC的长为BD-CD=9-5=4．
综上可得BC的长为14或4．
故答案为：4或14．
【点睛】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不要漏解，难度一般．
17．（1）；（2）
【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，以及实数的运算．
（1）首先计算开平方、开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）首先根据题意，分别求出x、y的值，进而求出的值；然后根据平方根的含义和求法，求出的平方根即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵的立方根是4，
，
，
∵的算术平方根是3，
，
，
∴，
，
∴的平方根为：．
18．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的面积，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而可求出，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【详解】解：∵是边上的垂直平分线，
∴，
的周长为，
，
，
，
，
，
，
的面积．
19．(1)见解析
(2)2
(3)见解析
【分析】此题主要考查了轴对称变换以及最短路线求法．
（1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：的面积为：；
（3）解：如图所示：连接，交点于点P，即点P为所求．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理．
（1）由“”可证，即可证明；
（2）如图，延长，交于点P，由得，根据是等边三角形，得到，根据得到，由即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
，
，即，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，延长，交于点P，
，
，
是等边三角形，
，
，
∵，
，
，
，
，所在直线相交所成的锐角为．
21．尺
【分析】设尺，表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，即可得到结果．
【详解】解：设尺，
由题意得四边形是矩形，
∴尺，
∵尺，
∴尺，
∴尺
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴秋千绳索（或）的长度为尺．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22．（1）1；（2）点Q的运动速度为厘米/秒.
【分析】（1）分析题意可知当BE=CP时，△BPE≌△CQP，即6=10-4t，求解即可；
（2）根据点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，可知要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米即可，然后可先求出点P，Q运动的时间，再求点Q的运动速度.
【详解】解：（1）∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
∴BP=CQ，
又∵∠B=∠C=90°，
∴当BE=CP时，△BPE≌△CQP，
∵BE=6厘米，BP=4t，
∴CP=10-4t，
∴6=10-4t，
解得：t=1，
即经过1秒后，△BPE≌△CQP；
（2）∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米即可，
∴点P，Q运动的时间t＝秒，
∴点Q的运动速度为：厘米/秒，
即当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，解题时注意方程思想的运用．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)平行，证明见解析
【分析】（1）由，F是的中点，根据等腰三角形的三线合一，可得，即可证得；
（2）易证，又由，根据等边对等角，证得，即可根据证得；
（3）首先设交于点H，由，即可得，根据等腰三角形的三线合一，则可证得，则可得，又由同位角相等，两直线平行，证得．
【详解】（1）∵，F是的中点，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
（3）与平行．
证明：如图，设交于点H，
∵，
∴．
∴．
∴
∵，
∴．
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
24．(1)见解析；
(2)；
(3)见解析
【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解；
（3）延长BF到G，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
在△BAC和△DAE中，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：延长BF到G，使得，
∵，
∴，
在△AFB和△AFG中，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴在△CGA和△CDA中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键．