辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案）

这是一份辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合M满足2,3⊆M⊆1,2,3,4,5，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．已知a=lg56，b=lg0.50.2，c=0.50.8，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．c＜a＜b
3．对于非零向量a、b，“a+b=0”是“a//b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x+y的值为（ ）
A．12B．13C．14D．15
5．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000、001、002、…、499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续，则第三袋牛奶的标号是（ ）（下面摘取了某随机数表的第8行至第9行）
84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
A．572B．455C．169D．206
6．已知函数f(x)=lgax过点(4,2)，若1≤f(x)≤3,f(x)的反函数为g(x)，则g(x)的值域为（ ）
A．18,12B．13,1C．[1,3]D．[2,8]
7．已知x>0,y>0,lg4x+lg2y=lg8,则12x+4y的最小值是（ ）.
A．3B．94C．4615D．9
8．若函数fx为定义在R上的奇函数，且在0,+∞为增函数，又f2=0，则不等式ln1e⋅xfx>0的解集为（ ）
A．−2,0∪0,2B．−∞,−2∪0,2
C．−2,0∪2,+∞D．−∞,−2∪2,+∞
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b>0,db−c
C．若a>b>0，则a+1b>b+1aD．若a>b>0，则ba10．下列说法正确的有（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现奇数点”，事件N＝“出现3点或4点”，则PMN=16
B．袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是310
C．甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98
D．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为13
11．已知△ABC中，BD=2DC，AE=EB，若AD与CE交于点O，则（ ）
A．AD=13AB+23ACB．AD=23AB+13AC
C．S△AOC=2S△CODD．S△ABC=4S△BOC
12．函数f(x)=lne2x+1−x，则正确的有（ ）
A．fx的定义域为RB．f(x)的值域为R
C．fx是偶函数D．fx在区间0,+∞上是增函数
三、填空题
13．函数y=lgx2−2x−8的单调递增区间为
14．某公司生产甲、乙两种产品的数量之比为5:3，现用分层抽样的方法抽出一个样本，已知样本中甲种产品比乙种产品多6件，则甲种产品被抽取的件数为 .
15．关于x的函数y=x2−mx+m的两个零点均在区间[1,3]内，则实数m的取值范围是 ．
16．已知fx=13x+1,x≤0lg2023x,x>0，若存在三个不同实数a,b,c使得fa=fb=fc，则abc的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知向量a=3,2，b=−1,2，c=4,1．
(1)求a+2b−3c；
(2)若a+kc//2b−a，求实数k的值．
18．已知幂函数fx=xm2+m−1m∈N*的图象经过点2,2
(1)试求m的值并写出该幂函数的解析式.
(2)试求满足f1+a>f3−a的实数a的取值范围.
19．某学校1000名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…第五组[17,18]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)请估计学校1000名学生中，成绩在第二组和第三组的人数；
(2)请根据频率分布直方图，求样本数据的平均数和中位数（所有结果均保留两位小数）．
20．设函数fx=lg22x⋅lg2x16.
(1)解方程fx+6=0；
(2)设不等式2x2+x≤43x−2的解集为M，求函数fxx∈M的值域.
21．工业废气在排放前需要过滤．已知在过滤过程中，废气中的某污染物含量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系式为P(t)=P0ekt（e为自然对数的底数，P0为污染物的初始含量）．过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的45．
(1)求函数Pt的关系式；
(2)要使污染物的含量不超过初始值的1100，至少需过滤几小时？（参考：lg2≈0.3）
22．已知函数f(x)=lg22x+k2x是偶函数.
(1)求实数k的值；
(2)当x≥0时，方程f(x)=x+m有实根，求实数m的取值范围；
(3)设函数g(x)=lg2n⋅2x−2n，若函数φ(x)=f(x)−g(x)只有一个零点，求实数n的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.
【详解】因为2,3⊆M⊆1,2,3,4,5，
所以集合M可以为：2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，
1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个，
故选：C.
2．D
【分析】根据题意，由指数，对数函数的单调性分别得到a,b,c的范围，即可得到其大小关系.
【详解】因为2=lg525>lg56>lg55=1，即a∈1,2
且>lg24=2，即b>2
0<0.50.8<0.50=1，即c∈0,1
所以c故选:D
3．A
【分析】根据向量共线的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】对于非零向量a、b，
若a+b=0，则a=−b，∴由向量共线定理可知a//b，
若a//b，则a=λb，∴a+b=0不一定成立，
∴a+b=0是a//b的充分不必要条件，
故选：A
4．C
【分析】观察茎叶图，利用甲组数据的中位数与乙组数据的平均数分别求出x、y，相加即可.
【详解】因为甲组数据的中位数为17，所以x=7，
因为乙组数据的平均数为17.4，所以9+16+16+(10+y)+295=17.4，解得y=7，
所以x+y=14.
故选：C
【点睛】本题考查根据茎叶图求数据的中位数与平均数，属于基础题.
5．B
【分析】利用随机数表法进行一一抽样即可
【详解】由题所给随机数表：从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，
则牛奶抽到标号分别为：175,331,455，068,...
故第三袋牛奶的标号是：445，
故选：B
6．D
【分析】把点(4,2)代入f(x)=lgax，求得f(x)解析式，可得反函数g(x)解析式，由1≤f(x)≤3，得g(x)的定义域为1,3，可求值域.
【详解】函数f(x)=lgax过点(4,2)，则lga4=2，解得a=2，
∴f(x)=lg2x，f(x)的反函数为g(x)，得g(x)=2x，
由1≤f(x)≤3，∴g(x)的定义域为1,3，当x∈1,3，有2x∈2,8，则g(x)的值域为[2,8].
故选：D
7．A
【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得2x+y=3,从而根据12x+4y=1312x+4y2x+y,展开后利用基本不等式可得解.
【详解】∵x>0,y>0,lg4x+lg2y=lg8,
所以4x·2y=8,即2x+y=3,
则12x+4y=1312x+4y2x+y=135+y2x+8xy≥135+2y2x⋅8xy =3,
当且仅当y2x=8xy且2x+y=3即x=12,y=2时取等号,
则12x+4y的最小值是3.
故选：A
【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值,要注意应用条件的配凑.属于中档题.
8．A
【分析】分析出函数fx在−∞,0上的单调性，可得出f−2=−f2=0，分x<0、x>0两种情况解原不等式，即可得出原不等式的解集.
【详解】因为函数fx为定义在R上的奇函数，且在0,+∞为增函数，
则该函数在−∞,0上也为增函数，且f−2=−f2=0，
由ln1e⋅xfx>0可得xfx<0.
当x<0时，则fx>0=f−2，解得−2当x>0时，则fx<0=f2，解得0综上所述，不等式ln1e⋅xfx>0的解集为−2,0∪0,2.
故选：A.
9．BC
【分析】由不等式的基本性质可判断ABC，由作差法可判断D.
【详解】对于A，当c=0时，ac2=bc2，故A错误；
对于B，若d−c，
而a>b>0，则a−d>b−c，B正确；
对于C，若a>b>0，则1b>1a，
而a>b>0，则a+1b>b+1a，C正确；
对于D，ba−b+ma+m=m(b−a)a(a+m)，
因为a>b>0，当−a0，
即有ba>b+ma+m，故D错误.
故选：BC
10．AC
【分析】计算古典概率判断A；利用列举法结合古典概型计算判断B；利用对立事件及相互独立事件求出概率判断CD作答.
【详解】对于A，依题意，事件MN=“出现3点”，而掷骰子一次有6个不同结果，所以PMN=16，A正确；
对于B，记3个白球为a1,a2,a3，2个红球为b1,b2，从5个球中任取2个的不同结果有：
a1a2,a1a3,a1b1,a1b2,a2a3,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,b1b2，共10个，
其中两球同色的结果有：a1a2,a1a3,a2a3,b1b2，共4个，所以“两球同色”的概率是410=25，B错误；
对于C，依题意，“至少一人中靶”的概率为1−(1−0.8)(1−0.9)=0.98，C正确；
对于D，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，即在前两个路口都没有遇到红灯，第3个路口遇到红灯，
所以到第3个路口首次遇到红灯的概率为(1−13)2×13=427，D错误.
故选：AC
11．AD
【分析】根据平面向量线性运算法则及几何关系计算即可判断A、B，再根据平面向量共线定理及推论可得AO=34AD=14AB+12AC，即可得到O是AD上靠近D的一个四等分点，即可得到面积比，从而判断C、D；
【详解】解：因为BD=2DC，AE=EB，所以BD=23BC，AE=12AB，
所以AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23AC−AB=13AB+23AC，故A正确，B错误；
因为C、O、E三点共线，故设AO=λAE+1−λAC=12λAB+1−λAC，
又A、O、D三点共线，设AO=μAD=μ13AB+23AC=13μAB+23μAC，
所以12λ=13μ1−λ=23μ，解得λ=12μ=34，
所以AO=34AD=14AB+12AC，即O是AD上靠近D的一个四等分点，
即AO=3OC，所以S△AOC=3S△COD，故C错误；
即14S△ADC=S△COD，同理可得14S△ABD=S△BOD，
所以S△BOC=S△BOD+S△COD=14S△ABD+14S△ADC=14S△ABD+S△ADC=14S△ABC，
即S△ABC=4S△BOC，故D正确；
故选：AD
12．ACD
【分析】根据给定的函数f(x)，求出定义域并变形解析式，再逐项分析判断作答.
【详解】依题意，函数f(x)=ln(e2x+1)−x的定义域为R，A正确；f(x)=ln(e2x+1)−lnex=ln(ex+e−x)，
对于B，因为ex+e−x≥2ex⋅e−x=2，当且仅当ex=e−x，即x=0时取等号，又函数y=lnx在(0,+∞)上递增，
因此f(x)≥ln2，B错误；
对于C，f(−x)=ln(e−x+ex)=f(x)，因此函数f(x)是R上的偶函数；
对于D，令g(x)=ex+e−x(x≥0)，∀x1,x2∈[0,+∞),x1g(x1)−g(x2)=ex1+e−x1−(ex2+e−x2)=(ex1−ex2)(1−1ex1⋅ex2)，
因为0≤x10，因此g(x1)即函数g(x)=ex+e−x在[0,+∞)上单调递增，又函数y=lnx在(0,+∞)上递增，所以函数f(x)在[0,+∞)上递增，D正确.
故选：ACD
13．4,+∞
【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数单调性分析求解.
【详解】令x2−2x−8>0，解得x>4或x<−2，
故函数y=lgx2−2x−8的定义域为−∞,−2∪4,+∞.
∵y=lgu在R上单调递增，u=x2−2x−8在−∞,−2上单调递减，在4,+∞上单调递增，
∴y=lgx2−2x−8在−∞,−2上单调递减，在4,+∞上单调递增，
故函数y=lgx2−2x−8的单调递增区间为4,+∞.
故答案为：4,+∞.
14．15
【分析】甲种产品被抽取的件数为x，乙种产品被抽取的件数为x−6，按照比例即可得出结果.
【详解】设甲种产品被抽取的件数为x，则x:x−6=5:3，解得x=15.
故答案为：15
【点睛】本题考查了分层抽样，考查了计算能力，属于一般题目.
15．(4,92]
【分析】根据零点的分布以及判别式性质列不等式组即可求解.
【详解】设f(x)=x2−mx+m
因为函数f(x)=x2−mx+m的两个零点均在区间[1,3]内，
所以有Δ=m2−4m>01≤m2≤3f(1)≥0f(3)≥0，解得：4即m∈(4,92]
故答案为：(4,92]
16．−3,0
【分析】作出函数y=fx的图像，由图像可知fa=fb=fc∈0,1，可设a【详解】作出函数fx=13x+1,x≤0lg2023x,x>0的图像如下图所示：
设a则fa=13a+1∈0,1，解得−3由fb=fc可得−lg2023b=lg2023c，即lg2023bc=0，可得bc=1.
∴abc=a∈−3,0.
故答案为：−3,0.
17．(1)a+2b−3c=−11,3
(2)k=−1613
【分析】（1）利用平面向量的坐标运算可求得a+2b−3c的坐标；
（2）求出向量a+kc、2b−a的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数k的值.
【详解】（1）解：因为a=3,2，b=−1,2，c=4,1．
所以，a+2b−3c=3,2+2−1,2−34,1=−11,3.
（2）解：由已知可得a+kc=3,2+k4,1=4k+3,k+2，
2b−a=2−1,2−3,2=−5,2，
因为a+kc//2b−a，则24k+3=−5k+2，解得k=−1613.
18．(1)m=1，fx=x12
(2)1【分析】（1）将点2,2代入函数解析式即可求出参数m的值和该幂函数的解析式；
（2）根据函数的定义域和单调性，即可利用不等式求a的取值范围.
【详解】（1）解：由题可得2=2m2+m−1，所以m2+m−1=12，
所以m2+m=2，解得m=1或m=−2，又m∈N*，所以m=1，
则该幂函数的解析式为fx=x12.
（2）∵fx的定义域为0,+∞，且在0,+∞上单调递增，
则有1+a≥03−a≥01+a>3−a，解得1所以a的取值范围为119．(1)540；
(2)平均数15.70；中位数15.74.
【分析】（1）根据频率直方图求出第二组和第三组的频率，进而求第二组和第三组的人数；
（2）由频率直方图求平均数、中位数即可.
【详解】（1）成绩在第二组和第三组的频率0.16+0.38=0.54，
所以学校1000名学生中成绩在第二组和第三组的人数：1000×0.54=540．
（2）样本数据的平均数：x=13.5×0.06+14.5×0.16+15.5×0.38+16.5×0.32+17.5×0.08=15.70，
中位数：第一二组的频率为1×0.06+1×0.16=0.22<0.5．
第一二三组的频率为1×0.06+1×0.16+1×0.38=0.6>0.5，
所以中位数一定落在第三组，
设中位数为x，则1×0.06+1×0.16+(x−15)×0.38=0.5，解得x=29919≈15.74.
20．(1)x=2或x=4
(2)−254,−4
【分析】（1）化简fx =lg2x2−3lg2x−4，由fx+6=0解得lg2x可得答案；
（2）利用指数函数的单调性解不等式求出M，化简fx=lg2x2−3lg2x−4，令t=lg2x，转化为gt=t2−3t−4，再根据抛物线的性质和t的范围可得答案.
【详解】（1）fx=lg22+lg2x⋅lg2x−lg216=1+lg2x⋅lg2x−4
=lg2x2−3lg2x−4，
由fx+6=0得lg2x2−3lg2x+2=0，解得lg2x=1或lg2x=2，
所以x=2或x=4.
所以方程fx+6=0的解是x=2或x=4；
（2）由2x2+x≤43x−2得2x2+x≤26x−4，即x2+x≤6x−4，解得1≤x≤4，M=x|1≤x≤4，
fx=lg22+lg2x⋅lg2x−lg216=lg2x2−3lg2x−4，
令t=lg2x，所以0≤t≤2，
则gt=t2−3t−4=t−322−254为开口向上对称轴为t=32的抛物线，
因为0≤t≤2，所以−254≤gt≤−4，
所以函数fxx∈M的值域为−254,−4.
21．(1)P(t)=P045t
(2)20
【分析】（1）由P0ek=45P0得出ek=45，进而得出函数Pt的关系式；
（2）由对数的运算解不等式45t≤10−2即可.
【详解】（1）因为过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的45，所以P0ek=45P0，即ek=45.
故P(t)=P0ekt=P0ekt=P045t
（2）由Pt=P045t≤1100P0，得45t≤10−2，
两边取10为底的对数，tlg2310≤−2，整理得t(1−3lg2)≥2，
∴0.1×t≥2,t≥20，因此，至少还需过滤20小时.
22．(1)k=1
(2)(0,1]
(3){n|n>1或n=−1−52}
【分析】（1）根据f(x)是偶函数，列出方程，即可求解；
（2）当x≥0时，由lg2(2x+12x)=x+m，转化为m=lg2(1+14x)在[0,+∞)上有解，设h(x)=lg2(1+14x)，结合指数函数的性质，即可求解；
（3）把函数φ(x)=f(x)−g(x)只有一个零点，转化为(n−1)(2x)2−2n⋅2x−1=0只有一个解，令t=2x（t>0），得到(n−1)t2−2nt−1=0有且仅有一个正实数根，分n=1，n>1和n<1，三种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）解：因为f(x)=lg2(2x+k2x)是偶函数，所以f(−x)=f(x)，
即f(−x)=lg2(2−x+k2−x)=lg2(12x+k⋅2x)=f(x)，解得k=1.
（2）解：当x≥0时，方程f(x)=x+m有实根，即lg2(2x+12x)=x+m，
即m=lg2(2x+12x)−x，即m=lg2(2x+12x)−lg22x=lg2(1+14x)在[0,+∞)上有解，设h(x)=lg2(1+14x)，
因为x≥0，所以1<1+14x≤2，所以0所以实数m的取值范围为(0,1].
（3）解：函数φ(x)=f(x)−g(x)只有一个零点，
则关于x的方程lg2(n⋅2x−2n)=lg2(4x+1)−x只有一个解，
所以方程n⋅2x−2n=2x+2−x只有一个解，即(n−1)(2x)2−2n⋅2x−1=0，
令t=2x（t>0），则(n−1)t2−2nt−1=0有且仅有一个正实数根.
①当n−1=0，即n=1时，此方程的解为t=−12，不满足题意；
②当n−1>0，即n>1时，Δ=4n2+4(n−1)>0，x1x2=−1n−1<0，
此时方程有一个正根和一个负根，故满足题意；
③当n−1<0，即n<1时，要使方程(n−1)t2−2nt−1=0只有一个正根，
令ht=(n−1)t2−2nt−1，
因为h0=−1<0，要使得函数hx与x 轴的正半轴只有一个公共点，
则满足Δ=4n2+4n−1=02n2n−1>0，解得n=−1−52，
综上，实数n的取值范围为{n|n>1或n=−1−52}.