山西省长治市潞州区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份山西省长治市潞州区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，一元二次方程的根的情况为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置，
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，与关于点位似，且相似比为，则与的比为（ ）
A．B．C．D．
4．若，则的值为( )
A．B．3C．4D．
5．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，C，F和点B，D，E．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．有一个实数根
7．如图，是的中线，E、F分别是，的中点，连结．若，则的长为（ ）
A．4B．3C．6D．5
8．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若，则的值为（ ）
A．2025B．2024C．2023D．2022
9．在设计人体雕像时，如果使雕像上部（腰部以上）与雕像下部（腰部以下）的高度比等于雕像下部与雕像全部的高度比，那么就可以增加视觉美感．若按此比例设计一座如图所示的高度为的雷锋雕像，则该雕像上部的高度（结果精确到；参考数据：，，）约为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，一张底边长为、底边上的高为的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（ ）

A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11．计算：= ．
12．全世界大约有14000余种蝴蝶，大部分分布在美洲，尤其在亚马孙河流域品种最多，在世界其他地区除了南北极寒冷地带以外都有分布．如图是一只蝴蝶标本，将其放在适当的平面直角坐标系中，若翅膀两端B，C两点的坐标分别为，，则蝴蝶“尾部”点A的坐标为 ．
13．如图，某景区计划在一块长、宽的矩形空地上修建一个停车场，在停车场中修建四块大小相同的矩形停车区域，使停车区域的面积之和为．若四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，则行车通道的宽度为多少？设行车通道的宽度为，根据题意可列方程为 ．
14．如图，在中，是边上一点，连结．若，，，的面积为，则的面积为 ．

15．如图，在中，D是的中点，过点C作交BD的延长线于点E，连结．若，，则的长为 ．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算：
(1)；
(2)
17．解下列方程：
(1)；（用配方法求解）
(2)
18．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)画出于y轴对称的，并直接写出点的坐标．
(2)画出以点为位似中心，相似比为的，并直接写出点的坐标．
19．阅读材料，并回答下列问题
(1)请你证明材料中的猜想
(2)依照材料中的解题方法，解方程：．
20．如图，在中，过点的直线交的延长线于点，分别交，于点，．
(1)若，，，求的长．
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
21．近年来，电商直播带货成了一个火热的职业．某电商在抖音平台上对一款成本为60元/件的服装进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，设每件服装降价x元（降价后不得低于成本）．
(1)平均每天销售量增加 件，每件服装盈利 元．（用含x的代数式表示）
(2)当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(3)商家平均每天盈利能达到1350元吗？请说明理由．
22．鹳雀楼（如图1）位于山西省永济市蒲州古城西面的黄河东岸，始建于北周时期，是现存最大的仿唐建筑．某校数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量鹳雀楼的高度．如图2，该小组成员选取与底端B在同一水平地面上的E，G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔约为．从标杆后退到点D处（即），从点D处观察顶端A处，使A，F，D三点共线；从标杆后退到点C处（即），从点C处观察顶端A处，使A，H，C三点共线，其中点A，B，C，D，E，F，G，H均在同一平面内．请根据上述测量数据，求鹳雀楼的高度．
23．综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的直角三角形纸片和，将固定不动，绕点按顺时针方向旋转一定角度，得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点．如图，当点落在边上时，连结，求的长．
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）老师将图2中的绕点C继续按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，让同学们提出新的问题
①“善思小组”提出问题：如图3，当点落在的延长线上时，连结，求的长；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当点落在的延长线上时，连结，求的长．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故选A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．
2．C
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
3．A
【分析】本题考查了位似三角形的性质，根据相似比为，即可求解．
【详解】解：∵与位似，点是它们的位似中心，且相似比为，
∴，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了比例的性质；利用比例的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得．
【详解】解：，，
，
，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，直接利用根的判别式判断即可．
【详解】解：∵
∴一元二次方程没有实数根.
故选：C．
7．B
【分析】根据三角形的中线的概念求出，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵是的中线，，
∴，
∵E、F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
8．B
【分析】此题考查一元二次方程，整体代入法：根据方程变形得到，，仿照已知整体代入化简即可得到答案，正确理解整体代入法达到降次解方程的目的是解题的关键．
【详解】∵，
∴，，
∴
故选：B．
9．C
【分析】本题主要考查了黄金分割，设该雕像上部的高度为，则雕像下部的高度为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设该雕像上部的高度为，则雕像下部的高度为，
由题意得，，
∴，
∴，
解得或，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴该雕像上部的高度约为，
故选C．
10．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质．设剪得正方形纸条是第张，根据相似三角形的性质，得到，从而求出的值，即可得到答案．掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
【详解】解：字母标注如图，
由题意可知，，，，
设剪得正方形纸条是第张，
，
，
，
，
解得：，
即剪得正方形纸条是第张，
故选：C．

11．．
【详解】解：=；故答案为．
点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键．
12．
【分析】根据翅膀两端B，C两点的坐标分别为，建立平面直角坐标系求解即可．
【详解】解：由题意得
蝴蝶“尾部”点A的坐标为．
故答案案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用，根据题意建立坐标系是解答本题的关键．
13．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据据停车区域面积之和为拼起来矩形的面积，列出一元二次方程，然后求解即可，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
【详解】解：根据题意，可得，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质：首先证明，得，从而，即可得出答案．
【详解】解：，，
，
，
，
的面积为，
，
故答案为：．
15．##
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，作，先证，求出，再证求出，进而求出，根据勾股定理求出结论即可，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
【详解】解：作，垂足分别为F、M、N，

在中，，，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，
，
故答案为：．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算，
（1）先化简二次根式，再加减即可；
（2）先运用乘法公式进行计算，再加减即可．
解题关键是熟记二次根式运算法则，准确应用公式进行计算．
【详解】（1）
．
（2）
．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，
（1）利用配方法，即可解答；
（2）利用公式法，即可解答；
选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键。
【详解】（1）解：，
化为，
配方，得，即
直接开平方，得
所以，；
（2）解：由方程可得：，，，
，
所以
所以，．
18．(1)作图见解析，点的坐标为
(2)作图见解析，点的坐标为或
【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握轴对称和位似是解题的关键，分别根据点、、的坐标关于y轴的对称点、、的坐标，连接各点即可得到，可直接得到点的坐标；根据位似的定义，以的相似比分别找到点、、的坐标，连接各点即可得到，同时可得点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
∴点的坐标为．
（2）解：如图所示，即为求，
∴点的坐标为或．
19．(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）求根公式，得方程的根是，方程的根是，即可得出，即可得证；
（2）解方程，然后根据（1）的结论即可求解．
【详解】（1）证明：根据求根公式，得方程的根是，方程的根是
∵，
∴，
即．
（2）解：根据材料，得方程的根与方程的根之间的关系是
∵解方程，得，，
∴方程的根是，
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理；
（1）根据平行四边形和平行线的性质，证明△ADG∽△ECG，由相似三角形的性质可得，即可求解；
（2）勾股定理求得，由（1），得．得出，证明，得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∴，
∴
∴，即
解得
（2）∵，
∴
由（1），得．
∴，即．
解得．
∵，
∴，．
∴
∴，即．
解得．
∴．
21．(1)，
(2)当每件服装降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元二次方程的根的判别式的应用．
（1）根据题意直接列出代数式即可；
（2）根据题意直接列出方程，解方程即可求解；
（3）根据题意直接列出方程，根据方程的根的情况即可判断．
【详解】（1）根据题意有：平均每天销售量增加件，每件服装盈利元，
故答案为：，；
（2）根据题意，得．
解得，．
经检验，或均符合本题要求．
答：当每件服装降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元
（3）不能
理由：根据题意，得．
化简，得．
∵，
∴方程没有实数根，
∴商家平均每天盈利不能达到1350元．
22．鹳雀楼的高度约为
【分析】本题考查了相似三角形判定与性质的应用，设，则，，首先证明，得到，同理可证，得到，从而，即可求出最后结果．
【详解】解：设，则，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
同理，得，
∴，即，
∴，
解得．
∴．
答：鹳雀楼的高度约为．
23．（1）；（2）①；②
【分析】（1）根据矩形和旋转的性质，得，根据勾股定理可得；
（2）①当点落在的延长线上时，过点作于点，交于点，得四边形是矩形，由旋转的性质，得，，求出
，，根据勾股定理可得的长；
②连接，过点作于点，过点作于点，证明，再证明，得，，，根据勾股定理可得的长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴，，．
由旋转的性质，得．
∴．
在中，根据勾股定理，得；
（2）①．
如图，当点落在的延长线上时，过点作于点H，交于点G，
四边形是矩形，
，，，，
，
四边形是矩形，
，，
由旋转的性质，得，，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
②如解图，连结，过点作于点，过点作于点，则．
由旋转的性质，得，，．
∵，，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，即．
解得，．
∴．
在中，根据勾股定理，得．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是综合运用相关知识．
观察方程及其根的特征：
①方程的根是，；
方程的根是，．
②方程的根是，
方程的根是，．
……
猜想：方程的根与方程的根之间的关系是．