山西省朔州市右玉县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份山西省朔州市右玉县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

第I卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．
1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）
A．至少有一个黑球B．至少有一个白球C．至少有两个黑球D．至少有两个白球
3．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）

A．B．C．D．
5．将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
6．已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．8D．10
7．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）

A．B．C．D．
第II卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若点M(a，－2)，N(3，b)关于原点对称，则a＋b＝
12．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．
13．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
14．如图，在正方形中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．

15．《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解方程：
(1)
(2)
17．我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
(1)参加比赛的学生人数共有_________名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为__________度，图中m的值为_________；
(2)补全条形统计图；
(3)组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰好是一男一女的概率．
18．在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为．
(1)将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请在图中画出平移后的；
(2)将绕着O顺时针旋转后得到，请在图中画出旋转后的；
(3)将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点A的对应点为点，点B的对应点为点），则这个定点的坐标是_______________．
19．为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A、B、C表示)三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．
20．日晷仪也称日晷，是观测日影记时的仪器，它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察，如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即与相切于点D），点在上，O为某一时刻晷针的影长，O的延长线与交于点E，与交于点B，连接C，，dm，.

(1)求证：；
(2)求的长．
21．如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．

(1)求证：是的切线．
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
22．教材中有这样一道题：如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，且交于点．求证：．
小明通过证明解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下以下回题，请你解答．
(1)若图1中的点为延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时，，之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)将图1中的绕点逆时针旋转，使得与重合，记此时点的对应点为点，如图3所示，若正方形的边长为3，求的长度．
23．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点．
(1)求二次函数解析式；
(2)连接，，，试判断的形状，并说明理由；
(3)点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标；
(4)在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．A
【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可．
【详解】A、是必然事件，故本选项符合题意；
B、是随机事件，故本选项不符合题意；
C、是随机事件，故本选项不符合题意；
D、是随机事件，故本选项不符合题意，
故选∶A．
【点睛】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理求出即可．
【详解】解：四边形是的内接四边形，
∴，即，
由圆周角定理可得：，
故选：C．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
4．C
【分析】连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点的坐标即可求得答案．
【详解】如图所示，连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心．

∵点的坐标为，
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、垂径定理的推论，牢记垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）是解题的关键．
5．D
【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到，
所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式；二是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式．
6．A
【分析】正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，用除以外角的度数，就得到外角的个数，也就是多边形的边数．
【详解】解：这个多边形的边数为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记多边形的内角与外角的关系是解题的关键．
7．B
【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴明明和亮亮两人恰好选择同一场馆的概率,
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
8．C
【分析】由切线的性质得到，再利用等腰三角形的性质得到，最后用三角形外角的性质求出的度数，进而利用直角三角形的性质即可求出的度数．
【详解】解：与相切于点，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查切线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，掌握切线的性质及三角形的外角的性质是解题的关键.
9．C
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
10．C
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．

【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长．
11．
【分析】关于原点对称，则横纵坐标都互为相反数，得到a和b的值，即可求解．
【详解】解：∵点M(a，－2)，N(3，b)关于原点对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的对称规律，掌握“关于谁谁不变，关于原点都改变”的口诀是解题的关键．
12．且
【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
13．120
【分析】解：如图，连接，由是的直径，可得，由，可得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，含的直角三角形，圆内接四边形的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
14．##
【分析】将图中阴影面积除以正方形面积即可求出米粒落在图中阴影部分的概率．
【详解】解：设正方形的边长为，则4个扇形的半径为，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，掌握几何概率的计算方法，以及扇形面积和正方形面积的计算方法是解题的关键．
15．6
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键．
16．(1)，；
(2)，．
【分析】该题主要考查了一元二次方程的解法；
（1）运用因式分解法解答即可；
（2）运用因式分解法解答即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，；
（2）解：，
因式分解，得，
于是得或，
∴，．
17．(1)20，72，40
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数和m的值；正确从条形统计图和扇形统计图得到信息是解题的关键；
（2）求出等级B的人数，然后补全条形统计图即可；求出等级B的人数是解题的关键；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．正确列表求出所有可能情况数和出一男一女的情况数是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：总人数为：（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为；
C等级所占的百分比为，
所以．
故答案为：20，72，40 ．
（2）解：B等级的人数为（人），
补全条形统计图，如图所示：
（3）解：根据题意列出表格，如下
共有6种等可能的结果，其中恰是一男一女的有4种，
所以恰好是一男一女的概率为 ．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)（0，1）
【分析】（1）根据平移变换的定义作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）连接A'B，B'A相交于点D，即可判断出点D是旋转中心，由网格线即可得出点D的坐标；
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
（3）解：∵线段A1B1可以看成是线段BA绕着某个定点旋转180°后得到的图形，
∴点A1与点B是对应点，点B1与点A是对应点，
∴连接A1B，B1A相交于点D（定点），
由图形知，D（0，1），
即旋转中心为点D（0，1），
故答案为（0，1）；
【点睛】此题主要考查了平移，旋转的性质，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质．
19．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出抽取两本书中有《九章算术》的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为种，
所以抽取两本书中有《九章算术》的概率为
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出再从中选出符合事件或的结果数目然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，可推出，通过证可得，即可求证；
（2）由可得，据此即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图：

∵与相切于点D
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
（2）解：由（1）可得：
∴
∵
∴
在直角三角形中：，
∴
∴
在直角三角形中：
∴
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判断及性质、利用勾股定理及三角函数解三角形．熟悉相关结论进行几何推导是解题关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据，得出．根据平分，得出，则．根据得出，进而得出，即可求证；
（3）连接，过点O作于点F，通过证明为等边三角形，得出，．求出．最后根据即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切线．
（2）解：连接，过点O作于点F，
∵，
∴．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，．
∵，，，
∴．
∴．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式．
22．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用证明，推出，即可得到；
（2）利用旋转的性质以及矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
在△AED和△BFA中，
∵，，．
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：如图，
由题设得，
∴，
由旋转的性质知：，，
∴，
∴．
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形．
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及旋转的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
23．(1)
(2)为直角三角形，见解析
(3)最大值为，点
(4)存在，或或
【分析】（1）设二次函数表达式为：，，将代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点，以及顶点坐标，气得，根据勾股定理的逆定理即可求解；
（3）过点作轴交于点，得出直线的表达式为：，设点，则点，根据二次函数的性质求得最值即可求解；
（4）分三种情况讨论①当时，②当时，③当时，分类求解即可．
【详解】（1）解：设二次函数表达式为：，
则，解得：，
函数的表达式为：；
（2）由（1）知，点，
∴，，，
，
故为直角三角形；
（3）过点作轴交于点，
将点、的坐标代入一次函数表达式，
解得：
直线的表达式为：，
设点，则点，
，
当时，最大值为，此时点；
（4），
，
①当时，如下图，
为等腰直角三角形，，
点；
②当时，
设
∴
解得：（舍去）或
∴点；
③当时，
同理可得：点；
故点的坐标为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，面积问题，特殊三角形问题，掌握二次函数图像与性质是解题的关键．
男
女1
女2
男
女1，男
女2，男
女1
男，女1
女2，女1
女2
男，女2
女1，女2