山西省大同市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份山西省大同市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟；
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷及答题卡相应的位置；
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效；
4．考试结束后，将答题卡交回
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．山西省第十六届运动会于2023年8月8日在大同体育中心开幕，下列用篆书描绘的体育图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于的一元二次方程的一个根是，另一个根是（ ）
A．B．C．D．
3．关于二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．函数的图象开口向下B．对称轴是轴
C．当时，有最大值D．当时，随的增大而增大
4．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将绕着点逆时针旋转至，使点恰好落在线段上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．将地物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A．B．
C．D．
7．“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到万辆．则这两年新能源汽车销售量年平均增长率为( )
A．B．C．D．
8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是的中点，如果∠DAB＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
10．下图是一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若点与点关于原点对称，则的值为 ．
12．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
13．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 ．
14．已知二次函数的图象如图所示．则的取值范围是 ．
15．如图，将绕点逆时针旋转得到，点A，，，在同一直线上，连接，若，，，则 ．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：
(1)
(2)
17．如图，在斗面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形；
(1)与关于原点对称，画出，写出的坐标；
(2)以为旋转中心将顺时针旋转得到，画出；
(3)直接写出点旋转到所经过的路径的长度．
18．如图，矩形为大同古城管理部门计划在古城东南邑围建的一个小型表演场地，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长为的隔离带（虚线部分）围成，求所围成矩形的最大面积．
19．如图，在中，弦交半径于点，连接，过点作的切线，交的延长线于点．若，试判断与的位置关系，并说明理由．

20．东方甄选是浙东方推出的直播新平台，今年5月，随看“东方甄选山西行”系列直播活动的完美收官，各类“山西好物”的总销售额也突破亿元大关．我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒售价为每盒元，同时段每小时的销售量为盒，每小时的销售利润为元．
(1)写出与及与的函数表达式．
(2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？
(3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润．
21．阅读以下材料，并完成相应的任务：
任务：
(1)上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：________________________
依据2：________________________
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(3)已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长．
22．综合与实践
问题情境：如图1，正方形和正方形有公共顶点，，，现将正方形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为，连接，．
图1 图2 图3
(1)猜想证明：猜想图2中与的数量关系并证明；
(2)探究发现：如图3，当时，连接，延长交于点，求证：垂直平分；
(3)拓展延伸：在旋转过程中，当的面积最大时，直接写出此时旋转角的度数和的面积．
23．综合与探究
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
(3)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟记“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形”是解题关键．
【详解】解：由中心对称图形的定义可知，只有C选项是中心对称图形，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个实数根，则，据此即可求解．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系可知，该方程两个根的积为：，
一个根是，
另一个根是，
故选A．
3．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，根据二次项系数大于0可得开口向上，一次项系数为0，可得对称轴为轴，进而得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，则当时，有最小值，据此可得答案．
【详解】解；∵二次函数解析式为，，
∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，故A说法错误，B说法正确，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故D说法错误，
∴当时，有最小值，故C说法错误，
故选B．
4．D
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：
，
故选D．
5．C
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，根据旋转可得：，即可得到结论．
【详解】解：由旋转可得：，
，
，
，
．
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键．
【详解】解：将地物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为，即，
故选B．
7．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为x，利用这款新能源汽车年的销售量=这款新能源汽车年的销售量这款新能源汽车销售量的年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：(不符合题意，舍去)，
∴这款新能源汽车销售量的年平均增长率为．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把分别代入，计算出对应的函数值，然后比较大小即可．
【详解】解：，，为二次函数的图象上的三点，
，
，
，
，
．
故选：B．
9．A
【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，求出∠ABD，根据圆内接四边形的性质求出∠C，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°∠DAB=20°，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠C=180°∠DAB=110°，
∵点C是的中点，
∴CD=CB，
∴∠CBD=×（180°110°）=35°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=55°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象的综合，正确读取图象信息是解题的关键．本题由一次函数的图象可得，可得抛物线对称轴，与y轴的交点在y轴正半轴，从而可得答案．
【详解】解：观察函数图象可知：，
∴异号，
∴二次函数的图象对称轴，与y轴的交点在y轴正半轴．
∴A符合题意，B，C，D不符合题意；
故选：A．
11．
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标符号是解题的关键．本题直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，再代入计算即可得出答案．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，
∴，
故答案为：．
12．1
【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．
13．
【分析】连接，过点O作于点C，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接，过点O作于点C，如图：
由题意可知：，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查有关扇形面积的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
14．
【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得y的取值范围．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，y取得最大值，当时，y取得最小值，
当时，，当时，，
∴y的取值范围是，
故答案为：．
15．5
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，根据旋转得，可证是直角三角形，根据勾股定理求出，再证出即可得出结果．
【详解】解：，绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：5．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，
（1）利用公式法解方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解法解方程即可；
熟练掌握解方程的方法和步骤是解题的关键．
【详解】（1）∵，，，
∴，
方程有两个不相等的实数根，
，
，；
（2），
，
，
或，
，．
17．(1)
(2)图形见解析
(3)
【分析】本题考查的是画中心对称图形，画旋转图形，求解弧长，掌握旋转的性质并进行画图是解本题的关键；
（1）分别确定A，B，C关于O的对称点，再顺次连接即可，根据的位置可得其坐标；
（2）分别确定A，B，C绕O顺时针旋转的对应点，再顺次连接即可；
（3）先求解的长度，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
；
（2）如图，即为所求
（3）∵，
∴点旋转到所经过的路径的长度．
18．矩形的最大面积为
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设边的长度为，矩形的面积为，则边的长为，根据矩形面积公式求出，利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：设边的长度为，矩形的面积为，则边的长为，
由题得
，
时，有最大值，最大值为225
答：矩形的最大面积为．
19．，理由见解析
【分析】本题主要考查切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，如图所示，连接，根据等边对等角得到，由切线的性质得到，再根据等边对等角和对顶角相等得到，则，再根据三角形内角和定理得到，即．
【详解】解：，理由如下：
如图所示，连接，
，
，

相切，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
20．(1)，
(2)销售价应定为每件130元
(3)销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元
【分析】本题主要考查了列函数关系式，二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确列出对应的函数关系式和方程是解题的关键。
（1）根据销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒，先列出y关于x的函数关系式，再根据利润（售价成本）销售量列出w关于x的关系式即可；
（2）根据利润（售价成本）销售量列出方程求解即可；
（3）根据（1）所求w与x的关系式，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）解：由题意得，即，
∴即
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得，，
要让利顾客，
，
答：销售价应定为每件130元；
（3）解：
，
当时，有最大值，，
答：销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元．
21．(1)依据1：圆的切线垂直于过切点的半径；依据2：直径所对的圆周角是直角
(2)，，，
(3)2
【分析】（1）利用圆切线的性质及圆周角定理的推论即可解决；
（2）通过根据同角的余角相等得到，再利用说明即可；
（3）在中，先求出，利用角对的直角边等于斜边的一半即可解决．
【详解】（1）解：与相切于点A，
（圆的切线垂直于过切点的半径），
，
是的直径，
，（直径所对的圆周角是直角）
故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角；
（2）证明：连接并延长，交于点，连接．
与相切于点A，
（圆的切线垂直于过切点的半径），
，
是的直径，
，（直径所对的圆周角是直角）
，
，
，
；
（3）解：弦切角，
由（2）可知：，
，
为直径，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质等知识点，熟记知识点是解题的关键．
22．(1)
(2)证明见解析
(3)，的面积
【分析】（1）利用“”证得即可得到结论；
（2）由推出，，通过计算得出，即可得证；
（3）当点在线段的垂直平分线上时，的面积有最大值，利用等腰直角三角形的性质结合面积公式即可求解．
【详解】（1）解：，
证明：在正方形中，，，
在正方形中，，，
，
即，
，
；
（2）证明：由（1）知，
即
，，
，
垂直平分
（3）解：在中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，
当点在线段的垂直平分线上时，的面积有最大值，
作垂直平分于点，如下图：
，，垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，线段垂直平分线的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．
23．(1)
(2)面积的最大值为；
(3)存在，，，，
【分析】本题为二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式、二次函数最值、直角三角形的性质等
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）当为斜边时，则，即可求解；当为斜边时，同理可解．
【详解】（1）解：将，代入，得
抛物线的解析式为
（2）解：过作轴，交于点
当时，
设直线的表达式为将，代入，得
设，
当时，
当时，
（3）解：存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点，
由点的坐标得，，，，
当为斜边时，则，
解得：m=，
即点或；
当为斜边时，则，
解得：；
即点；
当为斜边时，则，
解得：，
即点，
综上，点Q的坐标为： ，，，
定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
下面是该定理的部分证明过程：
已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，．
求证：．
证明：连接并延长，交于点，连接．
与相切于点A
（依据1）
是的直径
（依据2）