湖南省怀化市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份湖南省怀化市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．已知点在双曲线上，则下列各点中，在此双曲线上的点是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C．D．
3．用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，，若，则等于（ ）

A．5B．4C．D．2
5．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户8月份销售吉祥物“宸宸”摆件10万个，10月份销售万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．定义：一元二次方程（）若满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足，那么我们称这个方程为“友善”方程.已知关于的方程（）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根B．方程的两个根互为相反数
C．两根之积为0D．无实数根
9．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）
10．如图，在中，，，．点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，当平分时，的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．反比例函数的图象分布在第一、三象限内，则的取值范围为 ．
12．若m是方程的一个根，则代数式 ．
13．设，那么 ．
14．已知点P是线段的黄金分割点，，若，则的值为
15．已知一菱形的两条对角线长分别是方程x2-9x+20=0的两根，则菱形的面积是 ．
16．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为 米．
17．若关于x的一元二次方程的常数项为0．则m的值等于 ．
18．如图，点B是反比例函数上一点，矩形的周长是16，正方形和正方形的面积之和为56，则反比例函数的解析式是 ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．解下列方程：
(1)
(2)
20．如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）；
(2)若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系．
21．如图，在正方形中，点M、N分别在上，，，．

(1)求证：；
(2)与有什么数量关系，请说明理由；
(3)与有什么位置关系，请说明理由．
22．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点处时，张龙测得李明直立时身高与影子长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点处时，李明直立时身高的影子恰好是线段，并测得，已知李明直立时的身高为，求路灯的高的长．（结果精确到．
23．已知关于x的方程．
(1)当m满足什么条件时，方程有实数根？
(2)设方程的两实根分别为、，且，求m的值．
24．直福购物逐渐走进了人们的生活，某电商在料者上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售、如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低1元，则日销售量可增加2件．
(1)当每件小商品的售价为50元时，日销售量为______件；
(2)若计划每日获利448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？
25．如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．
(1)求的值．
(2)若，
①求证：．
②求证：．
26．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于A，B两点，其中，直线与y轴、x轴分别交于C，D两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在x轴上找一点P，使的值最小，并求满足条件的点P的坐标；
(3)在坐标平面中是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的方法和步骤是解题的关键；先求出此反比例函数的k值，再分别求出经过各点的反比例函数的k值，即可解答．
【详解】解：∵点在双曲线上，
∴，
A、∵，∴点不在此双曲线上，不符合题意；
B、∵，∴点不在此双曲线上，不符合题意；
C、∵，∴点在此双曲线上，符合题意；
D、∵，∴点不在此双曲线上，不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
【详解】解：A．是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．含有2个未知数，故本选项不合题意；
C．未知数的最高次数是1，故本选项不合题意；
D．是分式方程，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．
3．A
【分析】按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案．
【详解】解：方程即为，
在方程的两边都加上，得，
即．
故选：A．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的的方法和步骤是解此题的关键．
4．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，得出，通过证明，得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：B．
5．D
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：，，
∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大；
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该摆件销售量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设该摆件销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两边对应成比例，但夹角不一定相等，故两三角形不一定相似，故本选项符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项故本选项不合题意；
C、阴影部分的三角形两边为，，与原三角形对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不合题意；
D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项故本选项不合题意；
故选：A．
8．B
【分析】根据已知得出方程（）有两个根或，再判断即可．
【详解】解：∵把代入方程得出：，
把代入方程得出，
∴方程（）有两个根或，
∴，
即只有选项B正确；选项A、C、D都错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，主要考查学生的理解能力和计算能力．
9．C
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．
【详解】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠BCD＝90°，
∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD，
在△ACO与△BCD中，
∴△ACO≌△BCD（AAS）
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵A（0，2），C（1，0）
∴OD＝3，BD＝1，
∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y＝，
将B（3，1）代入y＝，
∴k＝3，
∴y＝，
∴把y＝2代入y＝，
∴x＝，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了个单位长度，
∴C也移动了个单位长度，
此时点C的对应点C′的坐标为（，0）
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．
10．B
【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质证明设 根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：，，，

，

平分



为线段的中点，


设
，







故选B．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．
【分析】依据题意，根据反比例函数的性质可得不等式：，进而可以得解．
【详解】解：由题意得，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题时要熟悉性质并能灵活运用是关键．
12．3
【分析】利用一元二次方程解的定义得到，把代数式变形后整体代入即可得到答案，此题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解和整体代入是解题的关键．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
则，
故答案为：3
13．
【分析】根据已知条件用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．
14．
【分析】根据题意点P是线段的黄金分割点，且，，利用较长的线段原线段的即可求解．
【详解】解：点P是线段的黄金分割点，，且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割点的概念．熟记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的是解题的关键．
15．10
【分析】先求出方程的解，得出菱形的对角线长，根据菱形的面积公式求出即可．
【详解】解：解方程x2-9x+20=0得：x=4或5，
即菱形的两条对角线的长为4和5，
所以菱形的面积为×4×5=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了菱形的性质和解一元二次方程，能求出一元二次方程的解是解此题的关键，注意：菱形的面积=菱形的对角线积的一半．
16．3
【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决．
【详解】解：（米），
∴AB∥DC．
（米）．
故答案为：3
【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．根据常数项为0列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
，且，
解得，
故答案为：．
18．
【分析】首先设点的坐标为，依题意得，，可得，，根据矩形的周长是16可得，根据正方形和正方形的面积之和为56可得，据此可求出，进而可得反比例函数的解析式．
【详解】解：设点的坐标为，
∵点B是反比例函数上一点，
∴，，
∴，，
∵矩形的周长是16，
∴，
即：，
又∵正方形和正方形的面积之和为56，
∴，
由，得：，
即：，
将代入上式，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解题意，设出点B的坐标，并用点B的坐标分别表示出矩形的周长以及正方形和正方形的面积之和是解答此题的关键．
19．(1)，
(2)，
【分析】此题主要考查一元二次方程的求解：
（1）根据因式分解法即可求解；
（2）根据公式法即可求解．
解题的关键是熟知解方程的方法及求根公式为．
【详解】（1）解：，
∴，
解得，；
（2）解：，，，
∴，
∵，
∴，
解得，．
20．(1)见解析
(2)
【分析】问题考查了位似图形的作图和性质．
（1）连接并延长，使，在依次连接即可；
（2）根据题意得出和相似比为，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；（另一种同样给分）
（2）解：∵，位似比的绝对值为2，放大为，
∴和相似比为，
∴
即：．
21．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质．
（1）根据正方形的性质得出，结合，即可证明；
（2）根据相似三角形的性质可得出结论；
（3）根据可得，由得，从而可得结论．
【详解】（1）证明：在正方形中，，，
∵，
∴，
在和中，
，，
∴，
又∵，
∴；
（2），理由如下：
∵，
∴；
（3），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．路灯的高CD的长约为6.1m
【分析】根据，，，得到，从而得到，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
【详解】解：设长为m，
，，，，
，
m，
，
，即，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
路灯高的长约为6.1m
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
（1）根据题意可得，即，解之即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系得到，，进而根据完全平方公式的变形得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于x的方程有实数根，
∴，
∴
∴
∴当时，方程有实数根；
（2）解：∵关于x的方程的两实根分别为、，
∴，，
∵
∴，
∴，
解得，
∵，
∴．
24．(1)40
(2)54元
【分析】本题考查的是列式计算，一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程是解本题的关键．
（1）由原销售量20件加上增加的销售量即可得到答案；
（2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元，由销售量乘以每件的利润，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：当每件小商品的售价为50元时，日销售量为（件）；
（2）解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元，
日销售量为：（件），
依题意得：，
解得：， ，
又∵商家想尽快销售完该款商品，
∴ ，
答：每件售价应定为54元．
25．(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理的和性质定理是解题的关键，
（1）根据平行四边形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到即可；
（2）①设，根据题意用表示出、，证明，根据相似三角形的对应角相等证明即可；
②证明，根据相似三角形的性质列式计算即可证明结论．
【详解】（1）因为在中，，，
又∵，
∴，
∴，
（2）①证明：∵，
可设，则，
由（1）知：，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
26．(1)
(2)
(3)，，，，，
【分析】（1）根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时的值最小，由点B的坐标可得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）首先求出C，D的坐标，得到是等腰直角三角形，再根据相似三角形的性质得到是等腰直角三角形，利用坐标系的特征找到线段为边构造等腰直角三角形，结合图象即可得到相应坐标．
【详解】（1）解：将点代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）把代入得，解得，
∴点B的坐标为，
作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时的值最小，
∵点B的坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的函数表达式为，
将点、代入，得
，解得，
∴直线的函数表达式为，
当时，，解得，
∴点P的坐标为；
（3）在中，令，则，令，则，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵以Q，A，B为顶点的三角形与相似，
∴是等腰直角三角形，
如图，以线段为边构造等腰直角三角形，共有6种情况，
其中各点坐标分别为，，，，，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，最短路径，一次函数与反比例函数综合，求反比例函数表达式，等腰直角三角形的判定，数形结合，分类讨论．