第5章5.1导数的概念及其应用同步练习

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第5章5.1导数的概念及其应用同步练习2022-2023学年下学期高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数，若的最小值为m，其中是函数的导函数，则在处的切线方程是（    ）A． B． C． D．2．如图，函数的图象在点处的切线是，则（    ）A． B． C．2 D．13．函数在区间上的平均变化率是（    ）A． B． C． D．4．在区间上，函数①；②；③中平均变化率为定值的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．35．设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（     ）A．的极大值为，极小值为B．的极大值为，极小值为C．的极大值为，极小值为D．的极大值为，极小值为6．某汽车在笔直的公路上不断加速行驶，则其路程关于时间的函数图象的大致形状是（    ）A． B．C． D．7．若在处可导，则可以等于（    ）．A． B．C． D．8．若，则函数在处可导是函数在可导的（    ）．A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件9．已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（    ）A．2 B．1 C．－1 D．－210．函数在区间上的平均变化率为（    ）A．2 B．3 C．5 D．411．设函数在处的导数为2，则（    ）A．2 B．1 C． D．612．下列四个命题中，不正确的是（    ）A．若函数在处连续，则B．函数的不连续点是和C．若函数，满足，则D．13．已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　）A．经过4s后物体向前走了10mB．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10mD．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s14．曲线在点处的切线的倾斜角为（     ）A． B． C． D．15．设在处可导，下列式子与相等的是（    ）A． B．C． D．二、填空题16．已知曲线在处的切线方程为，则___________．17．物体的运动方程为（s的单位：米，t的单位：秒），则此物体在t＝10的瞬时速度是______．18．函数，设在区间与的平均变化率为a，b，则a，b的大小关系为_______.19．已知一物体做直线运动，其运动的位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足：，则该物体在到这段时间的平均速度为______（m/s）．20．曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为______．三、解答题21．已知函数．(1)求函数的导函数；(2)过点作函数的图象的切线，求切线方程．22．已知函数.(1)计算从到的平均变化率，其中的值分别为①2，②1，③0.1，④0.01；(2)当的值越来越小时，函数在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？23．.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么烟花冲出后多长时间达到最高点？24．设函数的定义域为所有非零实数的全体，对任意的非零实数x、y均有，且 存在，试讨论： 还在哪些点处存在？并求出的表达式（用表示）．参考答案：1．B【分析】根据导数的几何意义即可求解.【详解】由题得，则的最小值．，，函数在处的切线方程是：，即.故选：B．2．D【分析】求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，，，.故选：D．3．B【分析】根据平均变化率的定义即可求得本题答案.【详解】因为，所以，所以在区间上的平均变化率.故选：B4．B【分析】根据平均变化率的定义求三个函数的平均变化率即可判断.【详解】对于①，；对于②，；对于③，．故只有③的平均变化率为定值．故选：B.5．D【分析】根据题意先判断导数的符号，进而确定原函数的单调性和极值.【详解】当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；故三次函数在上单调递增，在上单调递减，可得的极大值为，极小值为.故选：D.6．B【分析】根据导数的物理意义及函数的单调性即可判断【详解】由汽车加速行驶，故随着的增大，速度在不断增大，根据导数的物理意义知，从而在不断增大，即曲线上的各点的切线斜率不断增大．只有B满足此规律.故选：B7．A【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断得出结果.【详解】由导数定义，对于A， ，A满足；对于B，，，B不满足；对于C，，，C不满足；对于D，， ，D不满足.故选：A.8．C【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性：函数在处可导不能推出函数在可导.故充分性不满足；必要性：因为函数在可导，，所以函数在可导.必要性满足.故函数在处可导是函数在可导的必要非充分条件.故选：C9．D【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，，所以.故选：D.10．C【分析】根据平均变化率的知识求得正确答案.【详解】当时，；当时，.所以函数在区间上的平均变化率为.故选：C11．A【分析】根据导数的定义即得.【详解】因为函数在处的导数为2，所以.故选：A.12．C【分析】根据连续函数的定义判断A，连续点的定义判断B，由极限的计算公式计算极限判断D，根据极限定义举反例判断C．【详解】由连续函数的定义知A正确；函数的定义域是，因此其不连续点是和，B正确；，D正确；例如，，，但与不存在，C错．故选：C．13．D【分析】根据导数的物理意义可知，函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求解即可．【详解】∵物体做直线运动的方程为，根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度，∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．故选：D．14．A【分析】根据导数的几何意义得到点处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.【详解】，所以在点处的切线的斜率为-1，倾斜角为.故选：A.15．B【分析】根据导函数的定义，将各选项中的式子化简，即可判断出答案.【详解】对于A，,A错误；对于B，，B正确；对于C, ，C错误；对于D，，D错误，故选：B16．【分析】根据导数的几何意义即可求解.【详解】根据题意得，，所以，解得，所以．故答案为：．17．146米/秒【分析】利用瞬时速度的概念求解出答案.【详解】设此物体在t＝10的瞬时速度（米/秒）.故答案为：146米/秒.18．a < b##b>a【分析】根据平均变化率的计算公式分别计算出，，进而得出结果.【详解】自变量从1变化到2时，函数的平均变化率为，自变量从3变化到5时，函数的平均变化率为，由于，所以函数在区间的平均变化率比在的平均变化率小，也即.故答案为：.19．0【分析】计算出，再由可得答案.【详解】由，得.则该物体在到这段时间的平均速度为0（m/s）．故答案为：020．或【分析】求导得到，解得或，得到坐标.【详解】由已知得，令，则，解得或，所以或．经检验，点与均符合题意．故答案为：或21．(1)；(2)或．【分析】（1）先求函数在上的平均变化率，再求当时的极限即可；（2）设切点为，根据导数的几何意义利用点斜式表示切线方程，结合条件求切点坐标即可.【详解】（1），当时，，所以函数的导函数为．（2）设切点为，则由（1），可得切线的斜率，则切线方程为，即．因为切线过点，所以，解得或，从而切线方程为或．22．(1)①6，②5，③4.1，④4.01.(2)平均变化率越来越趋近于常数4【分析】（1）根据平均变化率的定义计算可得，分别将的不同取值代入即可求得其平均变化率；（2）由平均变化率的几何意义可知，当趋近于0时，其平均变化率越来越趋近于在处的瞬时变化率4.【详解】（1）从到的平均变化率为,①当时，函数在上的平均变化率为4+2=6.②当时，函数在上的平均变化率为4+1=5.③当时，函数在上的平均变化率为4+0.1=4.1.④当时，函数在上的平均变化率为4+0.01=4.01.（2）由（1）中的结果可以看出，当的值越来越小时，函数在区间上的平均变化率越来越趋近于常数4.23．烟花冲出1.5s后达到最高点【分析】设烟花达到最高点时的时刻为，令该时刻的瞬时速度求解.【详解】解：设烟花达到最高点时的时刻为，根据瞬时速度的定义知，，，故瞬时速度为，令，解得，故烟花冲出1.5s后达到最高点.24．对所有非零实数x都存在，且【分析】根据条件先求出 ，再运用导数的定义计算.【详解】由，得，则，从而对任意不为零的实数x，有 ，所以 对所有非零实数x都存在，且 ．