天津市南开区南开中学2024届高三上学期统练3数学试题

这是一份天津市南开区南开中学2024届高三上学期统练3数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，使得，则为（ ）
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
3．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．6
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，则的大小为（ ）
A．B．
C．D．
7．若，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
9．若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
10．已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
11．已知定义在R上的奇函数，对于都有，当时，，则函数在内所有的零点之和为（ ）
A．16B．12C．10D．8
12．已知函数，若存在实数，且，使得 ，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．若复数满足，则复数的虚部为 ．
14．若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 .
15．，则的取值范围是 .
16．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用80℃的开水泡制，再等茶水温度降至35℃时饮用，可以产生最佳口感.若茶水原来的温度是℃，经过一定时间tmin后的温度T℃，则可由公式求得，其中表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯80℃的绿茶放在室温为20℃的房间中，已知茶温降到50℃需要10min.那么在20℃室温下，用80℃的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间 min，才能达到最佳饮用口感.
17．已知函数且，若，，则实数的取值范围是 .
18．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知角的终边经过点.
(1)求，，.
(2)求的值.
20．如图所示，四棱锥中，平面，，，.
(1)求与平面所成夹角的正弦值；
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)设为上一点，且，若平面，求的长.
21．已知椭圆的左顶点A与上顶点B的距离为.
(1)求椭圆C的方程和焦点的坐标；
(2)点P在椭圆C上，且P点不在x轴上，线段的垂直平分线与y轴相交于点Q，若为等边三角形，求点的P横坐标.
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有极大值，试确定的取值范围；
(3)若存在使得成立，求的值.
参考答案：
1．D
【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.
【详解】因为，。
所以，或，因此，.
故选：D.
2．B
【分析】根据命题的否定的定义求解.
【详解】根据命题的否定的定义，
因为命题，使得，
所以为，使得，
故选:B.
3．B
【分析】由，利用指对互化得到，，然后代入求解.
【详解】因为，
所以，，
因为，
所以，即，
∴，
∵，
∴.
故选：B.
4．B
【分析】先由对数公式把化简，然后代入即可求解.
【详解】由题意可得，，
所以，
所以.
故选：B.
5．D
【分析】根据奇偶性定义判断的对称性，并由及、增长速度关系，结合排除法确定函数图象.
【详解】由且定义域为，故是偶函数，又，排除B、C；
当时，函数比增长得更快，排除A.
故选：D．
6．D
【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可.
【详解】解：因为，，
设，
则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，
又因为，
所以.
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于较复杂的对数、指数式的大小比较，通常构造函数，利用所构造函数的单调性即可解答问题.
7．B
【分析】由已知不等式变形可得，构造函数，其中，分析函数在上的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出，再结合对数函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，
令，其中，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为，即，故，则，
所以，，则，A错B对；
无法确定与的大小，故与的大小无法确定，CD都错.
故选：B.
8．D
【分析】求出的范围，再由平方关系求出，然后利用诱导公式、正弦的二倍角公式计算可得答案.
【详解】因为为锐角，所以，，
因为，所以，
所以，
所以
.
故选：D.
9．C
【分析】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称，作出函数的图像关于原点对称的图像，再作出函数，由图像可得结论
【详解】解：根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称.
可作出函数的图像关于原点对称的图像，看它与函数交点个数即可.如图所示：
当x=1时，
观察图象可得：它们有2个交点.
故选：C.

10．A
【分析】首先根据函数对称性可以得到，利用函数为奇函数可求出函数的周期，利用周期进一步计算即可求出函数值.
【详解】因为的图象关于对称，
所以，于是，
又是定义在上的奇函数，所以，
则，即，
所以的周期为4，
所以，
又因为是定义在上的奇函数，所以.
故选：.
11．B
【分析】根据函数奇偶性以及对称性，推出函数的周期，再结合时，，即可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可求得答案.
【详解】由题意定义在R上的奇函数，对于，都有，
图象关于直线对称；
且，即，
故，
即函数是以4为周期的周期函数，
当，则，则，
故，
当，则，因为，
则；
当时，则，
由此可作出函数在内的图象，如图示：

由可得，
由图象可知的图象与在内仅有4个交点，
不妨设这4个交点的横坐标从左向右依次为，
由于为图象对称轴，且函数周期为4，故也为函数图象的对称轴，
故由图象可知关于对称，关于对称，
故，则，
即函数在内所有的零点之和为12，
故选：B
【点睛】方法点睛：解决此类函数性质综合应用的题目，要能根据函数的性质，比如奇偶性、对称性，进而推出函数的周期，进而结合给定区间上的解析式，作出函数大致图像，数形结合，解决问题.
12．D
【分析】利用二次函数对称性化简目标式，然后构造函数，利用导数求最值可得.
【详解】作出的函数图象如图所示：

若存在实数，且，使得 ，
因为的图象关于直线对称，
所以，
所以，
由图可知，，所以．
设，，
所以，与在单调递增，
所以在上单调递增，又，所以当时，，
所以在上单调递增，
所以．
故选：D．
13．1
【分析】设，代入中化简可求得结果
【详解】设，则，
由，得，
所以，所以，得，
所以复数的虚部为1．
故答案为：1.
14．
【分析】由展开式的奇数项的二项式系数和为16可得，则展开式中第项为，令可得答案.
【详解】因的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则.
则展开式中第项为.
令可得，则的系数为.
故答案为：
15．
【解析】根据对数的运算法则得到，然后利用基本不等式进行求解即可．
【详解】由，有且，
所以
，即
解得:或(舍去)
故答案为：
【点睛】本题主要考查对数的基本运算，以及基本不等式的应用，考查学生的运算能力．属于基础题.
16．20
【分析】由80°C的绿茶放在室温为20℃的房间中茶温降到50℃需要10min代入公式得；茶温降到35℃需要min代入公式得，观察与为平方关系，可求得.
【详解】一杯80°C的绿茶放在室温为20℃的房间中，如果茶温降到50℃需要10min，
那么：，所以
一杯80°C的绿茶放在室温为20℃的房间中，如果茶温降到35℃需要min，
那么：，所以，
所以，所以，
故答案为：20
17．或
【分析】根据和得到函数在上单调性，结合题中条件可得，即可将问题转化为求函数在的最值，即可求解.
【详解】，
若，由于单调递减，则在上单调递增；
若，由于单调递增，则在上单调递减，
又，故，
故不等式对恒成立，
即对恒成立，
当时，对恒成立，
由于对勾函数在单调递减，在单调递增，而当时，，
当时，，因此；
当时，对恒成立，当时，，得，
综上可知：或，
故答案为：或
18．
【分析】根据函数的奇偶性作出函数的图像，利用换元法判断函数的根的个数，利用数形结合即可得出结论．
【详解】关于的方程有且仅有6个不同的实数根，设，
则当，方程有个根，
当，方程有个根，
当或，方程有2个根，
当，方程有4个根，
当，方程有0个根；
则必有两个根、，有两种情况符合题意：
①，且，
此时，
则；
②，，
此时，
综上可得的范围是，
故答案为：．
【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数．
19．(1)
(2)
【分析】（1）应用三角函数定义求值即可；
（2）利用诱导公式先化简式子，再代入三角函数值即可求解.
【详解】（1）由三角函数定义得，
，
．
（2）
.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，结合线面角的坐标计算公式求解即可；
（2）根据面面角的坐标计算公式直接求解即可；
（3）根据题意设，结合平面求解答案即可.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，
又因为，所以、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以延长、交于，，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为
（2）由题意知，平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
所以，
所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为
（3）设，则，
则
，
因为平面，所以，
所以，解得，
即的长为
21．(1)椭圆方程为，焦点坐标为；
(2)．
【分析】（1）由，求得，得椭圆方程，再计算得焦点坐标；
（2）设方程为，，代入椭圆方程求得点坐标，然后求出的中垂线方程，得点坐标，再利用求得后得点横坐标．
【详解】（1）由题意左顶点A与上顶点B的距离为，解得，所以，
椭圆方程为，焦点坐标为；
（2）由已知，设方程为，，代入椭圆方程并整理得：
，
由是此方程的一个解得，所以，
的中点坐标为，
的垂直平分线方程为，
令得，
为等边三角形，则，
所以，
解得，
所以．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义，求曲线的切线方程；
（2）首先求函数的导数，，再讨论，判断函数的单调性，讨论函数的极值；
（3）不等式转化为，利用两点间的距离的几何意义，转化为点到直线的距离，求的值.
【详解】（1）当时，，
依题意，，可得，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）函数的定义域为，
①当时，，所以在上单调递增，此时无极大值；
②当时，令，解得或，令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
此时在处取得极大值，符合题意；
③当时，令，解得或，令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
此时在处取得极大值，符合题意；
④当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，此时无极大值；
综上，实数的取值范围为.
（3）
可以看作是动点与动点之间距离的平方，
动点在函数的图象上，在直线的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由得，，解得，
所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，
则，
根据题意，要使，
则，此时恰好为垂足，
由,可得，
所以.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质的综合应用的问题，本题的关键是第三问，不等式变形转化为，再转化为直线和函数的图象上点的距离问题.