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初中数学沪科版九年级下册24.6.1 正多边形与圆优秀综合训练题
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这是一份初中数学沪科版九年级下册24.6.1 正多边形与圆优秀综合训练题,共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共12小题,共36分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.周长相等的正方形与正六边形的面积分别为S1,S2,则S1和S2的关系为( )
A. S1=S2B. S1:S2=3 3:16
C. S1:S2= 3:3D. S1:S2= 3:2
2.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内,A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点,则点O是下列哪个三角形的外心.( )
A. △AEDB. △ABDC. △BCDD. △ACD
3.如图,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R,则下列结论不正确的是( )
A. h=R+rB. R=2rC. r= 34aD. R= 33a
4.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重台,AB//x轴,交y轴于点P.将△OAP绕点O逆时针旋转,每次旋转90°,则第2023次旋转结束时,点A的坐标为( )
A. ( 3,−1)
B. (−1,− 3)
C. (− 3,1)
D. (1, 3)
5.如图,已知正五边形ABCDE内接于⊙O,连结BD,则∠ABD的度数为( )
A. 60∘B. 70∘C. 72∘D. 144∘
6.半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系是( )
A. a7.如图,点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心,对角线CE,DF相交于点G,则△GEF的面积为( )
A. 2 3
B. 3 3
C. 8 33
D. 10 33
8.蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(−2 3,3),(0,−3),则点M的坐标为( )
A. (3 3,−2)B. (3 3,2)C. (2,−3 3)D. (−2,−3 3)
9.正六边形ABCDEF内接于⊙O,正六边形的周长是12,则⊙O的半径是( )
A. 3B. 2C. 2 2D. 2 3
10.如图,点O为正五边形ABCDE外接圆的圆心,正五边形ABCDE的对角线分别相交于点P,Q,R,M,N.若顶角等于36∘的等腰三角形叫做黄金三角形,那么图中黄金三角形的个数为( )
A. 5B. 10C. 15D. 20
11.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,点M在AB上,则∠CME的度数为( )
A. 36°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
12.如图,五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点G,交CE的延长线于点F.则下列结论中正确的是( )
A. EC=2AB
B. ∠BCD=118°
C. ∠F=36°
D. ∠G=70°
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题,共12分)
13.如图,在正八边形ABCDEFGH中,若四边形BCFG的面积是12 cm2,则正八边形的面积为 cm2.
14.如图,正方形ABCD内接于⊙O,其边长为2,则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 .
15.如图,在正六边形ABCDEF中,连接AC,CF,则∠ACF= 度.
16.如图,AC是⊙O的内接正六边形的一边,点B在AC⌢上,且BC是⊙O的内接正十边形的一边,若AB是⊙O的内接正n边形的一边,则n=____.
三、解答题(本大题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题8分)
在一个正多边形中,一个内角是与它相邻的一个外角的3倍.
(1)求这个多边形的边数;
(2)求这个多边形的每一个外角的度数.
18.(本小题8分)
自古以来,人类对于蜜蜂的勤劳以及蜂巢的巧妙精准无不赞扬有加.从生物学鼻祖亚里士多德,到数学家帕普斯,以及近代的生物学家达尔文都曾留下了赞美的诗句.工蜂分泌蜂蜡筑成蜂窝,作为蜂王产卵、工蜂育幼以及存放蜂蜜、花粉的贮藏室.从正面来看,蜂巢是由许多正六边形连结而成,正六边形是能够不重叠地铺满一个平面的三种正多边形之一,另外两种分别是正方形和正三角形.
(1)一根长12cm的铁丝分别围成正三角形,正方形,正六边形,请同学们直接写出围成图形的面积:S正三角形=______,S正方形=______,S正六边形=______;
(2)在(1)的条件下,比较围成图形面积的大小;
(3)通过以上计算,当面积一定时,耗材最少的图形是______(填:正三角形、正方形、正六边形).
19.(本小题8分)
如图,在网格纸中,O、A都是格点,以O为圆心,OA为半径作圆.用无刻度的直尺完成以下画图:(不写画法)
(1)在图①中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF;
(2)在图②中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH.
20.(本小题8分)
浦江桃形李是地方名果,是浦江县的特产之一.请你运用数学知识,根据素材,帮果农解决问题.
任务1:求桃形李产量的年平均增长率;
任务2:现有长80cm,宽75cm的长方形纸板,将四角各裁掉一个正方形(如图1),折成无盖长方体纸盒(如图2).为了放下适当数量的桃形李,需要设计底面积为3300cm2的纸盒,计算此时纸盒的高;
任务3:为了增加包装盒的种类,打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪,得到底面为正六边形的无盖纸盒(如图4),求出此时纸盒的高.(图中实线表示剪切线,虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)
21.(本小题8分)
门环,在中国绵延了数千多年的,集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件,也成为中国古建“门文化”中的一部分,现有一个门环的示意图如图所示,点O为正六边形ABCDEF的中心;
(1)请用无刻度直尺与圆规,过点O作一个⊙P,使⊙P与直线AF和直线AB同时相切;(请保留作图痕迹)
(2)若正六边形ABCDEF的边长为18cm,试求(1)中⊙P的半径。(结果保留根号)
22.(本小题8分)
已知:如图,△ABC是⊙O的内接等腰三角形,顶角∠BAC=36°,弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB.
求证:五边形AEBCD是正五边形.
23.(本小题8分)
如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)求证:△ABC是等边三角形.
(2)若⊙O的半径为2,求等边△ABC的边心距.
24.(本小题8分)
如图,在正五边形ABCDE中,DF⊥AB.F为垂足.求证:AF=BF.
25.(本小题8分)
如图,已知等边△ABC,请用直尺(不带刻度)和圆规按下列要求作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹):
(1)作△ABC的外心O;
(2)设D是AB边上一点,在图中作出一个正六边形DEFGHI,使点F、点H分别在边BC和AC上.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】设正方形的边长为3a,则正六边形的边长为2a,∴S1=(3a)2=9a2.∵正六边形的边长为2a,∴把正六边形分成六个全等的小正三角形,其高为 (2a)2−a2= 3a,∴S2=6×12×2a× 3a=6 3a2,∴S1:S2=9a2:6 3a2= 3:2,故选D.
2.【答案】D
【解析】本题考查了三角形外心的性质,即到三角形三个顶点的距离相等,依次判断即可.
因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,由正六边形性质可知,点O到A、B、C、D、E的距离中,只有OA=OC=OD,
所以点O是△ACD的外心.故选D.
3.【答案】C
【解析】如图,∵△ABC是等边三角形,
∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆,圆心为O.
设D,E为切点,连接OE,OD,OA,易得点A,O,D共线,则OE=OD=r,AO=R,AD=h,
∴h=R+r,故A正确.
∵AD⊥BC,
∴∠DAC=12∠BAC=12×60∘=30∘.
在Rt△AOE中,OA=2OE,即R=2r,故B正确.
∵AB=AC=BC=a,OE⊥AC,
∴AE=12AC=12a.
∴(12a)2+r2=(2r)2,(12a)2+(12R)2=R2
∴r= 3a6,R= 33a,故C错误,D正确.
故选C.
4.【答案】C
【解析】解:正六边形ABCDEF边长为2,中心与原点0重合,AB//x轴,
∴AP=1,AO=2.∠OPA=90°,
:OP−= AO2−AP2= 3.
第1次旋转结束时,点A的坐标为( 3.−1);
第2次旋转结束时,点A的坐标为(−1,− 3);
第3次旋转结束时,点A的坐标为(− 3,1);
第4次旋转结束时,点A的坐标为(1. 3),
∵4次一个循环,
∴2023÷4=.
第2023次旋转结束时,点A的坐标为(− 3,1).
故选:C.
首先确定点A的坐标,再根据4次一个循环,推出经过第2023次旋转后,点的坐标即可.
本题考查正多边形的性质,规律型问题,坐标与图形变化−旋转等知识,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型.
5.【答案】C
【解析】略
6.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了正多边形和圆的性质,解决本题的关键是构造直角三角形,得到用半径表示的边心距;注意:正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决.
根据三角函数即可求解.
【解答】
解:设圆的半径为R,
则正三角形的边心距为a=R×cs60°=12R.
正方形的边心距为b=R×cs45°= 22R,
正六边形的边心距为c=R×cs30°= 32R.
∵12R< 22R< 32R,
∴a故选:A.
7.【答案】C
【解析】解:∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形,
∴CD=DE=EF,∠CDE=∠DEF=120°,
∴∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°,
∴∠FEG=90°,
∵EF=4,
∴EG= 33EF=4 33,
∴△GEF的面积=12×EF⋅GE=12×4×4 33=8 33.
故选:C.
根据六边形ABCDEF是边长为4的正六边形,可得CD=DE=EF,∠CDE=∠DEF=120°,根据三角形内角和定理可得∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°,所以∠FEG=90°,然后利用含30度角的直角三角形可得EG的长,进而可以解决问题.
本题考查了正多边形和三角形的面积,解决本题的关键是掌握正六边形的性质.
8.【答案】A
【解析】解:设中间正六边形的中心为D,连接DB.
∵点P,Q的坐标分别为(−2 3,3),(0,−3),图中是7个全等的正六边形,
∴AB=BC=2 3,OQ=3,
∴OA=OB= 3,
∴OC=3 3,
∵DQ=DB=2OD,
∴OD=1,QD=DB=CM=2,
∴M(3 3,−2),
故选:A.
设中间正六边形的中心为D,连接DB.判断出OC,CM的长,可得结论.
本题考查正多边形与圆,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
9.【答案】B
【解析】解:连接OB,OC,
∵多边形ABCDEF是正六边形,
∴∠BOC=60°,
∵OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴OB=BC,
∵正六边形的周长是12,
∴BC=2,
∴⊙O的半径是2,
故选B.
连接OA,OB,根据等边三角形的性质可得⊙O的半径,进而可得出结论.
本题考查正多边形和圆的关系.
10.【答案】D
【解析】根据题意,得图中的黄金三角形有△EMR,△ARQ,△BQP,△CNP,△DMN,△DER,△EAQ,△ABP,△BCN,△CDM,△DAB,△EBC,△ECA,△ACD,△BDE,△ABR,△BQC,△CDP,△DEN,△EAM,共20个.故选D.
11.【答案】C
【解析】解:如图:连接OC,OD,OE,
∵多边形ABCDEF是正六边形,
∴∠COD=∠DOE=360°6=60°,
∴∠COE=2∠COD=120°,
∴∠CME=12∠COE=60°.
故选:C.
连接OC,OD,OE,由正六边形的性质得出∠COE=120°,由圆周角定理即可求解.
本题考查了正六边形的性质、圆周角定理;熟练掌握正六边形的性质,由圆周角定理求出∠COE=120°是解决问题的关键.
12.【答案】C
【解析】解:连接OA,OB,
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,
∴∠AOB=360°5=72°,∠ABC=∠BCD=∠D=108°,AB=DE=CD,故B错误;
∴∠DCE=36°,
∴∠FCB=72°,
∵CE∴CE<2AB,故A错误;
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=54°,
∴∠GBO=180°−∠OBC=126°,
∵FG是⊙O的切线,
∴∠OAG=90°,
∴∠G=360°−∠OAG−∠AOB−∠OBG=72°,故D错误;
∴∠F=180°−∠G−∠FCG=36°,故C正确;
故选:C.
连接OA,OB,根据正五边形的性质得到∠AOB=360°5=72°,∠ABC=∠BCD=∠D=108°,AB=DE=CD,故B错误;求得∠DCE=36°,根据三角形的三边关系得到CE<2AB,故A错误;根据切线的性质得到∠OAG=90°,求得∠G=360°−∠OAG−∠AOB−∠OBG=72°,故D错误;根据三角形的内角和定理得到∠F=180°−∠G−∠FCG=36°,故C正确.
本题考查了正多边形与圆,等腰三角形的性质,切线的性质,正确地作出辅助线是解题的关键.
13.【答案】24
【解析】如图,连接AD、HE,
在正八边形ABCDEFGH中,可得HE⊥BG于点M,AD⊥BG于点N.
∵正八边形每个内角为8−2×180∘8=135∘,
∴∠HGM=45°,
∴MH=MG.
设MH=MG=x,
则HG=AH=AB=GF= 2x,
∴BG⋅GF=2 2+1x2=12,
∴S四边形ABGH=12AH+BG⋅HM= 2+1x2=6.∴S正八边形=6×2+12=24(cm2).
14.【答案】 6
【解析】如图,连接AC、OE、OF,作OM⊥EF于点M.∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=2,∠ABC=90°,
∴AC是直径,AC=2 2,∴OE=OF= 2.
∵OM⊥EF,∴EM=MF.
∵△EFG是等边三角形,∴∠GEF=60°,
在Rt△OME中,∵OE= 2,∠OEM=12∠GEF=30∘,
∴OM= 22,EM= 3OM= 62,∴EF= 6.
15.【答案】30
【解析】设正六边形的边长为1,正六边形的每个内角=(6−2)×180°÷6=120°,∵AB=BC,∠ABC=120°,∴∠BAC=∠BCA=12×(180∘−120∘)=30∘,∵∠BAF=120°,∴∠CAF=∠BAF−∠BAC=120°−30°=90°,如图,过点B作BM⊥AC于点M,则AM=CM,∵∠BMA=90°,∠BAM=30°,∴BM=12AB=12,
∴AM= AB2−BM2= 12−122= 32,
∴AC=2AM= 3,∵CF2=AC2+AF2,∴CF=2,
∴CF=2AF,∴∠ACF=30°,故答案为30.
16.【答案】15
【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十边形的性质;根据题意求出中心角的度数是解题的关键.
根据中心角的度数=360°÷边数,列式计算分别求出∠AOB,∠BOC的度数,则∠AOC=60°,则边数n=360°÷中心角.
【解答】
解:连接BO,
∵AC是⊙O内接正六边形的一边,
∴∠AOC=360°÷6=60°,
∵BC是⊙O内接正十边形的一边,
∴∠BOC=360°÷10=36°,
∴∠AOB=∠AOC−∠BOC=60°−36°=24°,
∴n=360°÷24°=15;
故答案为:15.
17.【答案】解:(1)设这个多边形的边数为n,
∵一个正多边形中,一个内角是与它相邻的一个外角的3倍,
∴正多边形的内角和是外角和的3倍,
∴(n−2)⋅180°=360°×3,
解得n=8,
答:这个多边形的边数是8;
(2)360°÷8=45°,
答:这个多边形的每一个外角的度数为45°.
【解析】(1)设这个多边形的边数为n,一个正多边形中,一个内角是与它相邻的一个外角的3倍,则正多边形的内角和是外角和的3倍,据此列方程即可求解;
(2)根据正多边形的外角都相等进行求解即可.
此题考查了正多边形的外角与内角问题,熟练掌握正多边形的性质是解题的关键.
18.【答案】解:(1)4 3cm2; 9cm2;6 3cm2;
(2)∵4 3<9<6 3,
∴S正三角形(3)正六边形.
【解析】解:①正三角形时,边长=12÷3=4(cm),底边的高为: 42−22=2 3(cm)
S正三角形=12×4×2 3=4 3(cm2);
②正方形时,边长=12÷4=3(cm),
S正方形=32=9cm2;
③正六边形时,边长=12÷6=2(cm),
S正六边形=6×12×2× 3=6 3(cm2);
故答案为:(1)、4 3cm2;9cm2;6 3cm2;
(2)∵4 3<9<6 3;
∴S正三角形(3)当面积一定时,耗材最少的图形是正六边形,
故答案为:正六边形.
(1)根据周长的定义求出各图形的边长:①为正三角形时,根据正三角形的性质求出高,再利用三角形的面积公式列式计算即可得解;②根据正方形的面积公式列式计算即可得解;③根据正六边形的面积等于6个全等的等边三角形的面积的和列式计算即可得解;
(2)根据(1)的数据比较即可;
(3)根据(1)中的计算结果即可得到结论.
本题考查了正方形的性质,等边三角形的性质,正多边形,主要利用了等边三角形和正方形的面积的求解.
19.【答案】解:如图所示,
(1)如图①,正六边形ABCDEF即为所求;
(2)如图②,正八边形ABCDEFGH即为所求.
【解析】【分析】
此题考查的是格点作图,掌握圆的内接正六边形和内接正八边形的性质和中心角的求法是解决此题的关键.
(1)设AO的延长线与圆交于点D,根据正六边形的性质,点D即为正六边形的一个顶点,且正六边形的边长等于圆的半径,根据垂直平分线的性质即可确定其它顶点;
(2)先求出圆内接八边形的中心角,然后根据正方形的性质即可找到各个顶点.
【解答】
解:(1)设AO的延长线与圆交于点D,
根据圆的内接正六边形的性质,点D即为正六边形的一个顶点,且正六边形的边长等于圆的半径,即OB=AB,故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F;同理:在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E,连接AB、BC、CD、DE、EF、FA,如图①,正六边形ABCDEF即为所求.
(2)圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°,而正方形的对角线与边的夹角也为45°
∴在如②图所示的正方形OMNP中,连接对角线ON并延长,交圆于点B,此时∠AON=45°;∵∠NOP=45°,
∴OP的延长线与圆的交点即为点C.
同理,即可确定点D、E、F、G、H的位置,顺次连接,
如图②,正八边形ABCDEFGH即为所求.
20.【答案】解:任务1:设桃形李产量的年平均增长率为x,
由题意得:
35(1+x)2=50.4,
解得:x1=0.2,x2=−2.2(不符合题意,舍去),
答:桃形李产量的年平均增长率为20%;
任务2:设裁掉正方形的边长为m(cm),由题意得:
(75−2m)×(80−2m)=3300,
化简得,4m2−310m+2700=0,
整理得,(m−10)(4m−270)=0,
解得:m1=10,m2=1352(不符合题意舍去),
答:此时纸盒的高为10cm;
任务3:如图,设底面正六边形为ABCDEF,连接AC、FD、BE,AC和BE交于点G,FD和BE交于点H,BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N,
设底面正六边形的边长为a(cm),纸盒的高为b(cm),
∵正六边形的每条边相等,每个内角都为120°,
∴△ABC为等腰三角形,∠ABC=120°,
∴∠BAC=∠BCA=30°,
由正六边形的性质可得BE平分∠ABC,
∴∠ABE=60°,
∴∠AGB=90°,
∴直角三角形ABG中,BG=12a,AG= 32a,
同理可得直角三角形FHE中,HE=12a,
∵CG=AG= 32a,b+AG+GC+b=75,
∴2b+ 3a=75①,
∵左侧小三角形顶点B的角度=360°−120°−90°−90°=60°,
∴左侧小三角形为边长b的等边三角形,
根据图形的上下对称可得MN与长方形纸板的左右两边垂直,
∴BM为等边三角形的高,
∴BM= 32b,
同理可得,EN=BM= 32b
∵四边形AGHF为矩形,
∴GH=AF=a,
∵MN=MB+BG+GH+HE+EN=80,
∴2a+ 3b=80②,
联立①②式可得b=150−8 3,
答:纸盒的高为(150−8 3)cm;
【解析】任务1:设桃形李产量的年平均增长率为x,则2022年的产量为35(1+x)2千克,由2022年的产量解方程即可;
任务2:由图1可得裁掉正方形的边长即为图2长方体盒子的高,设裁掉正方形的边长为m(cm),根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可;
任务3:设底面正六边形为ABCDEF,连接AC、FD、BE,AC和BE交于点G,FD和BE交于点H,BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N,根据正六边形的性质求得△ABG为含30°角的直角三角形,可得其两直角边的长度;结合等边三角形的判定和性质再求得左右两侧小三角形的高,然后根据长方形纸板的长和宽建立方程求解即可.
本题考查了一元二次方程的应用,正六边形的性质,等边三角形的判定和性质,30°角的直角三角形的边长关系,对称的性质;掌握正六边形的性质是解题关键.
21.【答案】解:(1)如图⊙P即为所求.
(2)若正六边形ABCDEF边长为18cm,
连接OF,
∵点O为六边形ABCDEF中心,
∴OA=OF,
又∠OAF=60∘,
∴△OAF为等边三角形,
即OA=AF=18cm,
设OP半径为r,
则OP=r,AP=OA−r=18−r,
PK=r
Rt△APK中,∠PAK=60∘,
∴∠APK=30∘,
则AK=12AP=9−r2,
由勾股定理得:AP2=AK2+PK2,
∴(18−r)2=(9−r2)2+r2,
∴ 3(9−r2)=±r,
即( 3±2)2r=9 3,r>0,
∴r=(36 3−54)cm.
【解析】本题考查切线的判定与性质和正多边形的计算关系,掌握等边三角形的性质是解题的关键。
(1)第1步:分别以点E、F为圆心,大于12EF长为半径画圆弧,两弧分别交于M,N两点,连接MN并延长与AB延长线交于点Q.(此作
图方法作出EF中垂线,由正六边形对称性可知,MN必过正六边形ABCDEF中心点O)
第2步:以点Q为圆心,任意长度为半径画圆弧,分别交MN于点G,交AB于点H;再分别以点G、H为圆心.大于12GH长为半径画
圆弧,两弧交于点T,作射线QT,(即QT平分∠GQH),
第3步:连接AD(由对称性可知,AD经过中心O)与射线QT与OA交于点P,再以点P为圆心,OP长为半径画圆,则⊙P即为所求.
(2)设OP=r,则PK=r,由题意得AP=18−r,AK=12AP=9−r2,Rt△APK中,根据勾股定理求解即可。
22.【答案】证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
又∵∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°.
又∵BD、CE平分∠ABC、∠ACB.
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°,
∴AE=BE=BC=CD=DA.
易证五边形AEBCD为正五边形.
【解析】求证五边形AEBCD是正五边形,就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等.
本题主要考查了连接圆的等分点所得到的多边形是正多边形这一结论.
23.【答案】(1)证明:在⊙O中,
∵∠BAC与∠CPB是BC所对的圆周角,∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角,
∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,
又∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°,
∴△ABC为等边三角形;
(2)过O作OD⊥BC于D,连接OB,
则∠OBD=30°,∠ODB=90°,
∵OB=2,
∴OD=1,
∴等边△ABC的边心距为1.
【解析】【分析】
本题考查了正多边形与圆,圆周角定理、等边三角形的判定与性质,正确作出辅助线,证明△ABC是等边三角形是关键.
(1)利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,而∠APC=∠CPB=60°,所以∠BAC=∠ABC=60°,从而可判断△ABC的形状;
(2)过O作OD⊥BC于D,连接OB,根据直角三角形的性质即可得到结论.
24.【答案】证明:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠E=∠C,DE=AE=DC=BC,
在△AED和△BCD中,
AE=BC∠E=∠CDE=DC,
∴△AED≌△BCD(SAS),
∴AD=BD,
∵DF⊥AB,
∴∠DFA=∠DFB=90°,
在Rt△DAF和Rt△DBF中,
AD=BDDF=DF,
∴Rt△DAF≌Rt△DBF(HL),
∴AF=BF.
【解析】连接DA和DB,证明△AED≌△BCD可得AD=BD,再证明Rt△DAF≌Rt△DBF即可得结论.
本题考查了正多边形的性质以及全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握正多边形的性质.
25.【答案】解:(1)如图,点O为△ABC的外心.
(2)如图,正六边形DEFGHI即为所求.
【解析】【分析】本题考查尺规作图—复杂作图,等边三角形的性质,三角形的外接圆与外心,正多边形的计算.
(1)根据垂直平分线的作法作出AB,AC的垂直平分线交于点O即为所求;
(2)过D点作DI//BC交AC于I,分别以D,I为圆心,DI长为半径作圆弧交AB于E,交AC于H,过E点作EF//AC交BC于F,过H点作HG//AB交BC于G,六边形DEFGHI即为所求正六边形.信息及素材
素材一
在专业种植技术人员的正确指导下,果农对桃形李的种植技术进行了研究与改进,使产量得到了增长,根据果农们的记录,2020年桃形李平均每株产量是35千克,2022年达到了50.4千克,每年的增长率是相同的.
素材二
一般采用的是长方体包装盒.
素材三
果农们通过问卷调查发现,顾客也很愿意购买美观漂亮的其它设计的包装纸盒.
一、选择题(本大题共12小题,共36分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.周长相等的正方形与正六边形的面积分别为S1,S2,则S1和S2的关系为( )
A. S1=S2B. S1:S2=3 3:16
C. S1:S2= 3:3D. S1:S2= 3:2
2.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内,A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点,则点O是下列哪个三角形的外心.( )
A. △AEDB. △ABDC. △BCDD. △ACD
3.如图,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R,则下列结论不正确的是( )
A. h=R+rB. R=2rC. r= 34aD. R= 33a
4.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重台,AB//x轴,交y轴于点P.将△OAP绕点O逆时针旋转,每次旋转90°,则第2023次旋转结束时,点A的坐标为( )
A. ( 3,−1)
B. (−1,− 3)
C. (− 3,1)
D. (1, 3)
5.如图,已知正五边形ABCDE内接于⊙O,连结BD,则∠ABD的度数为( )
A. 60∘B. 70∘C. 72∘D. 144∘
6.半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系是( )
A. a7.如图,点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心,对角线CE,DF相交于点G,则△GEF的面积为( )
A. 2 3
B. 3 3
C. 8 33
D. 10 33
8.蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(−2 3,3),(0,−3),则点M的坐标为( )
A. (3 3,−2)B. (3 3,2)C. (2,−3 3)D. (−2,−3 3)
9.正六边形ABCDEF内接于⊙O,正六边形的周长是12,则⊙O的半径是( )
A. 3B. 2C. 2 2D. 2 3
10.如图,点O为正五边形ABCDE外接圆的圆心,正五边形ABCDE的对角线分别相交于点P,Q,R,M,N.若顶角等于36∘的等腰三角形叫做黄金三角形,那么图中黄金三角形的个数为( )
A. 5B. 10C. 15D. 20
11.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,点M在AB上,则∠CME的度数为( )
A. 36°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
12.如图,五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点G,交CE的延长线于点F.则下列结论中正确的是( )
A. EC=2AB
B. ∠BCD=118°
C. ∠F=36°
D. ∠G=70°
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题,共12分)
13.如图,在正八边形ABCDEFGH中,若四边形BCFG的面积是12 cm2,则正八边形的面积为 cm2.
14.如图,正方形ABCD内接于⊙O,其边长为2,则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 .
15.如图,在正六边形ABCDEF中,连接AC,CF,则∠ACF= 度.
16.如图,AC是⊙O的内接正六边形的一边,点B在AC⌢上,且BC是⊙O的内接正十边形的一边,若AB是⊙O的内接正n边形的一边,则n=____.
三、解答题(本大题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题8分)
在一个正多边形中,一个内角是与它相邻的一个外角的3倍.
(1)求这个多边形的边数;
(2)求这个多边形的每一个外角的度数.
18.(本小题8分)
自古以来,人类对于蜜蜂的勤劳以及蜂巢的巧妙精准无不赞扬有加.从生物学鼻祖亚里士多德,到数学家帕普斯,以及近代的生物学家达尔文都曾留下了赞美的诗句.工蜂分泌蜂蜡筑成蜂窝,作为蜂王产卵、工蜂育幼以及存放蜂蜜、花粉的贮藏室.从正面来看,蜂巢是由许多正六边形连结而成,正六边形是能够不重叠地铺满一个平面的三种正多边形之一,另外两种分别是正方形和正三角形.
(1)一根长12cm的铁丝分别围成正三角形,正方形,正六边形,请同学们直接写出围成图形的面积:S正三角形=______,S正方形=______,S正六边形=______;
(2)在(1)的条件下,比较围成图形面积的大小;
(3)通过以上计算,当面积一定时,耗材最少的图形是______(填:正三角形、正方形、正六边形).
19.(本小题8分)
如图,在网格纸中,O、A都是格点,以O为圆心,OA为半径作圆.用无刻度的直尺完成以下画图:(不写画法)
(1)在图①中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF;
(2)在图②中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH.
20.(本小题8分)
浦江桃形李是地方名果,是浦江县的特产之一.请你运用数学知识,根据素材,帮果农解决问题.
任务1:求桃形李产量的年平均增长率;
任务2:现有长80cm,宽75cm的长方形纸板,将四角各裁掉一个正方形(如图1),折成无盖长方体纸盒(如图2).为了放下适当数量的桃形李,需要设计底面积为3300cm2的纸盒,计算此时纸盒的高;
任务3:为了增加包装盒的种类,打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪,得到底面为正六边形的无盖纸盒(如图4),求出此时纸盒的高.(图中实线表示剪切线,虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)
21.(本小题8分)
门环,在中国绵延了数千多年的,集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件,也成为中国古建“门文化”中的一部分,现有一个门环的示意图如图所示,点O为正六边形ABCDEF的中心;
(1)请用无刻度直尺与圆规,过点O作一个⊙P,使⊙P与直线AF和直线AB同时相切;(请保留作图痕迹)
(2)若正六边形ABCDEF的边长为18cm,试求(1)中⊙P的半径。(结果保留根号)
22.(本小题8分)
已知:如图,△ABC是⊙O的内接等腰三角形,顶角∠BAC=36°,弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB.
求证:五边形AEBCD是正五边形.
23.(本小题8分)
如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)求证:△ABC是等边三角形.
(2)若⊙O的半径为2,求等边△ABC的边心距.
24.(本小题8分)
如图,在正五边形ABCDE中,DF⊥AB.F为垂足.求证:AF=BF.
25.(本小题8分)
如图,已知等边△ABC,请用直尺(不带刻度)和圆规按下列要求作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹):
(1)作△ABC的外心O;
(2)设D是AB边上一点,在图中作出一个正六边形DEFGHI,使点F、点H分别在边BC和AC上.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】设正方形的边长为3a,则正六边形的边长为2a,∴S1=(3a)2=9a2.∵正六边形的边长为2a,∴把正六边形分成六个全等的小正三角形,其高为 (2a)2−a2= 3a,∴S2=6×12×2a× 3a=6 3a2,∴S1:S2=9a2:6 3a2= 3:2,故选D.
2.【答案】D
【解析】本题考查了三角形外心的性质,即到三角形三个顶点的距离相等,依次判断即可.
因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,由正六边形性质可知,点O到A、B、C、D、E的距离中,只有OA=OC=OD,
所以点O是△ACD的外心.故选D.
3.【答案】C
【解析】如图,∵△ABC是等边三角形,
∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆,圆心为O.
设D,E为切点,连接OE,OD,OA,易得点A,O,D共线,则OE=OD=r,AO=R,AD=h,
∴h=R+r,故A正确.
∵AD⊥BC,
∴∠DAC=12∠BAC=12×60∘=30∘.
在Rt△AOE中,OA=2OE,即R=2r,故B正确.
∵AB=AC=BC=a,OE⊥AC,
∴AE=12AC=12a.
∴(12a)2+r2=(2r)2,(12a)2+(12R)2=R2
∴r= 3a6,R= 33a,故C错误,D正确.
故选C.
4.【答案】C
【解析】解:正六边形ABCDEF边长为2,中心与原点0重合,AB//x轴,
∴AP=1,AO=2.∠OPA=90°,
:OP−= AO2−AP2= 3.
第1次旋转结束时,点A的坐标为( 3.−1);
第2次旋转结束时,点A的坐标为(−1,− 3);
第3次旋转结束时,点A的坐标为(− 3,1);
第4次旋转结束时,点A的坐标为(1. 3),
∵4次一个循环,
∴2023÷4=.
第2023次旋转结束时,点A的坐标为(− 3,1).
故选:C.
首先确定点A的坐标,再根据4次一个循环,推出经过第2023次旋转后,点的坐标即可.
本题考查正多边形的性质,规律型问题,坐标与图形变化−旋转等知识,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型.
5.【答案】C
【解析】略
6.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了正多边形和圆的性质,解决本题的关键是构造直角三角形,得到用半径表示的边心距;注意:正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决.
根据三角函数即可求解.
【解答】
解:设圆的半径为R,
则正三角形的边心距为a=R×cs60°=12R.
正方形的边心距为b=R×cs45°= 22R,
正六边形的边心距为c=R×cs30°= 32R.
∵12R< 22R< 32R,
∴a故选:A.
7.【答案】C
【解析】解:∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形,
∴CD=DE=EF,∠CDE=∠DEF=120°,
∴∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°,
∴∠FEG=90°,
∵EF=4,
∴EG= 33EF=4 33,
∴△GEF的面积=12×EF⋅GE=12×4×4 33=8 33.
故选:C.
根据六边形ABCDEF是边长为4的正六边形,可得CD=DE=EF,∠CDE=∠DEF=120°,根据三角形内角和定理可得∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°,所以∠FEG=90°,然后利用含30度角的直角三角形可得EG的长,进而可以解决问题.
本题考查了正多边形和三角形的面积,解决本题的关键是掌握正六边形的性质.
8.【答案】A
【解析】解:设中间正六边形的中心为D,连接DB.
∵点P,Q的坐标分别为(−2 3,3),(0,−3),图中是7个全等的正六边形,
∴AB=BC=2 3,OQ=3,
∴OA=OB= 3,
∴OC=3 3,
∵DQ=DB=2OD,
∴OD=1,QD=DB=CM=2,
∴M(3 3,−2),
故选:A.
设中间正六边形的中心为D,连接DB.判断出OC,CM的长,可得结论.
本题考查正多边形与圆,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
9.【答案】B
【解析】解:连接OB,OC,
∵多边形ABCDEF是正六边形,
∴∠BOC=60°,
∵OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴OB=BC,
∵正六边形的周长是12,
∴BC=2,
∴⊙O的半径是2,
故选B.
连接OA,OB,根据等边三角形的性质可得⊙O的半径,进而可得出结论.
本题考查正多边形和圆的关系.
10.【答案】D
【解析】根据题意,得图中的黄金三角形有△EMR,△ARQ,△BQP,△CNP,△DMN,△DER,△EAQ,△ABP,△BCN,△CDM,△DAB,△EBC,△ECA,△ACD,△BDE,△ABR,△BQC,△CDP,△DEN,△EAM,共20个.故选D.
11.【答案】C
【解析】解:如图:连接OC,OD,OE,
∵多边形ABCDEF是正六边形,
∴∠COD=∠DOE=360°6=60°,
∴∠COE=2∠COD=120°,
∴∠CME=12∠COE=60°.
故选:C.
连接OC,OD,OE,由正六边形的性质得出∠COE=120°,由圆周角定理即可求解.
本题考查了正六边形的性质、圆周角定理;熟练掌握正六边形的性质,由圆周角定理求出∠COE=120°是解决问题的关键.
12.【答案】C
【解析】解:连接OA,OB,
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,
∴∠AOB=360°5=72°,∠ABC=∠BCD=∠D=108°,AB=DE=CD,故B错误;
∴∠DCE=36°,
∴∠FCB=72°,
∵CE
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=54°,
∴∠GBO=180°−∠OBC=126°,
∵FG是⊙O的切线,
∴∠OAG=90°,
∴∠G=360°−∠OAG−∠AOB−∠OBG=72°,故D错误;
∴∠F=180°−∠G−∠FCG=36°,故C正确;
故选:C.
连接OA,OB,根据正五边形的性质得到∠AOB=360°5=72°,∠ABC=∠BCD=∠D=108°,AB=DE=CD,故B错误;求得∠DCE=36°,根据三角形的三边关系得到CE<2AB,故A错误;根据切线的性质得到∠OAG=90°,求得∠G=360°−∠OAG−∠AOB−∠OBG=72°,故D错误;根据三角形的内角和定理得到∠F=180°−∠G−∠FCG=36°,故C正确.
本题考查了正多边形与圆,等腰三角形的性质,切线的性质,正确地作出辅助线是解题的关键.
13.【答案】24
【解析】如图,连接AD、HE,
在正八边形ABCDEFGH中,可得HE⊥BG于点M,AD⊥BG于点N.
∵正八边形每个内角为8−2×180∘8=135∘,
∴∠HGM=45°,
∴MH=MG.
设MH=MG=x,
则HG=AH=AB=GF= 2x,
∴BG⋅GF=2 2+1x2=12,
∴S四边形ABGH=12AH+BG⋅HM= 2+1x2=6.∴S正八边形=6×2+12=24(cm2).
14.【答案】 6
【解析】如图,连接AC、OE、OF,作OM⊥EF于点M.∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=2,∠ABC=90°,
∴AC是直径,AC=2 2,∴OE=OF= 2.
∵OM⊥EF,∴EM=MF.
∵△EFG是等边三角形,∴∠GEF=60°,
在Rt△OME中,∵OE= 2,∠OEM=12∠GEF=30∘,
∴OM= 22,EM= 3OM= 62,∴EF= 6.
15.【答案】30
【解析】设正六边形的边长为1,正六边形的每个内角=(6−2)×180°÷6=120°,∵AB=BC,∠ABC=120°,∴∠BAC=∠BCA=12×(180∘−120∘)=30∘,∵∠BAF=120°,∴∠CAF=∠BAF−∠BAC=120°−30°=90°,如图,过点B作BM⊥AC于点M,则AM=CM,∵∠BMA=90°,∠BAM=30°,∴BM=12AB=12,
∴AM= AB2−BM2= 12−122= 32,
∴AC=2AM= 3,∵CF2=AC2+AF2,∴CF=2,
∴CF=2AF,∴∠ACF=30°,故答案为30.
16.【答案】15
【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十边形的性质;根据题意求出中心角的度数是解题的关键.
根据中心角的度数=360°÷边数,列式计算分别求出∠AOB,∠BOC的度数,则∠AOC=60°,则边数n=360°÷中心角.
【解答】
解:连接BO,
∵AC是⊙O内接正六边形的一边,
∴∠AOC=360°÷6=60°,
∵BC是⊙O内接正十边形的一边,
∴∠BOC=360°÷10=36°,
∴∠AOB=∠AOC−∠BOC=60°−36°=24°,
∴n=360°÷24°=15;
故答案为:15.
17.【答案】解:(1)设这个多边形的边数为n,
∵一个正多边形中,一个内角是与它相邻的一个外角的3倍,
∴正多边形的内角和是外角和的3倍,
∴(n−2)⋅180°=360°×3,
解得n=8,
答:这个多边形的边数是8;
(2)360°÷8=45°,
答:这个多边形的每一个外角的度数为45°.
【解析】(1)设这个多边形的边数为n,一个正多边形中,一个内角是与它相邻的一个外角的3倍,则正多边形的内角和是外角和的3倍,据此列方程即可求解;
(2)根据正多边形的外角都相等进行求解即可.
此题考查了正多边形的外角与内角问题,熟练掌握正多边形的性质是解题的关键.
18.【答案】解:(1)4 3cm2; 9cm2;6 3cm2;
(2)∵4 3<9<6 3,
∴S正三角形
【解析】解:①正三角形时,边长=12÷3=4(cm),底边的高为: 42−22=2 3(cm)
S正三角形=12×4×2 3=4 3(cm2);
②正方形时,边长=12÷4=3(cm),
S正方形=32=9cm2;
③正六边形时,边长=12÷6=2(cm),
S正六边形=6×12×2× 3=6 3(cm2);
故答案为:(1)、4 3cm2;9cm2;6 3cm2;
(2)∵4 3<9<6 3;
∴S正三角形
故答案为:正六边形.
(1)根据周长的定义求出各图形的边长:①为正三角形时,根据正三角形的性质求出高,再利用三角形的面积公式列式计算即可得解;②根据正方形的面积公式列式计算即可得解;③根据正六边形的面积等于6个全等的等边三角形的面积的和列式计算即可得解;
(2)根据(1)的数据比较即可;
(3)根据(1)中的计算结果即可得到结论.
本题考查了正方形的性质,等边三角形的性质,正多边形,主要利用了等边三角形和正方形的面积的求解.
19.【答案】解:如图所示,
(1)如图①,正六边形ABCDEF即为所求;
(2)如图②,正八边形ABCDEFGH即为所求.
【解析】【分析】
此题考查的是格点作图,掌握圆的内接正六边形和内接正八边形的性质和中心角的求法是解决此题的关键.
(1)设AO的延长线与圆交于点D,根据正六边形的性质,点D即为正六边形的一个顶点,且正六边形的边长等于圆的半径,根据垂直平分线的性质即可确定其它顶点;
(2)先求出圆内接八边形的中心角,然后根据正方形的性质即可找到各个顶点.
【解答】
解:(1)设AO的延长线与圆交于点D,
根据圆的内接正六边形的性质,点D即为正六边形的一个顶点,且正六边形的边长等于圆的半径,即OB=AB,故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F;同理:在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E,连接AB、BC、CD、DE、EF、FA,如图①,正六边形ABCDEF即为所求.
(2)圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°,而正方形的对角线与边的夹角也为45°
∴在如②图所示的正方形OMNP中,连接对角线ON并延长,交圆于点B,此时∠AON=45°;∵∠NOP=45°,
∴OP的延长线与圆的交点即为点C.
同理,即可确定点D、E、F、G、H的位置,顺次连接,
如图②,正八边形ABCDEFGH即为所求.
20.【答案】解:任务1:设桃形李产量的年平均增长率为x,
由题意得:
35(1+x)2=50.4,
解得:x1=0.2,x2=−2.2(不符合题意,舍去),
答:桃形李产量的年平均增长率为20%;
任务2:设裁掉正方形的边长为m(cm),由题意得:
(75−2m)×(80−2m)=3300,
化简得,4m2−310m+2700=0,
整理得,(m−10)(4m−270)=0,
解得:m1=10,m2=1352(不符合题意舍去),
答:此时纸盒的高为10cm;
任务3:如图,设底面正六边形为ABCDEF,连接AC、FD、BE,AC和BE交于点G,FD和BE交于点H,BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N,
设底面正六边形的边长为a(cm),纸盒的高为b(cm),
∵正六边形的每条边相等,每个内角都为120°,
∴△ABC为等腰三角形,∠ABC=120°,
∴∠BAC=∠BCA=30°,
由正六边形的性质可得BE平分∠ABC,
∴∠ABE=60°,
∴∠AGB=90°,
∴直角三角形ABG中,BG=12a,AG= 32a,
同理可得直角三角形FHE中,HE=12a,
∵CG=AG= 32a,b+AG+GC+b=75,
∴2b+ 3a=75①,
∵左侧小三角形顶点B的角度=360°−120°−90°−90°=60°,
∴左侧小三角形为边长b的等边三角形,
根据图形的上下对称可得MN与长方形纸板的左右两边垂直,
∴BM为等边三角形的高,
∴BM= 32b,
同理可得,EN=BM= 32b
∵四边形AGHF为矩形,
∴GH=AF=a,
∵MN=MB+BG+GH+HE+EN=80,
∴2a+ 3b=80②,
联立①②式可得b=150−8 3,
答:纸盒的高为(150−8 3)cm;
【解析】任务1:设桃形李产量的年平均增长率为x,则2022年的产量为35(1+x)2千克,由2022年的产量解方程即可;
任务2:由图1可得裁掉正方形的边长即为图2长方体盒子的高,设裁掉正方形的边长为m(cm),根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可;
任务3:设底面正六边形为ABCDEF,连接AC、FD、BE,AC和BE交于点G,FD和BE交于点H,BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N,根据正六边形的性质求得△ABG为含30°角的直角三角形,可得其两直角边的长度;结合等边三角形的判定和性质再求得左右两侧小三角形的高,然后根据长方形纸板的长和宽建立方程求解即可.
本题考查了一元二次方程的应用,正六边形的性质,等边三角形的判定和性质,30°角的直角三角形的边长关系,对称的性质;掌握正六边形的性质是解题关键.
21.【答案】解:(1)如图⊙P即为所求.
(2)若正六边形ABCDEF边长为18cm,
连接OF,
∵点O为六边形ABCDEF中心,
∴OA=OF,
又∠OAF=60∘,
∴△OAF为等边三角形,
即OA=AF=18cm,
设OP半径为r,
则OP=r,AP=OA−r=18−r,
PK=r
Rt△APK中,∠PAK=60∘,
∴∠APK=30∘,
则AK=12AP=9−r2,
由勾股定理得:AP2=AK2+PK2,
∴(18−r)2=(9−r2)2+r2,
∴ 3(9−r2)=±r,
即( 3±2)2r=9 3,r>0,
∴r=(36 3−54)cm.
【解析】本题考查切线的判定与性质和正多边形的计算关系,掌握等边三角形的性质是解题的关键。
(1)第1步:分别以点E、F为圆心,大于12EF长为半径画圆弧,两弧分别交于M,N两点,连接MN并延长与AB延长线交于点Q.(此作
图方法作出EF中垂线,由正六边形对称性可知,MN必过正六边形ABCDEF中心点O)
第2步:以点Q为圆心,任意长度为半径画圆弧,分别交MN于点G,交AB于点H;再分别以点G、H为圆心.大于12GH长为半径画
圆弧,两弧交于点T,作射线QT,(即QT平分∠GQH),
第3步:连接AD(由对称性可知,AD经过中心O)与射线QT与OA交于点P,再以点P为圆心,OP长为半径画圆,则⊙P即为所求.
(2)设OP=r,则PK=r,由题意得AP=18−r,AK=12AP=9−r2,Rt△APK中,根据勾股定理求解即可。
22.【答案】证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
又∵∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°.
又∵BD、CE平分∠ABC、∠ACB.
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°,
∴AE=BE=BC=CD=DA.
易证五边形AEBCD为正五边形.
【解析】求证五边形AEBCD是正五边形,就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等.
本题主要考查了连接圆的等分点所得到的多边形是正多边形这一结论.
23.【答案】(1)证明:在⊙O中,
∵∠BAC与∠CPB是BC所对的圆周角,∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角,
∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,
又∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°,
∴△ABC为等边三角形;
(2)过O作OD⊥BC于D,连接OB,
则∠OBD=30°,∠ODB=90°,
∵OB=2,
∴OD=1,
∴等边△ABC的边心距为1.
【解析】【分析】
本题考查了正多边形与圆,圆周角定理、等边三角形的判定与性质,正确作出辅助线,证明△ABC是等边三角形是关键.
(1)利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,而∠APC=∠CPB=60°,所以∠BAC=∠ABC=60°,从而可判断△ABC的形状;
(2)过O作OD⊥BC于D,连接OB,根据直角三角形的性质即可得到结论.
24.【答案】证明:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠E=∠C,DE=AE=DC=BC,
在△AED和△BCD中,
AE=BC∠E=∠CDE=DC,
∴△AED≌△BCD(SAS),
∴AD=BD,
∵DF⊥AB,
∴∠DFA=∠DFB=90°,
在Rt△DAF和Rt△DBF中,
AD=BDDF=DF,
∴Rt△DAF≌Rt△DBF(HL),
∴AF=BF.
【解析】连接DA和DB,证明△AED≌△BCD可得AD=BD,再证明Rt△DAF≌Rt△DBF即可得结论.
本题考查了正多边形的性质以及全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握正多边形的性质.
25.【答案】解:(1)如图,点O为△ABC的外心.
(2)如图,正六边形DEFGHI即为所求.
【解析】【分析】本题考查尺规作图—复杂作图,等边三角形的性质,三角形的外接圆与外心,正多边形的计算.
(1)根据垂直平分线的作法作出AB,AC的垂直平分线交于点O即为所求;
(2)过D点作DI//BC交AC于I,分别以D,I为圆心,DI长为半径作圆弧交AB于E,交AC于H,过E点作EF//AC交BC于F,过H点作HG//AB交BC于G,六边形DEFGHI即为所求正六边形.信息及素材
素材一
在专业种植技术人员的正确指导下,果农对桃形李的种植技术进行了研究与改进,使产量得到了增长,根据果农们的记录,2020年桃形李平均每株产量是35千克,2022年达到了50.4千克,每年的增长率是相同的.
素材二
一般采用的是长方体包装盒.
素材三
果农们通过问卷调查发现,顾客也很愿意购买美观漂亮的其它设计的包装纸盒.